Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

чиниться уравнению

Колмогорова—Чепмена (1.10), которое Для трех

последовательных моментов времени to<Kt+At

имеет

вид*)

N

РІІѴО,

М - А О = 2 Л» Ca. t)Pii(t,t+M).

(2.1)

/=і

Рис. 2.1.

ннрованы, а с л у ч а й н ы . Обычно закон распределения моментов

времени, когда система может перейти из одного состояния в другое,

задается случайным п о т о к о м и момент перехода отождествляется

с осуществлением события из этого случайного

потока.

В общем случае для каждого состояния

я,- может быть задан

разрешает

переход

из состояния ХІ в

любое

другое

состояние

Xj (/=1, 2,...). Таким образом,

переход

системы

из одного

состоя­

ния в другое состоит в осуществлении

двух зависимых

событий:

сначала должно произойти событие из управляющего

потока, а за­

тем собственно

переход. Обычно

предполагается,

что собственно пе­

реход системы

из состояния в

состояние

происходит

мгновенно,

поэтому осуществление события

из управляющего

потока

влечет за

собой

с к а ч о к

в процессе. Это обстоятельство

дает

повод назы­

вать

разрывные

марковские

процессы

с к а ч к о о б р а з н ы м и .

. Если-множество состояний

конечно

(W=const)

или. бесконечно,

но счетно,

то соответствующий

процесс

называется

р а з р ы в н ы м

процессом со счетным числом состояний.

Аналогия таких процессов с цепями Маркова весьма значитель­

на, а разница, как указывалось выше, состоит в характере

изменения

времени,

поэтому

разрывные

марковские

процессы

со

счетным

(в частности, с

конечным)

числом

состояний

называют

иногда

м а р к о в с к и м и ' ц е п я м и с н е п р е р ы в н ы м

в р е м е н е м .

Состояния разрывного марковского процесса могут образовы­

вать

такж'! и непрерывное

(континуальное)

множество. При этом

ляющих потоков

накладываются

весьма

жесткие

ограничения.

В совокупности

эти ограничения

определяют так

называемый

п у а с с о н о в с к и й поток событий,

изучению

основных

свойств ко­

торого посвящен следующий параграф.

свойство отсутствия последействия состоит в

том,

что

для

любых н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я

участков

длиной

Ті и

Т2 число событий, случившихся на

одном

из

них,

не

Используя это свойство, можно показать

(см.,

например,

(1, 2]), что для нестационарного пуассоновского

потока

число событий,

попадающих

на

интервал

(t,

t+x),

рас­

пределено по закону

Пуассона:

^ И ^ ^ ^ 1

' ' 1

1

-

(2-6)

Здесь A(t,

х)

—среднее число событий, наступающих на

интервале

(і,

t+x),

A{t,

t+x

X{t')dt'.

x ) =

f

(2.7)

Для стационарного

потока

t

t + z

A(t,

х) =

Л(т;)=

j

MÏ =

Xt,

(2.8)

t

и тогда

(2.6)

вырождается

в

широко известную фор­

мулу распределения

Пуассона

Л И = ^ е Л

(2.9)

Стационарный

пуассоновский

лоток,

для

которого

справедливо

соотношение

(2.9),

называют

п р о с т е й ­

ш и м потоком. На примере простейшего потока

покажем

справедливость соотношения

(2.9) [3].

Выберем т = 0 и рассмотрим

два

интервала

(0, т) и

и (т, т + Д т ) ,

причем

Ат мало. В

силу

отсутствия

после­

действия

вероятность того,

что

на

отрезке

-(0,

х+Ах)

не (произойдет ни одного события, 'равна

Л+ дДО)=Л(0)/>д*(0)-

( 2 л ° )

Но для

ординарного

потока

из

(2.4)

следует

/>дх(0)«

1 - ^ ( 1 ) -

(2.11)

так что

Перенесем

р^(0) в левую

часть

и разделим

обе части

равенства

на А-г. Затем, переходя к пределу

при Дт—Ю,

с учетом (2.5) получаем

• AljW

= — Xp^Q).

(2.13)

Интегрирование этого уравнения

при начальном условии

Ро (0) = 1 приводит к соотношению

РІ(0)=ІГ\

(2.14)

t

Рис. 2.4.

произвольного события

(рис. 2.4). Вероятность того, что

на отрезке времени т

не появится

ни

одного

события

( т = 0 ) определяется (2.14). Вместе

с

тем эта

вероят­

Вероятность того, что Т<%, очевидно, равна

Я ( Г ь < х ) = 1 - Р ( Г > т ) = 1 _ : е - Х т .

(2.15)

щ)(т) =

Я е _ х \ х > 0 .

(2.16)

Таким образом, в простейшем потоке интервалы вре­

мени между соседними

событиями подчиняются

п о к а -