Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

2.

Если

в

процессе

присутствует

периодическая

составляю­

щ а я ,

то

ее

период

сохраняется в

автокорреляционной

функции.

Н а этом

свойстве основаны способы выявления

скрытых

перио-

дичностей

по R^(x)

(подробнее

см. гл. I l l , § I ) .

при хфО

3.

Ординаты автокорреляционной

функции

по мо­

дулю не больше дисперсии случайного

процесса

•

4.

Д л я

случайного

эргодического

стационарного

процесса

выполняется

условие

Дл;(т) -»-0

при

| t |

->-оо.

('2.8)

И л и при конечных пределах интегрирования в (2.4)

# * ( т ) - » - е

при

т - ^ т Я .

х 4

'

г

кор

где х№

— и н т е р в а л

корреляции;

е — некоторое малое

число.

Обычно

принимают

е ^ 0 , 0 5 / ? *

(0).

З а т у х а н и е

оценки £!*|(т) является

обязательным,

но

н е д о с ­

например,

д л я реализации заведомо нестационарного

процес­

с а — затухающего

колебания — функция

R* (т) будет

т а к ж е

асимптотически приближаться к нулю при

увеличении

сдвига т.

Т а к будет

вести

себя автокорреляционная

функция

инерцион­

определить

среднюю

разность

ординат случайного

процесса в

различные

моменты

времени.

Д л я стационарного

случайного

Ax=y2Dx[l-rxixi)],

(2.10)

где

Тг — в р е м е н н о й сдвиг, соответствующий

фиксированному

промежутку времени м е ж д у ординатами процесса.

Д л я характеристики временного

сдвига,

на котором

происхо­

дит

затухание автокорреляционой

функции,

в

практике

анализа

со

" С = I Ы т ) К т .

(2.11)

о

О р д и н а т ы процесса, разделенные интервалом,

большим

.

м о ж н о считать некоррелированными, поэтому т<|>р

иногда

назы ­

реляции

принимается

за

интегральный масштаб турбулентности.

П р и

исследовании

стационарных случайных

процессов

широ­

ко используется т а к ж е

другое определение

интервала

корре­

л я ц и и

.т<9 . ка к

правило,

не превышает временного сдвига, соответст­

вующего

первому

пересечению

автокорреляционной функции

оси т. Интервалы

т<!> и т Я р связаны м е ж д у собой следующим

соотношением (Романенко, Сергеев, 1968):

кор

кор

2 Зак. 11821

17

В качестве

некоторой

приблизительной оценки максимально ­

го интервала

корреляции

может быть принят

временной

сдвиг

т,-, начиная с

которого \г*

(т) | ^0,05 . Д л я широкого класса

ста­

ционарных случайных процессов с нормальным

распределением

величину т[Ц . как показали

Ю . Л . Клоков и Л . В. Ж у р а в л е в

(1965), можно определить непосредственно по

реализации

про­

цесса, пользуясь следующей

зависимостью:

т<"

=

— .

(2.13)

где п 0 — среднее число пересечений случайным

процессом

нуле­

зована дл я решения

многих других задач, в

которых

требуется

с ж а т а я информация

об автокорреляционной

функции

(напри­

теорологических,

описывается

автокорреляционными

функциями

типа

R x j { r ) = = D x e - a u i t

(2.14)

Rx(T)=Dxe-*^cosfiT,

(2.15)

где а ' — к о э ф ф и ц и е н т

затухания;

(5 — частота колебания авто ­

корреляционной

функции.

Подставив их нормированные значения в (2.11) и (2.12), по­

лучим (Романенко, Сергеев,

1968)

Т (1)

Т (2)

= -

L ;

(2.16)

Т КОР

о

'

1 к о р

2 а

+ 2 е

^ +е 2 , 1 ) ] ;

(2Л7>

2 а 2 + | 3 2

К ° Р

4 а ( а 2 + Р 2 )

2

In г*

( Ш )

(=0

;

;

(-2.18)

2 ^

Л = 0

^ ^ r ^ T f k '

Р = ^ Г '

( 2 1 9 )

где

Ху — временной

сдвиг,

соответствующий первому

пересече­

нию автокорреляционной функцией

оси т; Тг — временной сдвиг,

на

котором отмечается б л и ж а й ш и й

к t i экстремум

функции ав­

токорреляции .

П о

(2.1в) определяется

коэффициент а при аппроксимации

оценки

автокорреляционной

функции затухающей

экспонентой.

П о

(2.19) находятся

параметры п и

(3 при аппроксимации затуха ­

ющей

косинусоидой

(Кондрашихин,

1969). Часто д л я

аппрокси­

#*(т) =

A v e - « h l ( cos р т + - у - s i n рт ) .

.(2.20)

В отличие от (2.15)

аппроксимация (Й.20) характеризует авто­

цесса.

П а р а м е т р ы а

и р

в случае аппроксимации (2.20)

нахо­

д я т с я

ка к

2.\Xi—Ti)

Т3 — Ti

где x-i — временной

сдвиг второго пересечения оси -г

автокорре­

ляционной функцией (Свешников,. 1968).

Выбор оптимального

аналитического

в ы р а ж е н и я

представ­

л я е т самостоятельную

задачу автокорреляционного

анализа .

Применение простых

аппроксимаций вида

(2.14), (2.15) и

(2.20)

2*

19