Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf

Действительно, если в разложении (11) данного определителя (10) все элементы

что и утверждает сформулированная теорема.

Эти теоремы позволяют прийти к заключению, что свойства

Применяя последовательно, имеем

Такие определители называются диагональными определите­ лями. Следовательно, диагональный определитель равен произ­ ведению элементов, стоящих по его главной диагонали.

Таким образом, заданный определитель может быть легко вычислен, если его удастся преобразовать к диагональному опре­

делителю, либо добиться того, чтобы все элементы, кроме одного, какой-либо горизонтали или вертикали оказались равными нулю, так как непосредственное разложение по формуле (11) обычно связано с громоздкими вычислениями. Для этого прежде всего необходимо пользоваться свойствами определителей (§ 7).

Пример 1. Вычислить определитель пятого порядка

Р е ш е н и е . Замечаем, что в третьей вертикали два элемента равны нулю. Известно также, что определитель не изменится, если к элементам какой-либо горизонтали (вертикали) прибавить элементы другой горизонтали (вертикали), умноженные на про­ извольное одно и то же число (§ 7). На основании этого данный определитель можно заменить таким, у которого все элементы третьей вертикали, кроме последнего, будут нули. Для этого все элементы пятой горизонтали умножим на 3, а затем на —4 и при­ бавим соответственно к элементам второй, а затем четвертой горизонтали. Получим

так как элементы второй горизонтали имеют общий множитель 2, а элементы третьей горизонтали — множитель 3.

Складывая элементы первой горизонтали с элементами вто­ рой и третьей, а затем, вычитая удвоенную третью вертикаль из второй, получим

Р е ш е н и е . Последнюю горизонталь вычтем из всех преды­ дущих, полученный определитель будет диагональный, следова­ тельно,

а О О О

О ß О О

О 0 у О = °Фг-

1 1 1 1

Пример 3. Вычислить определитель п-го порядка

a b 0 . .. 0 0

0 a b . .0 0

0 0 0 .. . a b

b 0 0 . .0 a

Р е ш е н и е. Разлагая заданный определитель по элементам первой вертикали, имеем

=аап~1+ (— l)n+I bbn~x — ап + (— 1)n+lbn,

так как оба определителя, которые получили в результате ука­ занного разложения, являются диагональными.

Пример 4. Вычислить определитель

a b e d b a d e

с d a b d с b а

Р е ш е н и е . Замечаем, что числа а, Ь, с, d входят в каждую горизонталь и в каждую вертикаль, поэтому 'к первой вертикали прибавим все остальные. Имеем

а + b -\- с + d b с d а + b 4- с -f d a d с а 4- b 4- с 4- d d a b а 4- b 4- с 4- d с b а

Затем определитель вычисляем так: 1 b c d

0 a — b d — с c — d

0 d — a a — d b — c

0 c — d b — a a — b

a — b d — c c —d (a + b + c + d) d — a a — d b — c c — d b — a a —b