Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 212

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

которую необходимо умножить на масштабный коэффициент. В ка­ честве последнего целесообразно выбрать время т нахождения луча в одном положении при сканировании. Тогда искомое среднее время нацеливания будет равно і2 opt.

Выражая элементы матрицы перехода рц через статистические параметры системы (вероятности обнаружения сигналов, вероятно­ сти ориентации диаграмм направленности по направлениям), можно получить необходимые для практики зависимости среднего времени вхождения в связь от этих параметров [8, 9].

1.7.

Автоматическая регулировка порога

в самообучающейся схеме обнаружения

Рассмотрим еще один

пример анализа работы радиотехническо­

го устройства

с помощью

теории

цепей

Маркова. Обратимся

к приемнику обнаружения, в котором

автоматически подстраивается

величина порога в решающем

устройстве при неизбежных измене­

ниях статистических характеристик сигнала и шума (10, 11]. "

Следуя [11], введем

нормированные по

среднеквадратичному

отклонению шума о величины:

* = " с ш / о — напряжение на том временном интервале, где имеет­ ся шум и, может быть, сигнал;

y—Umfa — напряжение на том временном интервале, где имеет­

ся один шум;

 

 

 

 

 

 

•г—и-аіо — значение порогового напряжения.

 

Пусть

к»і(х)

и ш0 (х) — одномерные

расцределения величин

X и у.

 

 

 

 

 

 

 

 

Регулировка порога производится дискретными шагами по сле­

дующему правилу:

 

 

 

 

 

1)

если на п-м шаге

порог г

удовлетворяет

неравенству

y<zn<x,

то на следующем

(/г+1)-м

он не получает

приращения:

Zn+i=z„;

 

 

 

 

 

где іД — фиксированная

2)

если

гп<у

и zn<x,

то z „ + i = 2 n + A ,

величина, на которую может измениться порог при каждом шаге;

3)

если zn>y

и гп>х,

то

zn+v=zn—A;

 

 

4)

если

х<гп<у,

то

z n +

I = 2 n .

 

 

 

Вводя функцию единичного скачка •

х > 0 ;

Из сущности задачи видно, что порог е п является случайной величиной марковского типа. На практике обычно операция сравне­ ния с порогом осуществляется после детектирования, так что напря­ жения «сш и Um физически представляют собой значения огибаю­ щих, которые, как известно, всегда положительны. Поэтому порог zn

будет принимать дискретные значения в

диапазоне 0—(N—1)Д

(N — некоторое целое число, определяющее

число состояний поро­

га). Введем вероятности переходов: rj—вероятность того, что си­ стема, имевшая порог £Д, останется в этом же состоянии; qt — ве­ роятность того; что система, имевшая порог *Д, перейдет в состояние

3 - 18 6 33

с порогом (і-И)Д;

Si — вероятность того,

что система, имевшая

порог ІА, перейдет

в состояние с порогам

(і—1)іА. Очевидно, что

 

rt+qi+Si=l.

(1.38)

Учитывая, что функция ъ(у—гп)—е(г„— х) принимает лишь зна­ чения + 1, 0 и —1, для порога zn возможны переходы только в со­ седние состояния. В связи с этим в матрице перехода Р будут отлич­ ны от нуля лишь элементы главной диагонали и элементы двух диа­ гоналей, расположенных выше в ниже главной

г0

<І0 О

О

Si

 

О

О

So

<72

(1.39)

SN-2 TN-2 Ям—2

О *N— I If—I .

Выразим вероятности.перехода через статистические характери­ стики огибающих. Вероятность ЦІ равна вероятности того, что порог

(Д ібудет .превышен как одним ішіумом (//>іД), так н смесью сигнала

сшумом (х>іА). Следовательно,

оос»

ЯІ = \ w0 (у) dy J да, {x)[dx.

Аналогично вероятность s£ равна

st = ^ ш0 (y) dy ^ ю, (х) dx.

оô

Вероятность ГІ определяется из і(1.38).

Пусть в начальный момент распределение вероятностей значе­ ний порога задано матрицей-строкой

(1.40)

Соотношениями (1.39), (1.40) цепь Маркова задана полностью, и в соответствии с классификацией § 1.3 определяется как эргодическая. В таксда случае через некоторое число шагов величина порога будет иметь финальное распределение (РОРІ • • • РК-\), которое мож­

но найти путем решения системы алгебраических уравнений (1.35). Применительно к рассматриваемой задаче имеем

ЯОРО +

(Г1

— !)

PI +

S 2/>2 =

0,

 

 

 

 

 

 

 

(1.41)

Ян-зРм-З

 

+ (rN-2—il)

PN-2+SN-\PN-1=

°>

PO + PI

+

PI +

••• +

РЦ-I

= I :

 

34

Из первых (N— 1) уравнений системы (1.41) получаем

i = 0, 1

N —2.

(1.42)

Рі+1 — Pt ' si+l

 

 

Последнее уравнение системы (1.41) с учетом (1.42) дает возмож­ ность определить вероятность ро'-

Г.9о_ , Çh_ Çh_ , _9о_ j7i_ <7а ,

Р'-" [1 + S j s, S a ' " 1 " s, s2 s, ^

(1.43)

S l s 2

SN— 1

 

/=i t=i

Поскольку финальные вероятности (1.42), (1.43) выражаются через частное дфі+ѵ, то удобно ввести функцию

^

КІ 0 ((/)rf(/J to, (х) rfx

 

z—Л

z - Д

(1.44)

 

 

о0

(1.45) С учетом (1.44), (1.45) финальные вероятности (1.42), (1.43) запи­

шутся в виде:

 

 

 

 

P«+i=/tf((«"+l)A]=Paf(A)/(aA) .../[(*+!) А].

(1.46)

[

JV-1

/

П - 1

 

 

І=І

 

(1.47)

/ = і

 

 

Соотношения (1.46), (1.47) определяют искомое распределение ве­ роятностей для стационарного режима изменения порога. Функция f(z) является монотонно убывающей, поскольку

Hm f (z)=. со и

l i m f ( z ) = 0 .

(1.48)

г -+0

z-»oo

 

Условие (1.48) означает, что с

ростом і, пока

/ [ ( ( + 1 ) Д ] > 1 , ве­

роятности, рі увеличиваются, а затем начинают убывать. Финальная вероятность имеет максимум при значении порога іоД, для которого f(ioA)—.1. При малом Д это приближенно соответствует условию

 

[ и » 0 . ( і )

rf£ | и > , (т)) dij

 

f («о с*'Л)'

*o

Zo

(1.49)

 

 

 

j Щ (g)

rf| j ш, (K)) rfvj

 

35

Учитывая, что j* wt (х) dx =

1 — ^ ayt (х) #х из (1.49) получае»

го

о

OD

Z„

Таким образом, наиболее вероятное значение порога обеспечи­ вает равенство вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала.

В [11] показано, что среднее значение порога в стационарном режиме асимптотически равно порогу zo, а дисперсия финального распределения в пределе равна нулю. Это означает, что в процессе подстройки порог стремится принять оптимальное значение, для ко­ торого справедливо соотношение (1.50).

Вход •

Рис. 1.7.

Далее можно рассчитать среднее число шагов, через которое в первый раз будет достигнут оптимальный порог. Для этого не­ обходимо оптимальное значение порога с номером іо представить как поглощающее и затем совершить над матрицей перехода Р все необходимые преобразования, которые приведут к фундаментальной матрице N (§ 1.4). К сожалению,=матрица перехода (1.39) в данном случае имеет довольно сложный вид, поэтому получить общие ре­

зультаты не

удается. В [11] вычислены верхняя и нижняя

оценки

для среднего

числа шагов при переходе

порога

из нулевого

положе­

ния в оптимальное.

 

 

 

 

 

 

Блок-схема приемного

устройства, реализующего

описанный

выше принцип, приведена на рис. 1.7, где: /—пороговое

устройство;

2— селектор

сигнала;

3— селектор

шума;

4 — исполнительное

устройство; 5 — генератор тактовых импульсов,

 

 

 

Входное

напряжение после порогового устройства 1 поступает

на селекторы

сигнала 2

и

шума &. От генератора 5 на

селекторы

2 и 3 поступают вспомогательные тактовые импульсы, которые про­ ходят через селектор 2 в там случае, если напряжение иа времен­ ном участке, где может быть сигнал, не превышает порога z n . Се­ лектор шумового участка пропускает тактовые импульсы лишь в том

36

случае, когда шумовое напряжение превышает порог. Таким обра­ зом, селекторы 2 и 3 реализуют соответственно функции e(zn —х) и б(і/—2п). Импульсы с селекторов поступают на исполнительное устройство 4, которое непосредственно регулирует величину порого­ вого напряжения.

Приведенные примеры дают некоторое представление о воз­ можном характере использования теории цепей Маркова в конкрет­ ных радиотехнических задачах. Основные трудности применения

марковских цепей связаны, во-первых, с процессом

формализации

задачи

(необходимо доказать,

что физическая величина

изменяется

в соответствии с

марковским

свойством) и, во-вторых,

с преобразо­

ваниями

матриц.

При большом числе состояний цепи

N операции

с матрицами становятся весьма трудоемкими; например, определение фундаментальной матрицы N, связанное с необходимостью обраще­ ния матрицы I—Q, при большом N осуществимо лишь с помощью ЭЦВМ.

Иногда для физического процесса бывает весьма трудно найти веские доказательства в пользу его марковости при отсутствии убе­ дительных контраргументов. В таких случаях марковскую цепь рассматривают как первое приближение к полному описанию физи­ ческого процесса. Так, цепями Маркова представляются простейшие модели движения цели [12], помехи в каналах связи ['13—16] и др.

Применение аппарата цепей Маркова оказалось весьма плодо­ творным при анализе работы устройств цифровой обработки радио­ локационной информации [17—22].

2

РАЗРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

2.1. Вводные замечания

В первой главе рассматривались процессы, дискретные в про­ странстве и во времени. Обратимся теперь к процессам, непрерывным во времени, сохранив пока условие их дискретности в пространстве. К описанию таких процессов легко перейти от цепей Маркова. Предположим себе систему с конечным множеством состояний N, переходы в которой возможны в любой момент времени. В качестве такой системы в простейшем случае (N=2) можно рассматривать триггер, работающий в счетном режиме от хаотически следующих импульсов. Процесс x(t), описывающий работу триггера, является дискретным процессам с двумя состояниями х\, х2 и непрерывным временем. Одна из возможных реализаций такого процесса изобра­ жена на рис. 2.1.

По аналогии с цепями Маркова для описания разрывного мар­ ковского процесса необходимо потребовать задания начального рас­

пределения

и матрицы

перехода.

Естественно,

что в

этом случае

вероятности

перехода будут связаны с непрерывным

временем і,

т. е. запись

Pa{t, t+At)

означает

вероятность

перехода из состоя­

ния ХІ, занимаемого в момент і,

в состояние Xj в момент /+ІД^. Как

и в цепях Маркова, вероятности

перехода pa(t,

t+At)

должны под-

 

 

 

 

 

 

37

і

Смотрите также файлы