Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 138
Скачиваний: 1
75. а |
b |
c d |
— а |
b |
c d |
— а — b |
c d = 8abed. |
|
—а - b — cd
76. Не разиертывая, показать, что определитель a-J- сb+ d ß + c b-f-d b+ da + c b 4-d a + c
Q -f- b b—)—c c -j-d a -j- d
c + da -f d a-\- b b c
равен нулю.
§10. Правило Крамера
1.Прежде всего докажем теорему, которой далее восполь
емся.
Те о р е м а . Сумма произведений элементов какой-либо го ризонтали (вертикали) на алгебраические дополнения соответ ствующих элементов другой горизонтали (вертикали) определи теля п-го порядка равна нулю.
Для доказательства, кроме данного определителя Сц û12. ,a ln
a21 &22 * ■0-2n
ail ^І2**■ain
aji aj2 • ■ajn
an2 • ■&lin
рассмотрим еще вспомогательный определитель
a n |
Û-12 . |
• |
a ln |
a 21 |
(X44 . |
■ a 2n |
|
a n |
& t2 . |
• ^in |
|
a n |
a i 2 . . |
■ |
СІЩ |
a ni |
a „2 • • |
|
• a nil |
у которого г-я и /-я горизонтали одинаковы. |
II |
Такой определитель на основании следствия из свойства |
|
(§ 7) равен нулю. Разлагая определитель А по элементам |
у-й |
горизонтали по формуле (11) предыдущего параграфа получим
- г |
a i A ß + |
• • ■ + |
a i,A jn = |
А = |
0 . |
Таким образом, данная теорема доказана, т. е. |
|||||
al\Aj\ |
! |
\ • • |
• “Г ß-ln^-jn |
0* |
(12) |
если і Ф /.
2.Теперь можем перейти непосредственно к решению системы
плинейных уравнений с п неизвестными:
^'11^1 ~î~ ^12*2 |
■*• + ay xj 4- ■• ■4- ^IпХп bl. |
|
|
û2l-^l 4" ^22*2 4“ • • 4~ a2jxj 4~ • •. А- С1г,іх п — b2. |
(13) |
||
«„А 4- |
4- ■• • 4- anjxj 4- •**Н- ß'nn^n “=bn. |
|
|
Составим из коэффициентов при неизвестных определитель |
|||
системы |
«u Cl] 2• |
• a y . • a ln |
|
|
|
||
D = |
Ö21 &22 • |
■ a 2j ■ ■a ïn |
(14) |
«ni a n2 • * • ^ nj • • ■&nn
и положим, что Иф 0.
Для решения заданной системы умножим обе части первого уравнения системы на Atj, т. е. на алгебраическое дополнение элемента о1уопределителя системы D, где индекс j предполагаем равным одному из чисел 1, 2, . . ., п. Обе части второго уравне ния системы (13) умножим на A2j и т. д., наконец, обе части последнего уравнения — на Anj-. Складывая затем отдельно ле вые и отдельно правые части всех уравнений системы (13), по лучим окончательно следующее уравнение:
(аиАу -г сі21Ау + |
... + аniА п)) хі + |
|
+ |
(^і2Ay + |
ct22A2J + .. • + an2A„ß х2 + |
'+ |
.................................................. + |
|
+ |
(aijAy + |
a2jAy + • • • 4~ anjAnj) xj + |
+.................................................. +
+{chnAij + ch,Ay 4- ■■■4- an,Anj) Л'л=М і/ + boAy 4- ■• ■A-b„nAnJ.
Вэтом уравнении на основании формулы (11) коэффициент при Xj будет равен определителю системы D, а коэффициенты
при всех остальных неизвестных на основании формулы (12) бу дут равны нулю. Таким образом, имеем
Dxj = ЬхА у -f Ь2Ау Ат... 4~ bnAnj.
Видим что правая часть последнего уравнения представляет собой определитель системы (14), где j-я вертикаль заменена соответствующими свободными членами, т. е.
|
|
Дц д12. • А - |
• aln |
ЬіАу -р Ь.,Ау -р . |
• и bnA,ij |
#21 #22 • |
• a2,i |
|
|
||
|
|
аіЛ ап2 ■ A - |
•Я,ш |
Следовательно,
Dxj — Dp
отсюда, полагая последовательно 7= 1, 2, . . ., п, получим новую систему уравнений:
DxL= Db DX2= D2, . . . , Dxn = Ц„
из которой находим
х„ |
Оя |
А, |
(15) |
|
D |
||||
|
D |
|
Можно показать, что последняя система и заданная система (13) равносильны. Поэтому сшлственное решение последней системы является также и решением системы (13).
