Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 141
Скачиваний: 1
Задачи
В задачах № 162—‘165 найти значение многочлена от матрицы.
162. f ( x ) — x* —
Ore. f ( A)
Ore.
Ore.
Ore. f (A) :
(° °). \0 Oj
§22. Билинейные и квадратные формы
1.Билинейные формы. Билинейной формой от двух систем по п переменных
*1, *2---- - |
х„ |
и
Уі, У* • • • - Уп
называется многочлен с числовыми коэффициентами, однород ный и линейный относительно каждой из переменных x t и ух
(/ = 1, 2, . . ., п ). Таким образом, билинейная форма есть сумма произведений вида ytXj, умноженных на постоянные коэффи циенты, которые будем обозначать аи, где первый индекс отно сится к переменной yit а второй — к переменной Xj.
Обозначая данную билинейную форму через
ф (*1. *2........-V. Уѵ Уі, ■■■, Уп)
или просто Ф, имеем |
|
|
Ф —апУіхі + аічУіхг + |
• • • + ашУіхп + |
|
+ а2іУіХ1+ &ІІУіХі + |
• • ■+ а2пУіХп + |
(9) |
+ ............................................... |
+ |
|
+ ^ ПгУпХ1+ ^У п Х2+ • • • + а-ппУпХп,
4ïo можно более коротко записать так
Пп
пли иначе
п
Ф = У ^І + УіФ2 + |
• ■• + |
УцФп — 2 У‘Фі’ |
|
|
|
1 -1 |
|
где |
|
|
|
обозначают линейные формы |
(§ 15) |
переменных х и х< |
.. ., х„. |
Если ввести векторы |
|
|
|
X (АД, Х 2 , • ■• , •£,;)> |
У ІУ і> У і г • • • > Уп)> |
( 10) |
|
то билинейная форма будет функцией этих векторов, что обык новенно записывается так:
п
А (X-, у) = 2 ац*іУі-
Матрица
составленная из коэффициентов билинейной формы (9), называ ется матрицей этой формы, ранг этой матрицы — рангом били нейной формы, а определитель det А .называется дискриминан том этой формы.
Билинейная форма называется симметрической, если at~ a j U т. е. если коэффициенты при ytXj и yjXt одинаковы. Симмет
рическая билинейная форма не изменится, если поменять местами х{ и у,. Если билинейная форма является симметрической, то мат рица А, составленная из ее коэффициентов, будет симметричес кой матрицей и определитель этой матрицы det А будет симмет рическим определителем.
Примером билинейной формы |
< |
А (х; у) = х1у1 + х 2у2 + |
• • • + х„Уп |
является скалярное произведение векторов (10). Это будет сим метрическая билинейная форма, которая для трехмерного прост-
оаиства запишется так |
|
|
|
|
|
А (л; у) = |
хгуг -f х2у2 4 |
х 3у3. |
|
2. Квадратичные формы. |
Однородная функция второй степе |
|||
ни от переменных |
х и л'2, .. |
х п, которую записываем в следую |
||
щем виде: |
апл' ? + а12х',л'2 + ... + |
а ^ х ,, 4 |
|
|
F = |
|
|||
4 |
а21ххх2 4 |
а22х\ -f ... + |
а2пх 2xn 4 |
(11) |
+............................................... +
++ W 2 + ■■• + annX'">
называется квадратичной формой.
Матрица
cin а12... aln СІ2Х ^22 ***&2п
*4l 4/2 ■• • &nn
этой квадратичной формы является симметрической матрицей, т. е. atj — aj4. Следовательно, определитель этой матрицы del Л,
который называется дискриминантом квадратичной формы F, будет симметрический определитель.
