Файл: Даев Д.С. Высокочастотные электромагнитные методы исследования скважин.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 92

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Подставляя

(3.38) в (3.31), получаем

выражение для Еѵ при

O ^ r ^ ö i:

 

 

Eff, = (— /соиМ0/4л.) I д [eK,R/R]/dr + (2/я) j

(X) Іг (A^r) cos Azdxj ,

 

 

(3.40)

или

 

 

E,f =

Ev „ди — (/coliM0/2^2) )' Ajty (A) If (Axr) cos Azdh.

 

b

 

Таким образом, для определения поля в скважине необходимо

знать функцию У(г) при г=о.

 

При

зная У (г), можем из выражения (3.33) опре­

делить F(r). Действительно, выражение (3.33) представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого может быть записано следующим образом:

 

F (г) = [aiF (ai)/r] exp

rY (r) dr.

 

 

(3-41)

Значение

F(ai) определяется

с

помощью

формул (3.38) и

(3.39). Подставляя выражения для F(r)

и F(at)

в (3.31), можем

найти £ ф. Поскольку F (г)

и F (а|) определяются с помощью

Y(г)

и УI, можем утверждать, что вычисление £ ф при a i ^ r < a n_i

воз­

можно, если известна функция У (л).

 

вытекает,

что в общем

ре­

При

из условия излучения

шении вида (3.35) может использоваться только

член с Кі(Хпг).

Учитывая это обстоятельство

и

определяя

коэффициент

 

при

Кі(Кпг) через значение функции F(r)

при г= ап-і, имеем

 

 

 

F(r)= F (a ,t_ ,)

f

f

f

,

 

 

(3.42>

где F(an-\)

по аналогии с

(3.41)

определяется

выражением

 

 

 

F (а ,_,) =

°lF {аі)■exp f“_1 rY (r) dr.

(3.43)

 

 

a

n _ _ f

 

. )

 

 

 

 

 

 

Следовательно, вычисление поля в любой области возможно, если известна функция У (г), являющаяся решением уравнения Рикатти (3.34). В кусочно-однородной среде уравнение (3.34) в соответствии с (3.33) удовлетворяет решению при am-i^Zns^am:

%т

ст

Іц(

А ( )A ( Xm

m r ) r

)

г

к, (Xmr) - I - c'm(X) /,

(A,„r)

 

(3.44)

 

 

76

Обозначим Y^~„m)—Ym и ^о-=пт _ 1)= Ут -і- В соответствии с (3 .44) іимеем

V

_

К р 0 ^ m a rn — i ) c/ii ( 4

Л « ая - і )

1 m—I

— ---------------------------——-------------------

 

a m — i

K x ß r n a m - 1) + cm ( X ) 1 1 ( X „ , a m ~ i )

где c'm(X) определяется через У,,, следующим образом:

с

'

K i(K q^(X m a) m )

У+ _тат К \ ( K f l m )

 

 

KrJo (Xnfim)

Кmaml у(Xnlam)

(3.45)

(3.46)

Формулы (3.45) и (3.46) являются рекуррентными соотноше­ ниями, позволяющими последовательно определить все с'т, Ут и Е<р в любой точке пространства. Однако для решения уравне­ ния Рикатти и определения с'т и Ут необходимо задать начальное

условие. Подставляя выражение (3.42) в (3.33), можем найти зна­ чение Уг при г= а 11_1, т. е.

Yn j — ____ ККр ( К Оц—і)

(3.47)

ап—і Ку (К an_i)

Выражение (3.47) и будет требуемым начальным условием. Іаким образом, в я-слойной среде с'„(7,)=0, что связано с отсут­ ствием отраженной волны в последнем слое.

Зная, согласно (3.47), значение У„_і, определяемое только ра­ диусом ап-і и электрическими параметрами последнего слоя е„ и

Уп, с помощью формул (3.45) II (3.46) вычисляем все Ут и с'т вплоть до С' і.

,соответствии с формулами (3.40) и (3.29), учитывая, что

^имеем следующие выражения для компонент поля в пеп­

тон среде:

 

1

Еу — Еѵ0ДІ[ ]- (j(opA40/2na) j Âjcj /j (Kr) cos Xz dX;

 

 

о

 

^ r Hгодн “f“ (.М0/2я;2) j

X\ c\ I-у(A,/') sin Xz d).;

(3.48)

H, — Hz одн + (ЛГ0/2пя) j’

Я,? ci / 0 (Xxr) cos Xz dX.