Решение системы п линейных уравнений с п неизвестными по формулам (15) известно под названием правила Крамера. *
Формулы (15) пригодны лишь в случае D ф 0, когда .0 = 0, то система (13) либо противоречива, либо допускает бесчисленное множество решений. ь-
Очевидно, что полученные выше (§ 5, 6) формулы для реше ния системы двух и трех линейных уравнений с двумя я тремя неизвестными есть частный случай формул (15). ,
Пример 1. Решить систему уравнений:
Х1~Г |
Хі “Р Х3 + |
х 4 = |
10, |
— |
ЛГ2 4 - X S — |
|
— 2, |
2хх ~—Зх2“P 4\Xg P- |
х4= 12, |
||
Зхх -р 4 х 2 — Зх3+ |
9 х 4 = |
38. |
|
Р е ш е н и е . Пользуясь правилом |
Крамера прежде всего |
||
*) Г. Крамер (1704—1752) женевский математик. Изложенный здесь метод нм был опубликован в 1750 году в работе, посвященной теории алгебраичес ких кривых. ^
вычисляем определитель системы: |
|
|
|||||||
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 — 1 |
|
1 — 1 |
1 - 2 |
|
0 - 2 |
||||
D — |
- 3 |
|
4 |
1 |
2 . - 5 |
2 |
- 1 |
||
2 |
|
||||||||
3 |
4 — 3 |
9 |
3 |
|
1 - 6 |
6 |
|||
— 2 |
0 |
— 2 |
- 2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
- 5 |
2 |
— 1 = - 5 |
|
2 |
4 |
= — 2(10 +24) = - 68 + 0. |
|||
|
1 -- 6 |
6 |
|
1 — 6 |
5 |
|
|
||
Следовательно, правило Крамера применимо. Аналогично вычисляем определители D\, D2, D3 и D4. Имеем
|
10 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
’ 10 |
1 |
1 |
|
— 2 |
|
1 |
1 |
1 |
- 68, |
1 _9 |
1 - 1 |
|
|||
Di = |
12 |
|
3 |
4 |
= |
D 2= |
12 |
4 |
= -136, |
||
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|||||
|
38 |
|
4 - |
3 |
9 |
|
3 |
38 |
- 3 |
9 |
|
1 |
|
1 |
IQ |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
10 |
|
1 — 1 — 2 |
_ 1 |
= - |
204, |
1 - 1 |
1 - 2 |
|
|||||
D3= |
- |
3 |
12 |
1 |
D4= 2 |
- 3 |
4 |
= -272, |
|||
2 |
|
|
12 |
|
|||||||
> 3 |
|
4 |
38 |
9 |
|
|
3 |
4 |
- 3 |
38 |
|
откуда по формулам (15) находим |
|
|
|
|
|||||||
+L— |
р, |
— К |
х і |
рі |
2, |
х$ |
3, |
Xq |
D* |
= 4. |
|
|
D |
~ |
1’ |
л 2 |
D |
|
|
|
|
D |
|
Заметим, |
что рассмотренная |
система |
линейных |
уравнений |
|||||||
(13)называется неоднородной. г
3.Система п линейных уравнений с п неизвестными называ ется однородной, если все свободные члены bj(j= 1, 2, . . ., п)
равны нулю, т. е.
а 11Х1 + |
ttl2x 2 + |
• ■• + |
а 1пх п = |
0, |
|
0-21Х1 + + 2'С + |
■• • + |
а2пХП= 6> |
^ 0^ |
||
а піх і + |
а„гх г + |
. ■. + |
а ппх п = |
0. |
|
Если определитель системы D ф 0. то правило Крамера при менимо. Но все определители Dy = 0 (/—1, 2, . . ., /г), так как в
каждом из них имеется вертикаль, состоящая ив .нулей, поэтому по формулам (15) получим
Л'і — Хп
• “ Х'1~ D
Таким образом, в случае D Ф 0 однородная система (16) до пускает только нулевое или тривиальное решение.
Рассмотрим далее, в каких случаях однородная система (16), помимо нулевого решения, может иметь еще и ненулевые реше ния. Пусть по крайней мере одно из 'неизвестных, например, xk отличное от нуля. Для этого неизвестного можно написать урав нение
|
Dxk = £>*, |
или |
Dxk = О, |
так как Dk = 0. Но один из сомножителей хк ф 0, тогда должен быть равен нулю другой сомножитель
|
ß n |
& 1 2 * |
■ a h i |
£> = |
Û 2 1 |
ö 23 . |
■ a 2n |
|
|
|
|
|
a n l |
a n1 • |
• Яп п |
Таким образом, приходим к следующему выводу: однородная система линейных уравнений (16), помимо нулевого решения, имеет еще и ненулевое решение только в том случае, если опре делитель системы равен нулю. Имеет место и обратное утверж дение: если система п линейных однородных уравнений с п не известными, кроме нулевого решения, обладает еще решениями, отличными от нулевого ,то определитель этой системы будет ра вен нулю.
Пример 2. Решить систему уравнений
2*3 -р 3*2-)- 4а"з — 0,
*1 |
2 А'2 -f- 5*3 = 0 , |
3*і + *а — 2*з = 0.
Р е ш е и и е. Данная система является однородной. Опреде литель системы
2 |
3 |
4 |
|
- 7 |
0 |
10 |
|
|
D = 1 - 2 |
5 |
= |
7 |
0 |
1 |
|
|
|
3 |
1 — 2 |
|
3 |
1 - 2 |
|
|
||
|
|
|
= — |
7 |
= — ( - |
7 - 70) = |
77 ¥=0. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
поэтому система |
имеет |
единственное решение |
*і = л:2 |
*з== 0. |
||||