Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 227

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

N-l

 

 

 

1 < А ' ) =

Л ^ Т 2 Г ( / A / - 0 , 5 A 0

ffi^',

•

(2.41):

где f" (j—At—0,5At)

— в т о р а я производная

произведения

x(t) X

Xx(t-\-x) в точке

(jAt—0,5Д/). Эта погрешность будет

минималь ­

на, если выполняется соотношение

 

 

 

 

Д * = — .

 

 

(2.42)

 

10С0в

 

 

 

где сов — высшая

частота составляющей процесса. И з (2.42) сле­

дует, что дл я получения оценки автокорреляционной

функции по

дискретным данным необходимо, чтобы на период самой высоко­

частотной гармоники приходилось ЙО наблюдений.

В качестве

соЕ, ка к правило, выбирают частоту, выше которой

гармониче­

ские составляющие имеют незначительную амплитуду. Тогда

высокочастотные гармоники не могут оказать существенного

вли­

яния на характер изменения автокорреляционной функции

(Вол­

гин, Каримов, 1967). Индикатором

наличия

значительных

по-

амплитуде высокочастотных

составляющих,

период

которых

сравним или меньше интервала дискретности, служит

изменение

/?* до первого нуля функции. Если первый нуль /?* (т)

приходит­

ся на сдвиг n=At, то м о ж н о

полагать, что в процессе

присутст­

вуют высокочастотные составляющие

с периодом, меньшим

At.

Д л я нормальных стационарных случайных процессов опти­ мальный интервал дискретности может быть т а к ж е найден при условии, что известен максимальный интервал корреляции . Ка к было показано В. -В. Волгиным и Р . Н. Каримовым (1967), дл я восстановления нормированной автокорреляционной функции подискретным данным необходимо, чтобы

* < 4 ^ * | " ( - т - ) | - .

<2 "4 3 )

где J и ^ — g — / J — м а к с и м а л ь н о допустимый

уровень погреш­

ности восстановления нормированной автокорреляционной фун­ кции по ее дискретным значениям, которые разделены интерва­ лом Ат. П о л а г а я At=Ax и задавшись максимально допустимой погрешностью, можно определить оптимальный интервал дис­

кретности наблюдений. Н а п р и м е р , при г) ( ~ 7 j ~ ) ^ 0 , 0 5

имеем

(о

 

A ^ J ^ E _ .

(2.44)-

Существенное влияние на репрезентативность оценок авто­ корреляционных функций оказывает нестационарность процес-

25

са. Океанологические процессы часто можно считать квазистацноиарными, т. е. процессами стационарными (как правило, в широком смысле) лишь па определенных временных отрезках. Стационарные в широком смысле процессы ( § 1 ) имеют постоян­ ное математическое ожидание и постоянную дисперсию. Авто­

корреляционная функция таких

процессов зависит лишь от вре­

менного сдвига т. Вопросы обнаружения

и устранения иестацио-

нарности по математическому

о ж и д а н и ю

обычно не

встреча­

ют существенных затруднений

(см.

§

4). Труднее

устано­

вить нестационарность по дисперсии и автокорреляционной функции.

Исследования стационарности крупномасштабных океаноло­

гических процессов по

автокорреляционной

функции практиче­

ски отсутствуют. М е ж д у

тем можно ожидать,

что некоторые оке­

анологические процессы определенных временных масштабов являются нестационарными. Причины иестациопарности по ав­ токорреляционной функции могут быть различными: изменение стратификации среды, модуляция внешнего воздействия и т. д. Так, например, интенсивность ветрового перемешивания верхне­ го слоя океана в средних шпротах летом, когда воды обычно зна­ чительно стратифицированы, будет зависеть от того, происходи­

ло ли ветровое перемешивание в предыдущие

моменты времени,

т.

е. эта

интенсивность

зависит от предшествующей

ситуации.

В

зимний

период, когда

воды верхнего слоя

океана

гомогенны,

интенсивность ветрового перемешивания не зависит от предысто­ рии. Очевидно, что в связи с этим автокорреляционные функции глубины залегания верхнего гомогенного слоя в летний и зимний

период будут значительно

отличаться.