Принимая во внимание, что члены вида a,y.v,Ay и ajl — XjXi
равны между собой, квадратичную форму (11) можно перепи сать так:
|
F = |
a1Lx) + |
а22х\ 4 ... 4 annx\ 4 |
|
|
|
|
+ |
2 а12хрс2 -j- 2й13л'1Х;і 4 |
• ■• + |
2аіпхіхп+ |
1 . |
. |
. v |
+ 2 а2Эх2х 3 4 |
• • ■+ |
2a2„x2xn 4 |
|
|
|
+ .................................... + |
||
Ч" 2ân-~i n^ti—\Jcfl =
/»•I і~і
К понятию квадратичной формы можно подойти также иначе. Если в билинейной форме (9), которую полагаем симметричес кой, т. е. ci'j =üji, положим, что
{/і = Хіі Уі х2, . . . , уп = Хп,
тогда билинейная форма Ф обратится в квадратичную форму F, которая будет целой рациональной функцией (11) второй сте пени от переменных х ь х ^ . . хп.
Теория |
квадратичных |
форм тесно |
связа.на с задачей при |
||||||
ведения уравнений кривых |
и |
поверхностей |
второго порядка к |
||||||
каномическому виду. |
имеем |
уравнение |
кривой второго порядка |
||||||
Пусть, |
например, |
||||||||
в общем виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(л-, у) = |
ап х г + |
2а12ху |
ß22y2 + |
2а13ху + |
2а23у + аіз = 0. |
||||
Если введем |
так называемые |
однородные координаты |
|||||||
|
|
|
|
|
хі |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Х ~ |
|
> ’| 11 |
|
||
|
|
|
|
*3 ’ |
|
||||
тогда получим |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Л |
Ь |
- 7 - ) - |
сіг1х\ 4* |
|
4- ^зз-^з 4- |
||
|
|
Лз / |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
“Г 2 |
пХ\X2 4~ 2 |
4~ 2d<,3x ох3 —0. |
|||
Левая часть последнего уравнения есть квадратичная форма |
|||||||||
|
F(*! |
х2, |
лг3) = ап х\ 4- апх ±х2 4- а13х1х 3 4- |
||||||
|
|
|
|
-f- |
|
~f~ |
|
О |
|
|
|
|
|
|
^22^2 + û'23'^2’^'3 |
||||
4~ азлх 3хх 4- a32x3x2 4- о-зз-хз-
Известно, что если кривая второго порядка является цент ральной, то ее уравнение приводится к каноническому виду и квадратичная форма F (xh Х2, х3) примет такой канонический вид
F (х\, х'.,, = И*’/ 4- h x'«+ Kx'l
Таким образом, имеем следующую основную теорему о квад ратичных формах: всякая квадратичная форма (11) может быть приведена некоторым невырозісденным линейным преобразоваем к каноническому виду, т. е.
F = \х * 4- |
... 4~ ï'nx п- |
(12) |
Будем рассматривать квадратичную форму (11) при условии, что ttij— Qj,, т. е. квадратичная форма F является симметричес
кой. Кроме того, ограничимся случаем действительных значений коэффициентов аі} и переменных х ъ х2. . х„.
Если воспользоваться обозначениями
(а-а |
^12 * |
ß'lri |
|
|
^•22 * |
* |
|
|
|
А = 1ап |
• a 2n |
х = (лу, Х2 |
хп)> |
|
\а„і |
аіЛ. |
• &nn |
|
|
то квадратичную форму (11) можно переписать так |
|
F — (Ах) X, |
|
где А — симметрическая матрица. |
|
Пусть |
|
*-2> •, еП |
(14) |
ортнормнрованный базис, образованный из собственных векторов матрицы А, рде Л-і, À2, . . %п — соответствующие характеристи
ческие или собственные числа (§ 17), и х\, |
х'„ . . х'п — |
коор |
|
динаты вектора х по базису (14). Тогда имеем |
|
||
X = |
х\е1 + х'.,ег + ... +-х'пеп, |
(15) |
|
далее находим |
|
|
|
Ах =А (лг^ і Н- х'2еа+ .... -f х пе„) = |
|
||
= |
Ху (Аву) + Ху (Аеа) -f-... + хп(Аеп) = |
|
|
= |
x i\ e 1 -f- x j.aea+ ... + |
x nhnen. |
|
Следовательно, уравнение (13) запишется в виде (12)
F = Xj*j + |
+ • • • + \iXn ■ |
Таким образом, при переходе к базису (14) из собственных векторов матрицы А квадратичная форма (11) преобразуется к виду (12), причем коэффициентами при квадратах переменных оказываются собственные числа матрицы.
