Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf

Скачать файл (7,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 121

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Действительно, умножив все элементы какой-либо вертикали, например, последней, данного определителя

Я ц а 12	а 13
D — &Ц ^22	з
а зі	а зз

на т, получим

#21 #22 #^#23 /?г (Оц022®ЗЯ*Ь ^12^23^31 “Ь О'ілЯгі^'ЗЯ --

CIQi flg2 /?Шзз

^12^21^33 ^ТіѴ'З.'іСіз) — llbD.

Таким образом, справедливость свойства III доказана.

Сл е д с т в и е 1. Сели есе элементы какой-либо вертикали имеют общий множитель, то его можно вынести за знак опреде лителя.

Сл е д с т в и е 2. Определитель, у которого элементы двух вертикалей соответственно пропорциональны, равен нулю.

Допустим, что в о,пределителе D элементы второй и третьей вертикали пропорциональны, т. е.

	&12			#22		Дд2	j
тогда:	#13			#23		#33
тогда:
~			^22 =		^^23>		^32 =	^®33
и определитель D запишется так:
	&11 ^-12 Cli3					сіц	hciiз ^із
D =	Cl	а	.22	0-23	=	ci	hci.,	ci y
D =	21		.22			21	2	.2
	ûgi	Û32 аза				a3i	haaa	ci'ia

Вынося общий множитель h за знак определителя, получим определитель, у которого две вертикали одинаковы. Известно, что такой определитель равен нулю.

С в о й с т в о IV. Пусть каждый элемент какой-либо вер тикали определителя D есть сумма двух слагаемых, тогда опре делитель D равен сумме двух определителей, причем в одном определителе соответствующая вертикаль состоит из первых сла гаемых, а в другом — из вторых слагаемых. Остальные вертка

го

и 11	ÖX2-\~Ь\	в.13	а 11	й 12	й 13		(h i	bi	ciiз
D = и 2і	сі22-\-Ь 2	а,23 =	&21	#22	^23	+	Ü 2I	b2	a 23
&81	^32"Ь Ь3 (Х33		#31	^32	^33		cisi	b3	ci33

Действительно, определитель D можно представить так:

D — ап (а22+ Ь2) Озз -+- й13а21 (а32-}- Ь3) + (аІ2 -Т b^) а23а31—

—сі13 (а22+ Ь2) а31— (а12-)- Ьг) а.21а33 — о-1ха~г3 (а32 + Ь3) =

— (ßnß22cia3-f- CLI30 2TC132 -j- IX^2ü-23Cl3i
U-I3CI22CL3I		а12а21азг			сіуЩ23а3^) -f-
+ (an ^2 am H~ cii3d21b3 “ b biß,23a3i				cina23b3) =
Q-v&iß3\ biß-i\Ci33				cina23b3) =
an	ciy2	a13	au	bt	civi
—	u22	a23	+ a2i	b2	ci23
СІ31	Ci32	Cl3g	CI31	b3	a33

Таким образом, свойство IV доказано.

Очевидно, что это свойство справедливо ие только для случая двух слагаемых, но его можно распространить на случай любого числа слагаемых. Например,

сіц ~f- bi -T Ci ai2 ciyi

а 1 1

Сіц ССц

b±

&12

u13

C1 <TL2 &13

ü>2i H* b2 -T

a22

û 23 =

Cl21

d'il

ci23

a22

a23 +

^22

Cl23

asi + b3 +

a32

û 33

ClSI

a 32

Cl33

a32

a33

Cl32

CI33

Этим свойством пользуемся также и в том случае, когда в определителе все элементы какой-либо горизонтали или верти кали будут числа комплексные. Например, для определителя третьего порядка имеем

Cil1 “ b b j		Ü12	ü13	an	cii2	ахз	Ь\	Сіц	O j3
ci2j	—\|— b2i	a22	cii,3 =	flgj	#22	#23	b2	a22	ci03
Я з і	"b b3i	aS2	Û33 1	^31	^32	Cl33	b3	a34	t?33

С л е д с т в и е . Определитель D не меняет своего значения, если ко всем элементам какой-либо вертикали прибавить соответ ствующие элементы другой вертикали, умноженные на одно и то же число.

