Файл: Даев Д.С. Высокочастотные электромагнитные методы исследования скважин.pdf

что эта погрешность не превышает 10-п —ІО-12. Погрешность, воз­ никающая при интерполировании, оценивалась экспериментально путем уменьшения шага интегрирования. Сравнение результатов расчета с разным шагом показывает, что при реальных границах изменения параметров (sm, ут, от и др.) ошибка вычисления ин­ теграла, зависящая от шага интегрирования, по абсолютной вели­ чине не превышает ІО-5 при указанных выше значениях постоян­ ного и переменного шага.

При отладке программ для исключения случайных ошибок и оценки точности вычисления интеграла применялись следующие способы: 1) сравнение результатов интегрирования со значениями поля в однородной среде, вычисленными с большой точностью; 2) сравнение результатов расчета по программам, составленным разными авторами; 3) сравнение с результатами расчета задач индукционного каротажа.

Поле вертикального магнитного диполя при наличии пласта ограниченной мощности

Решение задачи о поле магнитного диполя при наличии пла­ ста конечной мощности рассматривалось в работах ряда авторов [46, 53 и др.]. Не воспроизводя деталей, ограничимся постанов­ кой задачи, кратким описанием хода решения и записью оконча­ тельных выражений для двухкатушечного зонда при разных его положениях относительно пласта. Примем следующую модель среды: пространство разделено двумя горизонтальными поверхно­ стями на три области: вмещающую среду с удельной проводи­ мостью уі и диэлектрической проницаемостью еі и пласт с пара­ метрами уз и гг- Параметры вмещающей среды по обе стороны пласта одинаковы. Магнитная проницаемость всех сред одинако­ ва и равна проницаемости вакуума — 4я-10-7 Г/м. Источником поля является магнитный диполь. Будем использовать цилиндри­ ческую систему координат, ось которой перпендикулярна поверх­ ностям раздела. Начало координат совпадает с источником поля. Момент диполя ориентирован по оси z и меняется во времени по закону е~1ш . Требуется определить поле при различных положе­ ниях источника и точки наблюдения относительно пласта.

Введем следующие обозначения: h — расстояние от генератор­ ного диполя до верхней границы пласта; z — расстояние от гене­ раторного диполя до точки измерения (длина зонда); Н — мощ­ ность пласта.

В случае гармонически меняющегося поля от системы уравне­ ний Максвелла можно перейти к волновому уравнению. Вводя вектор Герца магнитного типа

Е = £0)(л rot П,

имеем'

Ѵ2П + k2Ü = 0.

82

Вид источника и симметрия задачи позволяют утверждать, что вектор Герца имеет только вертикальную компоненту Пг, прини­ мающую разные значения в каждой из трех сред.

В цилиндрических координатах волновое уравнение для П с учетом независимости от ср запишется в виде

Решение должно удовлетворять следующим граничным ус­ ловиям.

1. При R = У r2+ z 2—>0 значение вектора Герца стремится к вы­ ражению поляризационного потенциала магнитного диполя в од­ нородной среде:

ПM0eikR/4nR.

2.На поверхностях раздела между пластом и вмещающими породами тангенциальные .компоненты магнитного и электриче­ ского полей меняются непрерывно. Компоненты поля опреде­

ляются выражениями

£ф = —/сор. dWjdr; Нг = d2Uz/drdz; Hz =■ k2Uz-{-d2n z/dz2. (3.56)

Отсюда граничные условия для вектора Герца будут при h = z:

3. При R-*-оо функция П стремится к нулю.

Решение волнового уравнения осуществляется способом разде­ ления переменных. Представляя решение в виде произведения П =

Решением первого уравнения являются функции Бесселя пер­

функция не может использоваться при построении решения. Об­ щее решение записывается в виде интеграла

Поле в среде, в которой находится источник, выражается в виде суммы двух функций — функции первичного возбуждения и функции, описывающей влияние неоднородности среды и имею­ щей структуру общего решения. Первичное возбуждение может

6* 83

Для получения зависимостей, описывающих поле при разных положениях источника п точки наблюдения относительно пласта, следует выписать соответствующие выражения для вектора Гер­ ца, что нетрудно сделать, используя (3.58) и (3.59). Исходя из условии сопряжения на поверхностях раздела, можно определить в этих выражениях неизвестные коэффициенты п с помощью фор­ мул (3.56) перейти от вектора Герца к выражениям для поля. Опуская промежуточные выкладки, выпишем интересующие пас

2.Датчики зонда находятся по разные стороны верхней гра­

84