Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf

Пример 6. Вычислить определитель 1 а а2 а3

1 b Ь2 Ь3

D —

1 с с2 с3

1 d d2 d3

Р е ш е н и е. Данный определитель удобно преобразовать так, чтобы в первой вертикали все элементы, кроме одного, были нули. Для этого первую горизонталь будем вычитать из всех последующих и общий множитель из каждой горизонтали будем выносить за знак определителя.

О d — b (d— b)(a-\-c + d)

1 a + b + c = ( b - a ) ( c - a ) ( d - a ) ( c — b ) ( d - b ) 1 a + b + d

= {b — a)(c — a) (d — a)(c — b) (d — b) {d — c).

Рассмотренный определитель является частным случаем оп­ ределителя Вандермонда.

Пример 7. Вычислить определитель д-го порядка

Р е ш е н и е . Складывая первую горизонталь со всеми ос­ тальными, получим диагональный определитель

1 1 1 . . 1 1

0 1 2 . . 2 2

0 0 1 . . 2 2

0 0 0 . . 1 2

0 0 0 - . 0 1

Очевидно, что D n = Д,_і = ... = Da = 1. 3. Определитель

называется симметрическим, если элементы, занимающие сим­ метрическое положение относительно главной диагонали, равны между собой, т. е., если при всех возможных значениях индексов і и у имеет место равенство а1} = о,-,.

Например, симметрические определители второго и третьего порядков соответственно будут:

а X у

а с

0 . = с b = ab — с2, D3 X b г abc+2xyz — û22— Ьу%— схг.

уz с

4.Определитель, в котором при всех без исключения значе­ ниях индексов і и ; имеет место соотношение

аи = 0.

Таким образом, в косом симметрическом определителе все элементы, расположенные по главной диагонали, равны нулю; элементы же, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны по абсолютной величине, но имеют противо­ положные знаки.

Покажем, например, на примере определителя пятого поряд­ ка, что всякий косой симметрический определитель нечетного по­

—с — е — /

=— a( — cdf + bef — ар) 4 b (be2— cde — aef) —

—c( — adf - f bde — cd2) =

= a2p + b2e2+ c2d? 4 2acdf— 2abef — 2bcde =

= (a f — be 4- cdf.

Задачи

54.1 a bc