 

n

 

 

Вертикальная компонента поля, выраженная в единицах поля жвазистрационарного магнитного диполя, имеет вид

со

hz — hz ода -|- (гя/я) j X? сі b

/ 0 (X1r) cos Xz dX.

(3.49)

в

негоТР(з'4^

ЧТо°

выра(кеиие (3-49) при подстановке

в

него (3.45) и (3.46)

и я.= 2

дает формулу для двухслойной cöe-

ЛЫ, полученную В. Н.

Никитиной [6 lJ, "при п « 3 ^ д Г т р е х с л о й -

77

ной среды, полученную А. А. Кауфманом [53] н Г. Н. Звере­ вым [46], при /і = 4 —для четырехсложной среды, полученную Д. С. Даевым [30].

Методика численных расчетов для цилиндрических слоистых сред

Расчет поля на оси скважины при любом числе цилиндриче­ ских поверхностей раздела сводится к численному интегрированию выражения (3.49), где с\ определяется зависимостями (3.45)

и (3.46).

При численном интегрировании выражения (3.49) важно знать поведение подынтегральной функции Л]ф при малых и больших значениях переменной интегрирования. Можно показать, что при л—>-0 функция Х\с\ имеет конечное значение, а при больших зна­ чениях X функция л)’ф убывает по экспоненциальному закону.

Расчет поля по выражению (3.49) включает в себя три основ­ ные операции: расчет бесселевых функций от комплексного аргу­ мента, вычисление подынтегральной функции, собственно интегри­ рование. Как видно из формул (3.45) и (3.46), для вычисления подынтегрального выражения необходимо найти функции /0, А, Ко и К\ от комплексного аргумента. Стандартных программ для вы­ числения этих функций на ЭВМ нет. Вычисление бесселевых функ­ ций проводилось раздельно для малых и больших значений аргу­ мента. В интервале |Я,„а| от 0 до 4 расчет осуществлялся по фор­ мулам степенных рядов, обеспечивающих хорошую точность, до

СО

со

со

k

 

 

(тГ 2 т~'~/о(z) (1п +7); (3'50)

со

к

 

А J

А! PH- I)! n j s

- I.

 

\ І И =

I

где Y = 0,5/ /2156 — постоянная Эйлера.

?8

Для

вычисления

функций Бесселя

при

|Amö |> 4

использова­

лись разложения,

приведенные в работе [83]:

 

 

 

К0(х) х Чг еѵ=

go -I- (2/x) g-г-f

(2/x)2g2 -f

. . +

(2/x)Gg6;

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.51),

K1{x)xlt& = h0 + (2/x)hl + (2/xy-h,+

. . .

(2/Л-)6he,

где

g0 =

1,25331414,

A0 =

1,25331414;

 

 

 

 

 

 

gi = — 0,07832358,

Ax = 0,23498619;

 

 

 

g2 = 0,02189568,

h, = — 0,03655620;

 

g3= — 0,01062446,

A3 =

4- 0,01504268;

 

g4 = 0,00587872,

A., =

— 0,00780353;

 

g5 = — 0,00251540,

A6 = 0,00325614;

 

 

 

g6 = 0,00053208,

hs = — 0,00068245;

/ 0 (x) X42e—v c0 +

c1 (3,75/x) f c, (3,75/x)2 +

. . . +

cs-(3,75/x)s;

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.52):

Ix (x) х І2е~х = d0 + d1(3,75/x) -|- d, (3,75/x)2 +

. . . + da(3,75/*)*,

 

c0 = 0,398942280,

d0= 0,398942280;

 

 

 

сг = 0,013285917,

£^ = — 0,039880242;

 

c2 = 0,002253187,

d, = — 0,003620183;

 

c3

— 0,001575649,

ds = 0,001638014;

 

 

 

c4 = 0,009162808,

d* =

— 0,010315550;

 

c5 = — 0,020577063,

d5 = 0,022829673;

 

 

 

c , = 0,026355372,

d6 = — 0,028953121;

 

c7 =

— 0,016476329,

rf7 =0,017876535;

 

 

 

cs = 0,003923667,

d8 = — 0,004200587.

