Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 228

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

э к с п е р и м е н т а л ь н ы ми оценками автокорреляционных функций часто можно добиться при использовании семейства функций

 

 

 

 

2 D j e - « i l T i k

c o s (Зд.

 

 

(2.22)

 

 

 

 

3=1

 

 

 

 

 

 

П а р а м е т р ы

Dj,

а; и

(3; этой суммы могут быть

приблизительно

оценены по функции

спектральной плотности

(см. § 3). Ка к бу­

дет

показано в гл. I I I и IV, автокорреляционная

функция (2,22)

описывает

внутренние связи широкого

класса

океанологических

процессов, а параметры D,-, a.;, \ij в ряде случаев

имеют вполне

определенный

физический

смысл.

 

 

 

 

 

~—

Рассмотрим

вопрос о

погрешностях

определения

автокорре­

ляционной

функции

по

оценке

вида

(2.4). Среднее

значение

к в а д р а т а ошибки этой оценки может быть представлено в виде

M{[R*x(T)~Rs(xm=M{[MR*

(х)-Rx(r)V}

+

+M{[R'X

(x)-MRx(x)Y-}=,r[R*X

(*)] •

(2.23)

Первое слагаемое суммы (2.23) есть к в а д р а т смещения оценки, второе — дисперсия оценки. Смещение оценки при фиксирован ­ ной продолжительности наблюдений зависит от сдвига т и мо­ жет быть определено следующим образом (Романенко, Сергеев, 1968):

Ьпх

=

^ Д —

J

(

1 - - = Д —

) R ( 0 + ; т ) d@ .

(2.24)

 

 

1

п X

0

4

I ц

X

 

 

Смещение

оценки

уменьшается

при

увеличении Г,,,

и при

[Тш—т)->-оо оценка

(2.4) является асимптотически не смещенной.

Дисперсия

оценки

(2.4)

определяется выражением

( Р о м а ­

ненко, Сергеев, 1968)

 

 

 

 

 

 

 

 

а ^ = М { [ Я * ( т ) р } - [ М Д * ( т ) Р =

 

^

 

Г я - т

Тп-х

 

 

 

 

 

 

(Гп-r)-

-

J

J М { [ х ( Л ) х ( / 1 + т ) ] [ х ( / 2 ) л - ( 4 + т ) ] } ^ 2 -

 

и

0

 

 

 

 

 

 

- [ ^ ( т ) - - ^ Д —

j (1-- ^Д—)

Rx(e+x)d®¥

(2.25)

Ти-х

X

•'

\ *

7 >

X '

 

 

 

1 тг

 

 

\

J п

 

 

 

Д л я стационарного

случайного

процесса

с нормальным

распре ­

делением ординат вместо

(2.25)

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

Т„-т

 

0

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

20

 

 

 

X

+Rx(В+т)

Я* (6 — г ) ]

d 6 -

 

 

 

Т„-%

Т„-х Т „ - т

 

 

 

 

 

I

I

J

[Rx(h-t2-r)Rx(h-t3+r)-\-

( 7

»

т

) 3 о

о

о

 

 

 

 

 

+RA*i-ts)

Rx (ii-h)

] dtidhdt3+

 

 

 

 

T,,-x

 

 

 

 

+

 

 

J ( i - ^ ) « . ( « « » ] +

 

 

Г ж

- т

 

 

 

 

+ - ^ r - 5

-

J

1 -

^ —

• [7У?, ( 0 - T ) -<3RX

(в+т) ] d 6 -

- ч м - P - ' f

( . - ^ Д - ) j w e + o * + :

 

 

 

 

 

О

 

 

Т.—г

(2.26>

о- »

где /н( — математическое ожидани е случайного процесса.

Из (2.26) следует, что дисперсия оценки зависит от величины математического ожидания, продолжительности наблюдений и

сдвига х. В этом

случае, когда

процесс имеет

нулевое математи ­

ческое ожидание

или /n t определено достаточно точно,

в ы р а ж е ­

ние

(2.26)

упрощается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Т " ~ Х

 

 

 

 

 

 

Н и — т ; -

„

 

 

 

 

X

[ ^ ( в ) + / ? , ( г + 0 ) / ? , ( т - в ] ^ 0 .