Пример 1. Квадратичную форму
F ~~ 2х\ —|—А"2— 4*і*2 4хоХд
привести к каноническому виду.
Р е ш е и и е. Прежде всего заданную квадратичную форму запишем в следующем виде
F = 2х\ — 2хгха-f 0 xLx3 —
2 х ахг — х\ — 2*г*3 -f-
+ 0*3*1 — 2*3*2 + 0*з-
Характеристическое уравнение ее матрицы будет
2 — 1
- 2
0
X» - ЗХ2 — 6Х + 8 = 0,
откуда
Хі = 4, Ха = 1, Xg — — 2.
Следовательно, канонический вид данной квадратичной фор мы будет
F = 4л:',1-f -Ç — 2л-'1.
Рассмотрим вопрос о построении невырожденного линейного преобразования, при помощи которого квадратичная форма F вида (11) может быть приведена к каноническому виду (12).
Прежде всего укажем, что особую роль играют линейные преобразования, обладающие следующим свойством. Пусть име ет место линейное преобразование переменных хи х& .. хп в переменные лг,', х'2, . . хп, которое задано действительной мат
рицей М, состоящей из коэффициентов atj линейного выражения
X], хъ ..., Xп через х\, х'ѵ . . хп.
Если в результате этого преобразования квадратичная фор
ма
х і х\ + • • • “Ь х\
перейдет в квадратичную форму
Х\+ Х 2 + ■■• + х'п•
то само преобразование называется ортогональным, а его мат рица М будет ортогональной матрицей.
Матрицей квадратичной формы
х\ + х\ + . . . + х *
является единичная матрица
10 ... 0
Е= 0 1 . . . 0
Преобразованная квадратичная форма при ортогональной матрице М также должна иметь своей матрицей Е. Следова тельно, условие ортогональности действительной матрицы выра жается равенством
М 'ЕМ = Е, |
(16) |
где М' является транспонированной матрицей относительно мат рицы М (§ 16), но ЕМ = М, поэтому условие (16) можно запи сать так
М'М — Е.
Матрица М как невырожденная имеет обратную матрицу уИ-1, тогда, умножая последнее равенство справа на /И"-1, полу чим условие ортогональности в следующем виде
М' = лг-1.
Положим, что преобразуем квадратичную форму (11) к но вым переменным по формулам
Х\ = Ьп х { + Ь1гх2 + |
Ь1пхп, |
|
Х2 — Ь21х 1 + Ь.1гХ2 + |
• • • + Ь2пХп, |
,, уѵ |
хп ^ bпіх\ -j- bn2x2 Н- • • • “Ь Ьппхп,
тогда подставляя (17) в (11) и принимая во внимание правило умножения матриц (§ 15), получим матрицу С квадратичной формы (П), которая преобразована к новым переменным,
С= В'АВ,
где
|
/ а 11 |
а 12 • |
• О іп \ |
/ Ь ц |
^12 * |
• |
b ln |
А |
СЬ2і |
• . . 0 2 П \ |
в = |
^22 * ■ |
■ |
bin |
|
~ |
|
|
|
|
|
||
|
W |
а п2 • |
• & пп) |
\ ь й1 |
Ь п2- |
• b nil |
|
а В' — транспонированная матрица.
Если преобразование (17) ортогонально, то транспонирован
ная матрица В' совпадает с. обратной В~1, поэтому имеем |
|
С — В~ХАВ. |
(18) |
Таким образом, задача о построении ортогонального преоб разования (17), приводящего квадратичную форму (11) к сумме квадратов, равносильна задаче построения такой ортогональной матрицы В, чтобы матрица С была диагональной
[>•1 |
0 |
0 . |
. 0 |
' |
0 |
x20 . |
. 0 |
|
|
c = 0 |
0 |
Xg. |
. 0 |
|
|
1 |
■ |
|
о |
о |
0 . • Л
причем ее элементы Яі, А,г, |
являются коэффициентами при |
|
ѵ'а г ' |
хп . |
|
Лі > х |
|
|
Следовательно, из уравнения |
(18) имеем |
|
ВС=АВ