Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

з а т е л ь н о м у

( э к с п о н е н ц и а л ь н о м у )

закону

с параметром

X. Показательное распределение

интерва­

шло уже некоторое

время

Х\,

то

закон

распределения

оставшейся

части промежутка

0

= 7"—ті

остается неиз­

менным при любом

Т і > 0 ,

т. е.

и,(Ѳ)=; яе-м .

(2.17)

Докажем

это свойство

(см., например, [4, 5]). Совме­

события и рассмотрим два интервала времени

(0, %\) и

(fi,

Ті + Ѳ).

Для

этих интервалов справедливо

соотно-.

шение (2.10):

Р,1 + е(0) =

*Ч(°)М°)-

(2-1 8 )

Кроме того, согласно (2.9)

имеем

Из

(2.18),

(2.19)

находим

Р0(О) = ^

^

=

е - х \

(2.20)

что

полностью

совпадает с формулой (2.14), на

основа­

нии которой был получен закон распределения

(2.16).

Следовательно,

выражение

(2.17)

верно.

Совпадение

распределений

w{x)

и ИУ{Ѳ) подтвержда­

длится и н т е р в а л в р е м е н и

(0, ті) с момента

осу­

ществления последнего события

(«прошлое»), но

при

поток с интенсивностью li(t).

В силу малости

из (2.7)

имеем

Ai(t,bt)=

t+àt

%i{t')dt'

=Xt{t)àt.

j

t

интервале (t,

Тогда вероятность

отсутствия скачка

на

£+ At)"согласно

(2.6) равна

R

Pt.

At (°) = е _

Ч ( ° " * 1 -

k (0

(2-2 3 )

С учетом

(2.2),

(2.23)

вероятность

того, что на

рассма­

триваемом

интервале

произойдет, скачок,

определяется

соотношением

PtiU(l)*b®M.

(2.24)

Выражения (2.21) — (2.23)

позволяют

записать

вероят­

ности перехода.из состояния ХІ В виде

pii{t,t+M)

= \—%i{t)U,

(2.25)

Pij{t,

t+ät)=U(t)btqijit).

(2.26)

Безусловная

вероятность pj(t+At)

того, что система

в .момент

t+At

окажется в состоянии Xj равна

^ (*+• дд

[ 1 - я , (О Д*] +

N

+£

Pi{t)li{t)Atqu{t).

(2.27)

N

^

= -li(f)Pi(t)+^Pi(t)lt(f)gm

0 = 1 . 2 , ...,#).

- Я , ( / ) = а и ( 0 ; M O t t H O ^ ^ j P ) . іфІ-

(2.29)

dpi (0_<

N

(2.30)

dt

=1

і

или

в матричной

форме

£ £ L =

P(*)-A(Q,

(2.31)

где

Р(і)—матрица-строка безусловных

вероятностей;

А(і)

—матрица,

составленная

из элементов ua(t).

Рассмотрим вывод системы дифференциальных урав­

нений (2.30), основывающийся

на ином,

нежели (2.25),

жим, что при малом

любую вероятность перехода

можно записать в

виде

Pi){t,

t+At)

=

ôij+%ij(t)M,

(2.32)

где •ôfj — символ Кронекера;

Xij(t)—интенсивность

пу-

ХІ в состояние Xj. Матрица

вероятностей

перехода с эле­

ментами- (2.32) имеет вид

P(f,f

+

Af)

=

"1 +

\ u (0 At

А1 2 (/) At

.

. .

Kw

(t) At

Х2 І

(/) At

1 + Х2І (t)At

.

. .

X2N

(t) At

(2.33),

X,„ (t) At

Лот(0

à

t

1 + Х Ш ( 0 At

L "Ni

Pü(t, '0 =6ij-,

(2.34)

во-вторых, при

\фі

(2.35)

Соотношение (2.35) означает, что вероятность пере­

хода из ХІ в Xj

( і ф і )

выражается

через интенсивность

*> Величины a.ij(t)At

называют инфинитезимальнымп (локаль­

ными) переходными вероятностями.