(2.27)

П р и

вычислении

о£ (т, Гц) по (2.26)

и (2.27)

истинное

значение

автокорреляционной функции ^ ( т ) заменяют ее оценкой.

Оценка

вида

(2.4)

является

состоятельной, та к как

квадра т

ее ошибки

стремится к

нулю при (Тп—т)—>-оо,

т. е.

 

I i m M { [ ^ . : ( T ) - ^ ( t ) ] 2 } = 0 .

<Тц -т)-мх>

Р а с ч е т е 2 (-г, т п ) непосредственно по (2.26) или (2.27) связан

с громоздкими вычислениями, которые по объему сравнимы с вычислением самой оценки автокорреляционной функции. З а д а ­ ча существенно облегчается, если известно аналитическое выра ­ жение Rx(x). В этом случае дисперсия оценки может быть выра -

ж е н а через п а р а м е т р ы

аппроксимации.

В

частности, дл я авто­

корреляционной

функции типа затухающей косинусоиды (2.15)

В. А. Р о ж к о в ы м

(1968)

была получена

следующая

зависимость

.для дисперсии

оценки

 

 

 

 

 

 

 

 

,

т , _

D*

/

2 а 2 + Р 2

,

Г

,

2°а +,Р=

1

v

а - < л ( т , У „ ) -

 

1 2 а ( и - + р 2 ) +

LТ +

2 а ( с г + р Ч J

Х

X —

- 2 Р Т

+ [-2 + |р|^;2 Р 0

 

] х в - ^ 5 Щ 2 р т } .

(2.28)

'Согласно (2.28), минимальное значение дисперсия оценки прини­ мает, когда автокорреляционная функция пересекает ось абс­ цисс, а наибольшего значения достигает при т = 0

/У 9r/2_l-R2

Подставив в

(2.29)

выражение дл я интервала

корреляции (2.17),

лолучим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лп"

 

 

 

 

 

 

 

an АО,

TB) =

-j±-T$op.

 

 

(2.30)

•Формула

(2.30) может

быть

т а к ж е выведена

непосредственно

из

(2.28)

п р и т = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

Д л я остальных

ординат автокорреляционной

функции

 

 

 

 

anjr,

 

 

 

 

(2.31)

И з

(2,30)

и

(2.31)

следует, что дисперсия оценки тем

меньше,

чем быстрее

затухает автокорреляционная

функция.

В то ж е

время дисперсия оценки зависит от сдвига т. С увеличением т

при

фиксированном

Г ш

точность

ординат оценки

понижается .

Поэтому

необходимо,

чтобы

выдерживалось

т а к ж е

определен­

ное соотношение м е ж д у

хт

и

Тп,

или

учитывая,

что хт

обычно

целесообразно

назначать

 

равными

 

 

. м е ж д у

т ^ р

и

Г н . Н а й ­

д е м

по

(2.31)

продолжительность

наблюдений,

необходимую

д л я

получения

оценки

R*x (х)

с

точностью

1 %

от

 

дисперсии

процесса. Приняв, таким

образом,

а1

 

(т, Т„) —0,0\D\,

 

получим

 

 

 

 

 

7 ^ - т « 4 0 0 т Г О р

•

 

 

 

 

(2.32)

Для/?д!(т)

при т = Т т = т ( ^

(2.32) имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тп^Шх®

 

+ т «

•

 

 

 

 

(2.33)

99

 

 

 

u

 

 

 

HOP '

l!OP

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как д а ж е для динамически неустойчивых крупномасштаб ­ ных океанологических процессов т ' ^ , как правило, имеет по­ рядок суток, то для получения оценки автокорреляционной функ­ ции этих процессов с точностью 10% продолжительность наблю ­ дений д о л ж н а быть не менее года. П р и практическом применении зависимости (2.33) для определения продолжительности наблю ­ дений возникают затруднения, так как необходимо располагать априорной информацией для выбора т}^ и • Обычно т а к а я

информация отсутствует.

