Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 245
Скачиваний: 3
Аналогично получается выражение для знаменателя формулы (5.17), который оказывается равным
|
|
Г |
|
пМ0 |
|
|
Ц |
ДО-ps |
(X |
|
|
|
At |
|
|
|
(5.59) |
Имея |
в |
виду разложение |
( 1 — г М ) ~ 1 = 1— zAt |
|
+ ..., |
ре |
|||||||||||
зультат |
деления |
(5.58) |
на |
(5.59) |
представляем |
в |
виде |
||||||||||
wps |
(xj, |
t + At) = |
wps {xit t) - |
wps |
{xj, t) ( l i |
~ * i |
Y |
At |
+ |
||||||||
+JjtBpe{Xi, |
t) АіХц + wps |
(Xj, t) |
|
wps(Xi, |
t) ( î t ~ o |
X i ) 2 |
At. |
||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда легко перейти к дифференциальному |
уравнению |
||||||||||||||||
нелинейной |
фильтрации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
^ ф ^ ^ Х ц |
ш р |
Л Х і |
, і ) |
+ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-i— |
|
[26 (t) Xi (t) - |
x) |
(t)] wps |
(Xi, t)-j}- |
|
wps (Xi, |
t)X |
|||||||||
|
|
|
X J |
] [Я (0 xt |
(t) - |
x; (0] wps |
(Xi, t). . |
|
|
|
(5.60) |
||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
частном |
случае, |
когда |
А,г-,-=0, |
величины |
|
Xi(t) |
||||||||||
( ï = 0 , |
1, |
2,.. .,N) |
остаются |
постоянными |
на |
интервале |
|||||||||||
наблюдения |
и уравнение |
(5.60) |
может |
быть использова |
|||||||||||||
но для обнаружения й распознавания N детерминиро |
|||||||||||||||||
ванных сигналов в белом шуме. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если |
|
Л^о—»-оо, |
то |
уравнение |
(5.60) |
вырождается |
|||||||||||
в уравнение |
(2.40) |
для |
марковского процесса |
с |
конеч |
||||||||||||
ным числом состояний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким "образом, первый член правой части уравнения (5.60) учитывает априорное изменение передаваемого
сообщения x(t), |
а остальные два |
слагаемых |
отражают |
||
влияние наблюдаемой |
реализации |
l(t) на |
апостериор |
||
ную плотность Wps(xj, |
t). Заметим, что любое |
уравнение |
|||
нелинейной фильтрации имеет подобную структуру. |
|||||
Если теперь |
с помощью специального |
предельного |
|||
перехода от процесса с дискретными состояниями перейти
к |
непрерывному процессу, то уравнение (5.60) |
перейдет |
в |
уравнение нелинейной фильтрации для непрерывного |
|
марковского процесса. При этом первый член |
правой |
|
178
части уравнения (5.60) превратится в два слагаемых, составляющих правую часть уравнения Фоккера— Планка — Колмогорова (3.55), а последний член правой части уравнения (5.60) примет интегральную форму. В итоге уравнение (5.60) будет иметь вид
d W v s t ' t ] = ~ é |
(X, t) Wps (x, t)} + |
— - i - X- (0 Wps (x, t) — jj- wPs (x, t)j ^ (t) X {t) —
^-x-(t) |
wps(x,t)dx. |
(5.61) |
J
Введем в рассмотрение априорный-оператор Lpr(x), с помощью которого изменение априорной плотности ве роятности Wpr(x, t) можно записать в виде
J^Lp±=^Lvr(x)wpr(x,t). (5.62)
Например, в непрерывном случае (3.55) •
Если процесс носит дискретный характер, то оператор Lpr(x) представляет собой матрицу. Действительно, обозначая для единообразия Pj(t) = wpr(xj, t) вместо (2.40), можно записать систему уравнений
tfMprto, 0' =^Хі0рГ(Хі, |
|
t), |
(/ = 0. 1,.... |
N), |
||
|
І |
|
|
|
|
|
.которая эквивалентна матричному уравнению |
|
|||||
rfwH*.0 |
= |
L p |
r { x ) W |
p r [ X t t ) i . |
( 5 . 6 4 ) |
|
где wp r (x,' t)—матрица-строка |
|
безусловных |
вероятно |
|||
стей состояний. |
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
F{x,t) |
=-^[2х{і)Щ~х2Щ], |
(5.65) |
||||
< F (x, |
t) > |
= |
Ç F (x, t) wps {x, t) dx. x |
(5.66) |
||
Соотношения (5.62) — (5.66) позволяют записать об щее уравнение нелинейной фильтрации марковского про-
12* |
17 9 |
цесса 'ИЗ белого шума в следующем виде:
|
|
dwVa'{x, |
і)>-c=Lpr |
(л) wvs |
(X, |
t) + |
[F (X, t) |
- |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-<F(x, |
t)>}wps(x, |
t). |
|
|
(5.67) |
|||
Это |
основное |
уравнение, |
которое было |
получено |
|||||||
Р. |
Л. |
Стратоновичем |
[4—6]. |
Оно, |
очевидно, |