С1\у ^12 ^13

D = #21 #22 ^23

#зі #32 #зз

все элементы, например, второй вертикали умножим на некоторое число !г{кфО) и, прибавив к соответствующим элементам третьей вертикали, имеем определитель

Яц Яі2 ^13 ~Ь hciyt

Д = ^"21 ®22 ®23 "Ь ^'^22

«И ^32 ®33 + foCl§2

Полученный определитель А на основании свойства IV можно представить в виде суммы двух определителей, из которых один будет заданный определитель D, а другой D\.

Следовательно, A = D + D Uгде

CLyy Ûi2

А.— ^21 #22 ^#22 #31 ^32 ^#32

но определитель Ді = 0, так как у него элементы двух вертикалей второй и третьей соответственно пропорциональны.

Таким образом, образованный определитель Д равен задан ному определителю D.

Все эти свойства и следствия из них, рассмотренные для оп ределителей третьего порядка, распространяются также и на определители п-го порядка. Ими всегда пользуются при вычисле нии определителей.

Пример. Определить значение определителя

а а± ах -+- сцу

D = Ъ Ьг	Ьх + Ьуу
с сг	сх + сгу

не развертывая его.

Р е ш е н и е . Прежде всего заданный определитель предста вим в виде суммы двух определителей, в каждом из которых общий множитель для элементов третьей вертикали вынесем

а	ах	ах	Ct Clx	et]у
£> = b bx		Ьх +	b bx	Ьху
с	сх сх		с сх	сху

а	ах а		а	ах	ах
X Ь	Ьх	Ь	+ У b	bx Ьх
с	сх	с	с	сх	сх

так как в полученных определителях элементы двух вертикалей соответственно равны.

Задачи

В задачах 44—46 доказать тождества, не развертывая определителей:

44. sin2 а	1	cos2 а	45. I	X y + z
sin2 ß	1	COS2 ß = 0. ‘	1	у x i - z
sin3 ?	1	cos2 ■(	1	Z X i- у

46.	&-f c		c +	ß	a -i b		a	b c
	bx -\|- cx cx			ßj	ßj +	bx	= 2 ß!	Ьх Cj
	bo “P Cÿ Co-j- ßo ßo “P bn						(In	Ьо Со
47. Упростить определитель
			am + bp ап -г bq
разложив его на слагаемые.			cm +	dp	en -f dq
разложив его на слагаемые.										a b
								Отв.		a b
								Отв.	(mq - пр)
			ах -р b					b		с d
48. Показать, что	f {х) —		ах -р b					b	если	a b
48. Показать, что	f {х) —		сх		равна постоянной -j-				если	с d = 0.
полагая а ■b, с, d ие равными нулю.										с d = 0.
полагая а ■b, с, d ие равными нулю.
	§ 8. Умножение определителей
Рассмотрим определитель второго порядка
	#11^11 “Н ^12^21					^11^12 4" ^12^22
	°21^Ц +			О-чФ21		&2іРі2"Г #22^22\|
В этом определителе каждый элемент представляет										сумму
двух слагаемых, поэтому, применяя свойство IV (§ 7), его можно
представить в виде		суммы		четырех			определителей, у			которых
элементы вертикалей		содержат общий множитель, который мо-

жет быть вынесем за знак определителя. Таким образом, имеем

	^11^12	аіФи	аіФ%1	ахф	«цбц
D ■				■‘•12й21
	^21^12 +	сі2фп	«22622 +	&9і.Ф-2іІ1	'21й12 +
^21^11
^12^21	^12^22		«11 «11		« 1 1	« 1 2
+ ^22^21	^22^22 =	6ц6і2 «21 «21 +		Ь^фгг	« 21	«22 +