Необходимую продолжительность наблюдений можно при­ ближенно найти па основе предложенных В. В. Солодовииковым (1960) зависимостей, связывающих среднеквадрэтическую ошиб­ ку R* ( т ) с Длиной реализации и периодом самой низкочастот­ ной составляющей исследуемого процесса. Известно, что любой стационарный случайный процесс на бесконечном интервале мо­ жет быть с достаточной степенью точности аппроксимирован линейной комбинацией гармонических колебаний со случайными

амплитудами Аи

и ф а з а м и cp/t

 

 

*(t) = 2

А* sin(co; ,/+cP ; [ ) .

(2.34)

 

 

к

 

2 я

 

 

 

где О)Й= - =

круговая

частота 1 /г-й гармоники,

период коле-

Л k

 

 

 

бамий которой 7V Тогда среднеквадрэтическая ошибка оценки автокорреляционной функции к а ж д о й составляющей может быть

представлена

в следующем виде (Солодовников,

I960;

Котюк

и др.,

1967):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i t

 

\

 

2

sin 2сй? £ (Ги —т)

 

. „

ч

I о

 

1

/о Q,K\

г|нх

г)

=

—

г

 

(Тв,

 

 

—

 

— co s [ < в л

( Г я — т ) + 2 ф й 1 .

 

(2.Эо>

 

 

 

 

 

Z

 

Li СО ьд i n

X)

 

 

 

 

 

 

 

Как

следует

из

(2,35),

относительная

среднеквадратическэя

ошибка имеет

порядок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ц ( Г „ т) _ М

Т п

> г )

>

1-

=

 

Ъ

 

 

^

{ 2 Щ

З а д а в ш и с ь

 

величиной

максимального

сдвига

автокорреляцион­

ной функции,

равной

периоду

самой низкочастотной

гармоники,

присутствующей в процессе, получим соотношение м е ж д у про­ должительностью наблюдений, максимальным сдвигом хт и от­ носительной среднеквадратической ошибкой

1 Нередко вместо круговой частоты оперируют с циклической частотой fr

измеряемой в циклах в единицу времени. Круговая частота связана с цикли­ ческой соотношением со=2я/ .

23'-

г н ^ т ™ ( 1 + - ^

- ) .

(2,37)

И з (2.37) следует, что для вычисления

ординат

оценки с точно­

с т ь ю , например, 3% от общей дисперсии процесса

необходимо,

чтобы

 

Г н « . ( 5 - = - 6 ) т т ,

(2.38а)

а с точностью 2%

 

TBfis9xm.

(2.386)

Таким образом, надежное определение ординат оценки автокор­

реляционной функции возможно

лишь дл я тех составляющих

процесса, период

которых в б—10 раз меньше продолжительно ­

сти наблюдений.

Если в процессе

имеются более низкочастотные

компоненты, то при помощи фильтрации их предварительно ис­ ключают из реализации .

 

В ряде случаев для определения погрешности ординат

оце­

нок

нормированных

автокорреляционных функций

применяют

т а к ж е

выражение для дисперсии коэффициентов

парной корре­

ляции

(Лукьянов, Фролов, 1969)

 

 

 

 

 

 

 

* ' , = ° 7 v * ) 2 -

 

(2-39)

где г2х—коэффициент

парной

автокорреляции

(т. е. значение

нормированной автокорреляционной функции на

фиксированном

 

 

 

2

 

 

 

 

сдвиге

г,) . Дисперсия

аГх обратно пропорциональна

числу

чле­

нов

ряда наблюдений

и зависит

от абсолютной

величины

коэф­

фициентов автокорреляции, достигая максимума в нулях норми­ рованной автокорреляционной функции и минимума в ее экстре­ мумах . В случае, когда гх невелики, отклонение коэффициентов •автокорреляции от их истинного значения распределены по нор­ мальному закону; тогда доверительные границы дл я оценки нор­ мированной автокорреляционной функции с доверительной ве­ роятностью 0,95 могут быть найдены ка к

•(2.40)

У Г п - T i

X

 

Погрешность автокорреляционной функции за счет дискрети­ зации непрерывного процесса может быть приближенно найдена

по следующей зависимости (IKOTIOK И др., 1967) :

24

Смотрите также файлы