Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 139
Скачиваний: 1
О ц |
&12 |
. • • а 1 л \ |
ß |
x i Ь12 |
• • • ь. |
|
°21 |
^22 |
• • ■a in I |
|
6 22 . . . b, |
|
|
|
|
I |
r |
.21 |
|
|
а п1 я л 3 . . ■ а « « / |
w |
b n i ■■ . b , |
|
|||
bи |
Ь1й ... b |
|
|
|
|
|
|
bot |
bno ... b |
|
|
|
|
yb„t |
b„o...b |
|
|
|
|
|
Вводя вектор xk |
с координатами |
(blk, bik, |
*«*)> но- |
|||
следнее уравнение перепишем так |
|
|
||||
|
|
А хк = |
ХАяА, |
|
|
|
отсюда, перенося все члены в одну сторону, получим для опре деления Ьи , bik, . . . , Ьпк систему п линейных однородных урав нений
(аи — |
Ь1к -4- О-іФы |
+ • • • + в-іпРпк — О* |
|
Ovfhk + |
(aM - К) b2k |
+ ... + <цпЬпк - О, |
(19) |
алА* + ал2^2А+ • • • + (a-nn ~ Ю bnk = О-
Определитель этой системы
a l l |
bk |
^12 |
|
а 1л |
&21 |
|
Cl*2 |
* • |
а гп |
«ЛІ |
|
a„2 |
■a nn — |
|
так как это есть характеристическое (вековое) уравнение матри цы А. Следовательно, линейная однородная система (19) имеет ненулевые решения (§ 10).
Таким образом, определив элементы ортогональной матрицы
’b n Ь 21
^ 1 2 |
* 1■• b i„ |
^ 2 2 |
• ■ • Ь <2fi |
\ b „ i b „г • . ■ bn„
можем написать невырожденное линейное преобразование, при водящее квадратичную форму F к каноническому виду (12).
Пример 2. Исследовать ортогональность матриц
1 |
1 |
0 |
|
0 |
Ѵ 2 |
Ѵ 2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
||
0 |
0 |
|
|||
1 / 2 |
1 / 2 |
|
|||
Afi=> |
|
AL |
|||
1 |
1 |
1 |
|||
1 |
|
||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
P e ш e и и e. Для матрицы M: транспонированная будет
|
1 |
о |
_1_ |
2 |
|
|
V 2 |
2 |
|
||
|
|
|
|||
|
1 |
0 |
J_ |
J_ |
|
|
V 2 |
2 |
2 |
|
|
м:-- |
|
|
|||
|
1 |
_1_ |
J_ |
|
|
|
О |
|
|||
|
Ѵ 2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
о |
1 |
|
J_ |
|
|
1/2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
умножая далее АГ] на Мі получим |
|
|
|
||
1 |
1 |
1 |
f 1 |
1 |
0 |
0 |
2 |
2 |
1 /2 |
1 /2 |
|
1 /2 |
|
||||
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
2 |
1 /2 |
||
1 /2 |
|
|
|||
ALAL = |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||
0 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 /2 |
|||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
1 /2 |
2 J |
||||
1
3
матрица
0
1
1 /2
1
2
1
2
= Е.
Следовательно, матрица М\ будет ортогональной. Что каса ется матрицы М% то сразу видно, что она ортогональной не бу-
дет. В ортогональной матрице сумма квадратов элёментов вся кого столбца равна единице, тогда как для Мг сумма квадратов
элементов первого столбца 1г + | — J+ f-^-J > 1. '
Пример 3, Привести к осям симметрии уравнение поверхнос
ти
х\ + 5*§ + *^ + %хіх 2 + бх+з + 2 хххя = 5.
Р е ш е и и е. Соответствующая квадратичная форма будет
F= л® —XiX2 -f- Зхгх3 +
+x2*i + 5*1 + *2*3 +
+3*3*! + *3*2 + *3-
Напишем характеристическое уравнение ее матрицы 1 - X 1 3
1 5 - 1 1
3 1 1 - X
или в окончательном виде.
).з _ ух* + 3 6 - 0 ,
откуда путем подбора находим
+ = - 2, ) , = 3, X, = 6.
Следовательно, уравнение заданной поверхности, отнесенное к осям симметрии будет
- 2x 1'+ 3 * 2* + 6 * ; = 5,
т. е. имеем однополосный гиперболид.
Определим далее элементы ортогональной матрицы b
В = b
b
Для этого воспользуемся системой линейных однородных уравнений (19), которые в данном случае запишутся так
(1 — ^k) b\k + b2k + 3bSk = О,
b ik + ( b - h ) b 2k + bzk = 0 , |
(2 0 ) |
3^!А + b 2k + ( 1 — XA)& 3ft = 0 .
Из последней системы при Лі = —2 получим
Г З Ь ц -J- Ь ц -j- З Ь ц = О,
I Ьп + 7Ьп + й31 = 0; решение этой системы будет
Ьц — — ki, bzi = 0, bgl — ki,
где k\ — произвольное число, которое выбираем так, чтобы сум ма квадратов чисел, составляющих решение, была равна еди нице, так как матрица В — ортогональная. Получим
^іі— |
1 |
• bil — 0, Ьц — |
|
|
V 2 ' |
причем это решение можно взять и с обратными знаками. При ^2 —3 из системы (20) получим
—2^12 Ьц -(- ЗЬзг = 0,
Ьц -f- 2622 "Ь bil =» 0,
3^x2 ~Ь Ьц — 2 Ьц = 0,
отсюда аналогично предыдущему окончательно находим
«. |
1 |
t |
1 |
. 1 |
12 ~ у з ’ |
22 _ |
У з ’ 32 |
У з ' |
|
Наконец, при Х3= 6 из системы (19) имеем
50із -f- Ьц -f- З633 = О,
^хз Ьц -j- Ьаз = 0,
З&хз Ч- Ьц 5Ь33 = 0,
откуда b1 3 =b33= k 3 и 02д= 613+Ьзз=2/гз, где k3 — произвольное чи сло, которое выбираем так, чтобы сумма квадратов чисел, состав ляющих решение, была равна единице; получим
t |
1 t |
2 |
1 |
13_ W |
’ 23_ W |
’ 33_ w |
|
Таким образом, формулы преобразования переменных будут
|
1 |
|
1 |
|
Лі~ |
]/2 |
Аі~ |
У 2 Хз' |
|
х2 = |
1 7 |
Г “ |
~ V f х2 + ~ 7 Т Хз’ |
(21) |
x'3 =zy w xi + Y T Xz + W Xs'
Ранг матрицы |
|
|
—-— |
0 |
-------^г- |
Ѵ ~ 2 |
|
V 2 |
_ J _______1__ |
1 |
|
К з |
К з |
К з |
1 |
2 |
1 |
. 1/6 |
К б |
К б . |
полученного линейного преобразования равен трем, следова тельно, линейное преобразование (21) невырожденное.
3. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к кано ническому виду. Укажем еще один способ приведения квадратич ной формы (11) к сумме квадратов. Суть этого способа, принад лежащего Лагранжу, состоит в последовательном выделении пол
ных квадратов. |
квадратичную |
Пусть надо привести к каноническому виду |
|
форму (11). Если все коэффициенты а^{іФ/) |
равны нулю, |
то она уже является канонической. Если существует ацФО [іф і), |
|
но все коэффициенты при квадратных переменных а іг = 0, то пре
образование |
t/a, |
хг = yt, |
x 2 |
- yj, |
Хі = уѵ Xj = |
||||
x k — Ук> |
/> |
1. |
2. |
|
является невырожденным |
и приводим |
форму к виду, где |
||
ОуьФО. Поэтому можно считать, что а.\чФ§ уже в исходной фор ме, тогда преобразование
xx = yt — Уг, хг = ух + у2, xk = ук, k = 3, 4........п,
приведет форму к виду, содержащему квадрат первого перемен ного. Если исходная форма не содержит х 2, но содержит х?, то
преобразование
Хі = Уі, Хі = ух хк = у к, - к ф \ , і,
приведет форму к виду, содержащему квадрат первого пере менного. Таким образом, без ограничения общности можно счи тать аи ^=0. Тогда, выделяя в форме (11) все члены, содержащие хѵ и принимая во внимание, что аііх 1х} = аІІх]хь получим
F =» а1Хх\ -)- 2а12ххх 2 + ... + 2а1пх1хп + Fx =
1 |
( 22) |
=—— (%L*1 + + • • • + а1пХп) 2 + F2, a11
где F2 = Fi — -J— (апхг + ... + alnxn) 2 будет форма, не содер жи
жащая первого переменного.