Экспериментальная проверка стационарности требует нали­

чия по

крайней

мере нескольких реализаций процесса, которые

д а л е к о

не всегда

имеются

в распоряжении исследователя. Ч а щ е

располагают лишь одной

реализацией достаточной длины. П р е д ­

п о л а г а я эргодичность процесса, эту реализацию разбивают на

отдельные,

одинаковые

по

продолжительности

интервалы,

д л я

к а ж д о г о

из

которых

вычисляется

оценка автокорреляционной

функции.

Если расхождения

м е ж д у

оценками

превышают

2—3

среднеквадрэтические ошибки их определения, то процесс сле­ дует считать нестационарным . Сравнение оценок рекомендуется

производить на

сдвиге т = 0 ,

а

т а к ж е д л я тех

ординат, абсолют­

ные нормированные значения

которых л е ж а т

в пределах

0 , 4 ^

^

| ^ ( т г ) | ^ 0 , 6

(Котюк и др.,

1967). Признаком

нестационарно­

сти

по автокорреляционной

функции д а ж е в

том

случае,

когда

расхождения м е ж д у ее оценками находятся в пределах точности вычисления, может служить закономерное изменение сравнивае ­ мых ординат. Рассмотрим следующий пример.

П о результатам автокорреляционного анализа срочных на­ блюдений н а д температурой поверхности воды на станции пого­ ды «Танго» было установлено закономерное увеличение от лета

26

к зиме дисперсии температурных колебаний

с временными

м а с ­

ш т а б а м и

от 6 часов до

10 суток

(табл.

1). О т сезона

к сезону из­

менялись т а к ж е и ординаты нормированной

автокорреляционной'

функции па других фиксированных сдвигах

т ;

(табл. 1). М е ж с е ­

зонная

изменчивость дисперсий

в

данном случае,

по-видимому..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

1

 

 

 

 

Статистические характеристики

колебаний

 

 

 

 

 

температуры воды' на станции погоды «-Танго*

 

 

 

 

(29° с. ш., 153° в. д.)

по наблюдениям за период

 

 

 

 

 

5 VII 1951

—5 VII 1953

гг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициент

Коэффициент

 

 

 

Сезоны

Дисперсия

 

автокорреля­

автокорреля­

 

 

 

грасГ>

 

ции

на

сдвиге ции ни сдвиге

 

 

 

 

 

 

 

 

Т / = 3

час

•^=24

час

 

 

 

Лето

. . .

0,29

 

 

0,47

 

0,39

 

 

 

Осень . . .

1,49

 

 

0,54

 

—0,03

 

 

 

Зима

. . .

3,72

 

 

0,84

 

—0,10

 

 

 

 

Весна . . .

0,31

 

 

0,84

 

0,44

 

 

 

Лето

. . .

0,37

 

 

0,69

 

0,37

 

 

 

Осень . . .

1,21

 

 

0,73

 

0,34

 

 

 

Зима

. . .

2,67

 

 

0,76

 

0,01

 

 

 

 

Весна . . .

0,43

 

 

0,73

 

0,11

 

 

связана с адвекцией тепла течением при

существенно

и з м е ­

няющейся

от

сезона к

сезону

горизонтальной

стратификацией

среды.

Горизонтальные

градиенты

в

поле

температуры

резко

увеличиваются зимой и уменьшаются летом. Изменения других ординат автокорреляционной функции о т р а ж а ю т появление в летний период относительно устойчивого и значительного по ам­ плитуде суточного хода температуры . Интересно т а к ж е отметить,

что от года к году оценки ординат автокорреляционной

функции

для одних и тех ж е

сезонов

имеют относительно устойчивые зна­

чения

(табл. 1), т. е. процесс температурных колебаний

указан ­

ных временных

масштабов

можно считать

стационарным в п р е ­

делах

к а ж д о г о

сезона.

 

 

 

 

Д л я

устранения

нестационарности по дисперсии

выполняют

нормирование

реализаций

исследуемого

процесса

по

текущим

значениям среднеквадратического отклонения а* (т) = У£>* (t)

27

где Xtf(t) — н о р м и р о в а н н а я реализация .

З н а ч е н ия or* определяют по отдельным интервалам реализа ­

ции, соответствующим участкам квазистационарности процесса. При нестационарности в отношении других ординат автокор­ реляционной функции от оценки вида (2.4) приходится отказы­ ваться и переходить к вычислению автокорреляционных функ­

ций нестационарных процессов.

В заключение на конкретном примере рассмотрим использо­ вание автокорреляционной функции дл я решения некоторых оке­ анологических задач . Исследуем колебания вертикального гра­

диента

температуры в

термоклине по годовому

ряду

среднесу­

точных

наблюдений в

пункте, находящемся в

районе станции

погоды

«Танго». Значения вертикального градиента

температу­

ры снимались с синоптических карт вертикального градиента, пе­ редаваемых в эфнр с о. Гуам. Исходный ря д центрировался от­

носительно среднегодового значения. По формуле

(2.5) опреде­

л я л а с ь оценка R*_(lAt) при N—365, / = 60, At=l

суткам и по

(2.9) вычислялась нормированная автокорреляционная функция ((рис. 2, кривая 4). Как следует из графика на рис. 2, затухание

Рис. 2. Автокорреляционная функция колебании вертикального градиента температуры в термоклине:

1 — исключена низкочастотная составляющая; 2 — аппроксимация зави­ симостью (гл. 1, 2.15); 3 — аппроксимация зависимостью (гл. 1, 2.20); 4 — не исключена низкочастотная составляющая

оценки происходит по закону, близкому к экспоненциальному.

П а р а м е т р затухания а, определенный

по (2.18),

о к а з а л с я

рав ­

ным 0,03

Аппроксимирующее

в ы р а ж е н и е

имеет вид

 

сутки

г* ( T ) . = e - ° . 0 3 t .

 

 

 

 

 

 

 

Волнообразные

отклонения коррелограммы

от экспоненты

ука­

з ы в а ю т на то, что в процессе, по-видимому,

присутствует квази­

периодическая составляющая . Период этой составляющей, опре­

деленный по коррелограмме, близок

к 20—22 суткам. Вычислен-

 

(»)

ные по (2.16) интервалы корреляции

оказались равными т К о р ^

28

^ 3 0 суткам,

« 1 5 суткам. Фактически величина максималь ­

ного интервала корреляции будет намного больше 30 суток, та к к а к д а ж е на максимальном сдвиге в 60 суток г* (60) « 0 , 2 . З н а ­ чительная временная инерция исследуемой характеристики обус­ ловлена преобладающим вкладом сезонной составляющей в об­ щую дисперсию процесса. М о ж н о предполагать, что при анализе ряда наблюдений продолжительностью в несколько лет и при соответствующем увеличении временного сдвига т т , г*, (т) при­

б л и ж а л а с ь бы к периодическому колебанию с годовым

периодом.

Продолжительности наблюдений в 365 суток явно

недоста­

точно дл я статистического

описания сезонной

изменчивости. В

то ж е время доминирующая

интенсивность последней

не

позво­

л я е т установить по результатам

анализа статистические

особен­

ности краткопериодных колебаний. Учитывая условия

(2.38 а, б)

предполагаем, что при 7 = 3 6 5

суток н а д е ж н а я

оценка

может

быть получена лишь дл я процесса, в котором период

низкоча­

стотной гармоники не превышает 30-—60 суток. В связи

с этим

из ряда наблюдений с помощью высокочастотного фильтра Тыоки (см. § 4) были исключены все составляющие с периодами, «большими 30 суток. После фильтрации интенсивность внутриме-

Рис. 3. Доверительные границы (1) оценки автокор­ реляционной функции (2) вертикального градиента температуры в термоклине^

I Н:

Смотрите также файлы