включает |
|||||
в себя частные случаи |
(5.49), (5.60), (5.61). Пример мо |
||||||||||
делирования уравнения (5.67) для простейшего |
дискрет |
||||||||||
ного процесса |
( N = 2 ) |
>был приведен |
в предыдущем |
па |
|||||||
раграфе. При N>2 |
необходимо согласно (5.60) строить |
||||||||||
іѴ-канальное устройство, которое должно в |
|
к а ж д ы й |
|||||||||
момент времени t вычислять все N апостериорных |
веро |
||||||||||
ятностей WpS(xj, |
t). |
За .оценку |
переданного |
сообще |
|||||||
ния |
принимается |
то мгновенное |
значение |
Х*І(І), |
Д Л Я |
||||||
которого апостериорная вероятность оказывается макси мальной. Для непрерывного процесса x(t) число состоя ний бесконечно и, следовательно, для моделирования уравнения (5.67) требуется предварительное квантование по уровню. Такая процедура помимо того, что она вно сит погрешность квантования, слишком сложна для практической реализации. Можно, однако, указать ва
риант, |
когда |
уравнение для |
плотности |
вероятности |
(5.67) |
б е з п о г р е ш н о с т е й |
заменяется |
на уравнения |
|
для конечного |
числа параметров. Это возможно, когда |
|||
апостериорная плотность вероятности является нормаль ной [11, 6]. Поокольку одномерный нормальный закон определяется двумя параметрами, то уравнение для плотности вероятности заменяется в этом случае систе мой двух дифференциальных уравнений для математи ческого ожидания и дисперсии.
|
Если априорный процесс является нормальным [для |
||||||||
этого |
необходимо, чтобы Кі(х, |
t)=ax+b |
(a, |
b = const), |
|||||
Къ(х, |
t) =const (ом. § 3.8)], то апостериорная |
плотность |
|||||||
будет также нормальной в том случае, когда |
функция |
||||||||
F(x, |
|
t) представляет собой полином от |
х |
степени, |
не |
||||
выше второй [6, 12]. Последнее |
положение |
основывается |
|||||||
на следующих соображениях. Если |
подставить |
функцию |
|||||||
|
|
|
|
2°2 |
(0 |
|
} , |
(5.68) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
in(t) и <32(t) —математическое |
ожидание |
и диспер |
||||||
сия |
апостериорной плотности, |
в уравнение |
|
(5.67), |
то |
||||
в левой части после взятия производной |
по t |
будуті |
чле- |
||||||
180
Hbf, Содержащие X в нулевой, первой и второй степенях. Равенство в этом случае возможно, когда правая часть после взятия производных по х будет содержать столь
ко |
в |
указанных |
степенях. |
При F(x, |
t) =a + bx + cx2 |
|||||
(a, |
b, |
с —const) |
это условие |
выполняется. Мы не |
будем |
|||||
в доказательство |
приводить |
аналитические |
выкладки, |
|||||||
относящиеся |
к |
общему |
виду |
уравнений |
(5.67), |
а рас |
||||
смотрим пример |
[6, 8]. |
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть х(і) |
— гауссовский марковский |
процесс, |
описы |
||||||
ваемый стохастическим |
уравнением |
|
|
|
||||||
|
х = — ах - f пх(0. |
Кі (JC, t) = — о-х, Ks(x, |
t) = |
^-, |
||||||
где nx(t) — белый шум, иной чем n(t), со спектральной плотностью ~ *>.
Уравнение (5.67) при этом-запишется в виде
—РІР^+[Р(X. |
t)-<F |
(X, t)>] wps(X, t), |
(5.69) |
где |
|
|
|
Р(х,і) |
= |
^[2Ці)х(і)-хЦт. |
|
Как видно, .и априорный |
оператор и функция |
F(x, t) |
|
отвечает сформулированным выше требованиям, поэтому следует ожидать, что левая и правая части уравнения
(5.69) при подстановке (5.68) будут являться |
імногочле— |
нами от X степени, не выше второй. Чтобы |
проверить |
этот факт, можно взять соответствующие производные |
|
от (5.68) ,н затем подставить их в уравнение |
(5.69). Од |
нако результат достигается легче, если перейти от урав
нения |
(5.69) ' или |
(5.61) |
для плотности вероятности |
|||
wps(xJt) |
,к |
уравнению для |
\nwps(x,t). |
|
Разделим (5.61) |
|
на WpS(x,t) |
и заметим, что |
|
|
|
||
|
|
âwps |
(х, t) |
d 1п Wps |
(х, |
t) |
|
|
wts |
(х, t) dt |
dt |
~ |
' |
|
|
dwPs (x, t) |
à\nwPs(x, |
|
t) |
|
|
|
Wps {*•, t) dx |
dx |
' |
||
*) Белый шум nx{t) не действует в канале связи, он служит лишь для образования марковского процесса х(t).
13— 18g |
181 |