Согласно [83], сходимость выражений (3.51) и (3.52) обеспе­

чивается

в интервале 2 < |х |< о о ,

а максимальная

 

погрешность

счета, по данным формулам составляет |е |Шах~ 10~6. Представляет интерес сравнить результаты вычисления функ­

ций Бесселя по формулам (3.50), (3.51) и (3.52) на стыке при |Л„,а|=4. Соответствующие данные представлены в табл. 7. При­ веденные результаты показывают, что относительная погрешность, счета на стыке не превышает 10~5.

Неосциллирующая часть подынтегральной функции Ajcj вы­

числялась в каждой точке интервала интегрирования в виде дей­ ствительной и мнимой частей. При больших значениях аргумента кта расчеты с[ (Я) непосредственно по формулам (3.45) и (3.46)

приводят к потери точности, особенно при большом числе слоев. Поэтому целесообразно несколько преобразовать эти выражения..

Функция

U О'-пг0)

/, м

Ä'n ( ^ т а )

к1 ( Я , „ о )

Функция

 

Таб л и u a 7

 

Re

п о ф о р м у л а м

п о ф о р м у л а м

( 3 . 5 0 )

( 3 . 5 1 ) , ( 3 . 5 2 )

—0,252616588-10

—0,252612153 - 10

-0,253063216 - 10

-0,253062037-10

-0,365547226- 10~і

-0,365547725- 10—і

-0,396073068- Ю- i

-0,396072418- Ю- i

П р о д о л ж е н и е т а б л . 7

 

Im

по формулам

по формулам

(3 .50)

(3 .51), (3.52)

 

/о (Я„,в)

1

а

)

 

0,229837097-10

 

0,229832945-10

 

 

/ 1

( А . | 7

 

0,1876933779-10

 

0,187693945-10

 

 

 

 

 

 

 

 

0,191044373-10-2

 

0,191043479-10-2

 

 

K l

(Ят а)

 

 

 

 

0,50776987810~2

 

0,50777006910~а

 

П р и м е ч

а II II е.

| }.та | = 4: }.та =

 

2.828 + 1 2,828.

 

 

 

 

 

 

Введем новую величину

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sm =

 

 

 

 

.

 

 

 

 

(3.53)

Подставляя

 

(3.53) в (3.54),

имеем

 

 

 

 

 

 

 

,»I—I —

Кп

Ко (К,а,п-1)

 

 

”

1-

sm[о(Я,„ £%„_!)

'-------

(3.54)

 

 

a m —

К1

n

 

P m am —

1 Г 4О_ ,

i n_

 

сР~'~таіп

—

i 4

I

 

 

 

 

 

A l (^nia m — l)

 

e

 

 

am — l)

e

 

 

Используя формулу

(3.46)

и умножая числитель и знаменатель

'■(3.53)

на е~2Х’па">, получаем выражение для s,„:

 

 

 

 

 

,

^-inKt _

(

^

m

° <

n

 

)( К п ате )

е "l

, П

 

ат — l

~) 1 ^ ~

• '

 

 

Wo (W«) e~V " -

Ymh (Я„А„) e- *™““

 

 

 

 

 

 

Нетрудно

видеть,

что в выражениях (3.54) и (3.55) исполь­

зуются непосредственно разложения

(3.51) и (3.52), а ие значения

• функций Іп и Кп,

для

получения которых необходимо умножение

II деление на экспоненциальные множители. Расчет по формулам

(3.54)

и (3.55)

ведется при \Кта \ ^ 4 .

 

 

 

часть

подынте­

Как показывают расчеты, неосциллирующая

гральной

функции

при

изменении переменной

интегрирования

от

•О до оо изменяется плавно и ие имеет особых точек.

 

 

 

 

При численном интегрировании выражения

(3.49) необходимо

учитывать

следующие

обстоятельства. Подынтегральная

функция

• состоит из двух

 

сомножителей

Цс\

и осциллирующей

функции

cos Яг.

На

начальном

участке

функция Цс\

изменяется

весьма

.80

Смотрите также файлы