Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

28

Решение этой системы уравнений приводит к следующе­ му естественному результату

РІ=0,4391, /?2=0,3170, р 3 = 0,2439.

Если положить для определенности х± = 0, х%=\, х3—2, то стационарный режим можно характеризовать корре­ ляционной функцией Kx(kA) с дискретными значениями аргумента M (à=Q, 1, 2, ... )

(1.36)

где t/j — состояние системы в момент времени, отстоя­ щий от выбранного фиксированного момента на вели­

Помимо финальных вероятностей для эргодических цепей можно определить еще ряд интересных характери­ стик. Если, например, необходимо вычислить среднее время, за которое процесс из состояния ХІ впервые по-

29

падает в состояние Xj, to состояние Xj следует формально считать .поглощающим. При этом /-ю строку матрицы перехода нужно изменить, положив Pjj=l, Pij=Q (/V=0- Применяя к вновь образованной матрице результаты предыдущего параграфа, можно получить более подроб­ ные сведения о внутренней структуре процесса, чем те, которые даются знанием финальных вероятностей и кор­ реляционной функции.

Последующие параграфы данной главы посвящены рассмотрению двух конкретных технических задач, ко­ торые решаются с помощью аппарата теории цепей Маркова.

1.6. Статистическое нацеливание узких диаграмм

направленностей антенн приемо-передатчиков

всистемах связи

ВСВЧ диапазоне антенны систем связи могут иметь весьма

узкие диаграммы направленности, ширина которых достигает 1—2°. В лазерных системах связи ширина диаграмм направленности еще меньше н составляет несколько десятков угловых секунд. С энерге­ тической точки зрения такие диаграммы направленности весьма же-

Рис. 1.5.

лательны, однако при практическом использовании они порождают специфические трудности, связанные с задачей нацеливания (вхож­ дения в связь) двух приемо-передатчиков, расположенных на раз­ ных объектах. При случайном сканировании узким лучом в пределах заданного углового конуса, определяющего зону неопределенности положения искомого объекта, процесс нацеливания может быть опи­ сан поглощающей цепью Маркова [8, 9]. Следовательно, в этом слу­ чае можно вычислить такую важную характеристику, как среднее время вхождения в связь. Рассмотрим, следуя [8, 9], задачу стати­ стического нацеливания узких диаграмм направленностей антенн приемо-передатчиков в системах связи.

Предположим, что на объектах А и В имеются приемо-пере- дающие устройства, причем диаграммы направленности передатчика и приемника каждого из объектов синхронно сканируют в простран­ стве. Оба объекта на основе априорных сведений грубо ориентиро­ ваны друг на друга (рис. 1.5). Диаграмма направленности

30

ira объект A, но сигнала от объекта А станция В не обнаруживает. Невозвратное состояние х$.

4. Та же ситуация, что и в предыдущем случае, но с переменой ролей между станциями А и В. Невозвратное состояние Хц.

Работа такой системы поясняется графом состояний (риг. 1.6) и іможет быть описана марковской цепью с четырьмя состояниями. Марковское свойство процесса в системе обеспечивается физиче­ ским содержанием задачи. Действительно, вероятности перехода из

в состоянии л-2).

Образуем матрицу перехода Р и произведем ее разбиение на

Используя (1.29), определяем матрицу средних времен достижения поглощающего состояния

с вероятностью, близкой к единице, процесс начнется в состоянии Хг.

32