+ 612è2l «1 2	«11	+	^21^22
«22	«21
«11 «12					CL\\ ^12		6 ц	6 12
Û21 П22 (6ц622			612621)		&21 ^22		631	b22
так как	«11	«11		&12
	«11	«11		&12		= 0.
	«21 «21			Ct22	^22	= 0.
	«21 «21			Ct22	^22
Следовательно, определитель D=D\ • D2, где ,
	^11		^12	D« =		11 ^12
				D« =		21 ^22
						21 ^22

На основании этого приходим к следующему правилу умно жения определителей второго порядка: для того, чтобы пере множить два определителя второго порядка .Ори Dz, необходимо все элементы первой, а затем второй горизонтали определителя Di умножить на соответствующие элементы вертикалей опреде лителя 0 2 и все эти произведения сложить. Полученный таким образом определитель О и будет произведением определителей Di и 0 2.

Пусть далее О будет определителем третьего порядка: 0 =

« 1і6 ц + «I262I+ «13631 «ц6і2 + «I2622+ «13632 ß11^13+ &ѵ Ф іЪ + «13633

« 2і 6ц ~Т~ «22621 + «236 31 «2і6і2+ «2г622+ «2з6з2 4'al6l3+ «22623+ «23633

«Зібц + й32021+ «33631 «31612+ «326224" «33632 «3l6l3+ (Хуф уь + 0:33633

На основании того же свойства IV (•§ 7) определитель D мож но представить в виде суммы 27 определителей третьего порядка, из которых 21 определитель будет равён нуЛю, так как в этих определителях имеются пропорциональные вертикали. Остаются следующие шесть определителей:

«ц б ц # 12^22 «13633

«ц б ц ^ 22^22 «23633 — 6110226з30 1,

«З іб ц ^ 32^22 «33633

# 1 3 ^ 3 1 Û 1 2 ^ 2 2		A l l a i s
# 2 3 ^ 3 1	Q zzb zz	Й з і ^ і з
# 2 3 ^ 3 1
Я з а ^ з і ^ 3 2 ^ 2 2		ft.4 .^ 1 3
f t l S ^ S l	d x i b n	Û-12^23
0-28^31	f t a i ^ i a	0 2 2 ^ 2 8
Û 3 3 ^ 3 1	Û 31^12	0 3 2 ^ 2 3
f t l l & l l	ft l3 ^ 8 2	f t 12^23

-----=• biabÿ2baiDv

bllb^3baiD1,

f t a i ^ u	^ 2 3 ^ é 2	â a i b ÿ f		------ЬіхЬіФзаРъ
Û 31^11	û 33^32	Û 3 2 ^ 2 3
	\
û12^21 0-хФз2 ftll^lS
aS2^21 Û03Ô32 ftîl^ia				~	bi^b3ibazDi,
fts2^21 Û33^32 ÛS1&13
012^21 ОцЬ1г ft13^33
^22^21 #21^12 й-здЬаз —						bx2p2\baaDz,
a.szbtx	031^12	fts3^33
где		a\\	an		ам
		a\\	an		ам
	Dx=. Ол		&22		Cio3 .
		Æ31	^32		Æ’sa

Отсюда получим, что данный определитель D будет

D =	buboobÿÿDi	^12^23^31^1 "f" ^13^21^32^1--
		^13^22^31^1 bnbi3bazDx	ЬпЬ2ф310х ==
=	Dx (РхФхФ'П“H^12^23^31~Г^13^'Л^32~~Ьх3Ь2ф3х bxxbZ3b3z		^12^21^33)=

= DxDz,

где	£11 bx2 bxa
	£11 bx2 bxa
	■Da = Ь21 b.22 b%3
	bзх Ь$2 bÿ8

Следовательно, произведение двух определителей третьего порядка Di и D2 будет также определитель третьего порядка D.

Смотрите также файлы

Казаков Б.И. Благородные металлы служат человеку.pdf

Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

Календерьян В.А. Теплоотдача плотного движущегося слоя и методы ее интенсификации.pdf

Коваленко И.Н. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами.pdf

Кожинов В.Ф. Озонирование воды.pdf

Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно