Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 216
Скачиваний: 3
Упрощая |
|
(5.82), |
получаем' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
+ |
œ»p.(X, |
T,, f)[F(x, |
n,t)-<F(X, |
|
ъ |
t) > ] , |
|
(5.83) |
||||||||||
где [см. |
|
(5.75)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
L p |
r |
{x, |
TJ) шР 5 (JC, f), ^ |
= |
£ |
Я (JC |
I Л:') twps |
(x', |
|
|
f\,t)-{- |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ S M I | V ) ' ^ ( ^ |
V.O. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
F (x, |
ъ |
t) = |
J - |
(2^ [S (x) + |
V Ш |
- |
[S (x) + |
V (-л)]2}, |
(5.84) |
||||||||||
|
|
|
|
Jv |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
TJ, t). |
|
|
|
|
|
|
< |
|
F (x, |
•»!,*)> = |
S S / 7 |
(л-, ï), 0 Œ»pe |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение |
(5.83) |
является |
уравнением |
нелинейной |
|||||||||||||||
фильтрации |
сообщения |
x(t) |
и случайного процесса ті(#) |
||||||||||||||||
из белого шума. Очевидно, что, располагая |
распределе |
||||||||||||||||||
нием |
wvs(x,r\,t) |
|
легко |
вычислить |
|
wps(x,t): |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Юр, (JC, 0 = |
S |
'«V (•*, |
0 |
|
|
|
|
(5-85) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
t) |
|
|
|
|
|
и затем |
|
по максимальному значению wps(x, |
|
принять |
|||||||||||||||
решение о значении |
x*(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Разберем |
|
задачу |
фильтрации |
марковского |
процесса |
||||||||||||||
с двумя состояниями x(t) |
из белого шума n(t) |
и |
другого |
||||||||||||||||
марковского процесса с двумя состояниями t\(t), |
|
т. |
е. |
||||||||||||||||
S(x)=x(t), |
|
|
|
|
V(j\)=r[(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x1—-f)l |
= |
0; |
|
х., = х; |
|
-*і3 == |
TJ; |
|
|
|
|
|
||
Я (х31 x,) = |
|
Я (x 10) = |
<хх; |
Я (JC, |
I х2) = Х(0\х) |
= |
ßx ; |
„fi< |
|||||||||||
Я Ы ъ ) = |
Я Ы 0 ) = |
Ѵ |
M 4 l |
h = ) = |
A(0|ïi) = |
P v |
|
^ |
; |
||||||||||
и учтем, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x, |л;1) = |
Я(0|0) = —ax; |
Я (x, |
\ x3) |
= |
X(x\x) |
= |
— ß*; |
|
|||||||||||
(тІ 1 |7,1 ) = |
|
Я ( 0 | 0 ) = - а ч ; |
|
Я( - Ч а |т І 8 ) = |
Я(1 і|іі) = - Р ч . |
l b - ö 7 > |
|||||||||||||
Имея |
в |
|
виду |
(5.86) — (5.87), |
конкретизируем |
уравнение |
|||||||||||||
(5.83): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(°; |
°-1)= |
|
- (ax+ar) |
wps (0, 0, 0 + р.хШр8 (X, 0, |
*)•+ |
|
||||||||||||
|
4- |
оір„ (0, -п, 0 - |
^рз (0, |
0J)<F |
(x, |
il, 0 > ; |
(5.88) |
||||||||||||
187
dwvs |
(x, 0, t) |
~ axwps |
(0, 0, t) - (p» + |
|
dt |
||
+ |
P4Œ»Ps {x, I . 9 + |
œ)P5 (л, 0, 0 |
|
|
|
- < F ( * , TJ,0> |
|
wvs (x, 0, 0 +
(2tv - л;2)
(5.89)
х + ц
СД
xh /Г5
|
V - / |
V I х |
±_ |
|
"о |
"1 |
C T |
Ott x
Wps(X,0,t)
Wp3(X,t)
P«c. 5.2.
|
|
-<F(x,-4,t)> |
|
(5.90) |
dwPs (x, |
-g, t) |
•=axtsaps (0, -г), 0 + a |
A |
(•*• °- 9 — |
• dt |
|
|||
- (P* + ß4 ) ^PS (•*> "П. 0 + o » p . (x, TJ, f) |
(JC+TJ) |
|||
|
|
где |
|
(5.91) |
|
|
|
|
|
|
|
< F (x, T), 0 > = |
дг- {шР 8 (x, 0, *)(2bc — |
|
|
|
- . r ) + ^ ( 0 , |
T,, 0 ( 2 ^ - f ) + |
|
+Шр5 (X, 7), *)[2* (Л - +7|) - ( X - f 7 ) ) 2 ) } .
|
|
|
(5.92) |
V |
Схема, реализующая |
уравнения |
|
(5.88) — (5.92), |
(5.85) и дополненная, |
||
|
сравнивающим |
устройством, |
представ |
г 5
лена на рис. 5.2, где KB — квадратор, СУ — сравнивающее устройство. Опти мальный приемник содержит в себе об-
Х
X
ßx
f
VUpS(0,l,t)
u)ps(0,0,t)
Ж
ivps(0,t)
СУ
X
!§9
разцы сигнала х .и помехи п. Принимаемая •реализация обрабатывается устройством, и на выходах четырех, интеграторов в каждый момент времени получаются зна чения вероятностей каждого из возможных состояний двумерного процесса [хь t\j]. После этого согласно (5.85) выполняется операция усреднения и на входы сравни вающего устройства поступают величины апостериорных вероятностей двух состояний сигнала. Схема сравнения работает по критерию максимума апостериорной веро ятности и в каждый момент времени выдает соответст вующее решение. В результате такой обработки на выходе оптимального устройства получается марковский процесс с двумя состояниями, который отличается от переданного с минимально возможной ошибкой. К сожа лению, количественная оценка качества фильтоацни
затруднительна.
Аналогично можно рассмотреть ряд задач, в которых процессы x(t) и t)(t) входят в сигнал и помеху нелиней ным образом. Пусть, например,
|
|
|
t |
|
S (х) = As |
cos Г œ,f -(- Mч |
j X (С) dt' |
- f <pe (t) |
|
|
|
|
0 |
|
V (r,) = |
An cos Щ + |
Мфт, (*) + ? 7 ] |
(t)},. |
|
где Мц, Мф — постоянные |
коэффициенты. |
|
||
При этом структура |
приемника изменится незначи |
|||
тельно: 1) усложнятся элементы, формирующие образцы
сигнала и помехи, 2) |
в связи с тем, что равенство |
нулю |
|||||
процессов x(t) |
и r\(t) |
в этом |
случае не означает |
отсут |
|||
ствия сигнала |
и помехи, часть |
схемы, |
примыкающая |
||||
к интегратору |
вероятности wps(0, |
0, t), |
дополнится не |
||||
которыми новыми элементами. |
|
|
|
|
|||
Увеличение |
числа |
возможных |
состояний |
процессов |
|||
приводит к соответствующему |
увеличению |
количества |
|||||
уравнений типа (5.88)—(5.92) |
и, следовательно, к даль |
||||||
нейшему усложнению схемы оптимального фильтрующе го устройства. Вообще в тех случаях, когда приходится иметь дело с дискретными процессами, схемы оптималь ных приемников оказываются весьма громоздкими. Если же процессы x(t) и r\(t) непрерывны, то имеется воз можность, воспользовавшись приближенным методом, значительно упростить структуру оптимального фильтру ющего устройства, 190
5.6.Основное уравнение нелинейной фильтрации для непрерывных марковских процессов
Уравнение нелинейной |
фильтрации (5.83) обобщает |
ся и на тот случай, когда |
процессы x(t) ,и r\(t) непре |
рывны. При этом оно претерпевает естественные изме нения, касающиеся вида априорного оператора и харак
тера |
усреднения |
при получении |
функции |
<F(x, rj, |
t)>: |
||||||
|
dJ^fkll=Lvr |
|
{ x , |
^ W |
p s |
{ x , |
ъ t) |
+ |
|
|
|
где |
4-oip, (X, |
T), t) [F (X, -f], t)-<F |
|
(X, -n, 0 > ] , |
(5.93) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lpr (x, ij) = - |
/С, (x, |
t ) - |
щК, |
(т,, t) |
+ |
|
||||
|
+ 4 - -Ѣ к> |
о + 4 - Ѣd-rfK"' |
ъ |
|
(5-94> |
||||||
|
F (X, -n,t)~ |
№ [S (X) + |
V Ш |
- |
[S (X) |
+ |
V (7,)]=}; |
||||
< |
F (x, 7j, t) > |
= j J |
F (JC, ц, 0 ш р а |
(x, |
7], |
0 djcrfiq. |
(5.95) |
||||
Как указывалось выше, уравнение (5.93) для непре рывных процессов было получено впервые в [13].
В настоящем параграфе будет рассматриваться наи более простой вариант, когда помеха V(TJ) отсутствует. При этом вместо (5.93)—(5.95), (5.84) имеем
d W v s § 0 |
= |
(x) wvs(x, |
t) + |
wvs(x, t) |
X |
|
|
||||||
|
X[F(x,t)-<F(x,t)>], |
|
|
|
|
|
|
|
(5.96) |
||||
где Lpr(x) |
определяется |
|
выражение |
(5.63), |
|
|
|
||||||
|
F (x, t) = ±. |
[2ÉS (x) - |
|
S2 |
(x)}, |
|
|
(5.97) |
|||||
|
|
|
1 V |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<F (x, |
0 > |
= |
j |
F {x, |
t) wps |
(x, |
t) dx. |
|
|
(5.98) |
|||
Очевидно, |
соотношения |
|
(5.96) — (5.98) |
являются |
обоб |
||||||||
щением выражений |
(5.67), (5.65). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В § 5.4 были сформулированы требования, удовлет |
|||||||||||||
ворение которых |
обеспечивает |
гауссовский |
характер |
||||||||||
апостериорной плотности wps(x, |
t). |
В связи с этим обра |
|||||||||||
тим внимание на то, что если x(t) |
н е л и н е й н ы м |
обра |
|||||||||||
зом входит |
в выражение |
для |
сигнала |
S(x), |
то |
указан |
|||||||
ные требования |
к виду функции F(x, |
t) |
не будут |
выпол- |
|||||||||
191
