Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf

Применив далее к форме (22) преобразование

Уі — а іхх г+ а ігх г + . ■• + а і пх п>

Уі — х 2>

Уп = ХП>

выделим из данной формы один квадрат, т. е. приведем ее к виду

У\ + РгІУч.........Уп)- с полученной формой F2 (y2, ..., у п) посту­

пи паем точно так же, оставляя неизменным первое переменное,

только меняем его обозначение. Так, все преобразования, кото­ рыми пользовались, являются невырожденными, то после конечного числа шагов получим невырожденное линейное пре­

4. Экстремум функции нескольких переменных. Теория ква­ дратичных форм и их приведение к каноническому виду успешно применяются к отысканию максимума и минимума функций нескольких переменных.

Воспользуемся следующей основной теоремой: пусть функция œ= f(xh X , ..., *„) дважды дифференцируема и du =0 в точке М.

Если в этой точке d 2ш> 0 (при р = ]/"dx2 + сіх\ -f-.. . + rfx2n>0),

то имеется минимум; если d2a><0 , то имеется максимум; если же d2со меняет знак, то экстремума, нет.

Рассматривая в уравнении (23) дифференциалы d x как независимые переменные х\, хъ . . х„ в квадратичной форме (11), эту форму можно преобразовать к каноническому виду (12)

^ 0 = ) . ^ + ).^ + ... + ^

нулю.

Таким образом, приходим к следующему выводу: если все собственные числа, матрицы

W ап2 • • • Q-nn

строго положительны, то имеется минимум; если строго отрица­ тельны, то имется максимум; если же имеются значения раз­ личных знаков, то экстремума нет.

Действительно, в первом случае d2со>0, во втором d2со <0. Что

называется матрицей формы F, ранг матрицы А называется ран­ гом формы F.

Доказывается, что если квадратичная форма ранга г, то после приведения ее невырождающнмся линейным преобразо­ ванием к каноническому виду она будет содержать г членов.

Заметим, что данная квадратичная форма F с действительны­ ми коэффициентами при помощи иевырождагощегося действи­ тельного линейного преобразования может быть раличными спо­ собами приведении каноническому виду

F — ^Xj’-f- Д-'-Ѵ“Ь • ■• + Kxr>

где г — ранг квадратичной формы.

г

Полагая 2,- = у )нХі (і= 1, 2, .. ., г), получим приведение фор­ мы F к виду

F = z\ + z2 "Ь • • ■+ Zr

который называется нормальным видом.

Для нормального вида квадратичных форм имеем следующую важную теорему: число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная квадратичная форма с действительными коэффициентами дейст­ вительным невырождающимся линейным преобразованием, не зависит от этого преобразования.

Эта теорема называется законом инерции действительных квадратичных форм.

§ 23. Решение системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами

1.Рассмотрим дифференцирование и интегрирование векто ров и матриц.

Положим, задан вектор

где t может изменятся в некотором конечном или бесконечном

Вектор-функция (24) называется дифференцируемой или ин­ тегрируемой, если дифференцируемы или соответственно интег­ рируемые функции А'і, а'2, . . ., а , которые являются ее координа­ тами. Имеем по определению

что можно также обозначить иначе

X — (х^, X-J, • • ., х(|), X = (-Ѵх>^2’ ■• • >Ап);

аналогично имеем

j аd t = ( jx^ri/, j" A3dt, .. ., j A„ri/) ,

такое самое равенство существует и для определенного интегра­ ла.

Исходя из установленных понятий, легко показать, что

называется матричной функцией переменного t, если все ее эле­ менты являются функциями от t, т. е.

au = aij(t), і, / = 1, 2, . . . , п,

что записывается так

A=A(t).

Матрица А называется постоянной ^=const, если постоянны все ее элементы.