Файл: Гинзбург И.П. Пограничный слой смеси газов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 211

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 127 -

иметь одинаковые значении и этих потоках:

В заключение отметим, что порченная система являе тс я

весьма сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений

в частных производных эллиптического типа. Известно лишь не­

большое ' кисло частных решений этой системы при естественных уп­ рощениях левых и правых частей в силу физической постановки за­ дачи. Достаточно полные сведения о таких решениях содержатся

в книгах

[ l 4 , 15,

1 7 ,1 8 ] .

 

 

В то

же

время,'

в связи с новыми

задачами

практической

аэродинамики

и термодинамики высоких скоростей и температур,

возникает

настоятельная необходимость

хо тя бы

в приближенном

решении исходной системы уравнений Навье-Стокса. В последующих главах будет показано, как можно существенно упростить уравне­ ния движения вязкой жидкости и получить некоторые решения уп­ рощенной системы уравнений для высокотемпературной смеси га зо в.

- 128 -

Г Л А В А

I I I

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

■ДЛЯ ЛАМИНАРНЫХ ДВШЕПИЙ 1НДКОСТИ

§I . Понятна пограничного слоя

 

Основная трудность при решении системы уравнении движения

вязко й

жидкости происходит из-за сложности правых частей урав­

нений,

обусловленных вязким трением. В то же время известно,

что

для

многих жидкостей, особенно

важных

в технике (во зд ух,

вода

и

т . д . ) , коэффициент вязко с ти

мал и,

следовательно,

силы

трения,

обусловленные вязкостью , получаются в целом очень

не­

большими по сравнению с другими силами (силой тяжести, силами

давления). Если на этом основании формально опустить в правых

ча с тях урезаний Навье-Стокса вязкие члены, то полученная сио-

тема уравнений может быть проинтегрирована в некоторых частных

случаях. Изучение движе кости, лишенной трения, состав­

ляло предмет теоретической гидродинамики. Однако результаты этой так называемой классической гидродинамики во много!' резко противоречат опыту. Особенно резкое противоречие получалось в

весьма важных вопросах: о потере давления в трубах и каналах

и о сопротивлении, которое оказывает жидкость движущемуся в

ней те лу. Напомним хорошо известный парадокс Далаибара: тело,

движущееся в невязкой жадности, не испытывает сопротивления,

хо тя нам хорошо известно из опыта,

что это

далеко

не та к.

Все же, учитывая малость сил

трения,

долгое

время не уда-

- 129 -

велось

по н ять, каким

образом малые силы

трения

оказывают ре­

шающее

влияние на процесс движения.

 

 

 

*

Большая заслуга

в деле внесения ясности

в

э то т вопрос

принадлежит Людвигу

Прандтлю, который в

1904

г .

указал п у ть ,

сделавший доступным теоретическое исследование движения вязкой жидкости. Прандтль показал, исходя из теоретических соображе­ ний, подтвержденных опытом, что течение в окрестности тела можно разделить на две области: область очень тонкого слоя вблизи тела (пограничный слой), где трение играет существенную роль, и область вне этшго слоя, где трением вполне можно пре-

иебре ч ь .

Покажем, при каких условиях допустимо подобное разделение течения. Обратимся к уравнениям движения, записанным в безраз­

мерных величинах,

и выясним,

каков должен быть характерный по­

перечный

масштаб

(5

, чтобы

силы

трения

имели

то т же

порядок

по

величине,

что и другие силы (например,

силы

инерции или си­

лы давления).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прежде всего

рассмотрим

уравнение неразрывности.

Ограни­

чиваясь

в дальнейшем

случаем

установившегося движения

кидкооти

(

f o » -

*■

) .

откуда следует,

что

Щ

 

, запи­

шем

уравнение

неразрывности в

безразмерной форме:

 

Выбор величин $ и L

в качестве характерно, j масштабе

для поперечных и продольных

размеров показывает, ч * г перевив-

 

 

-

130

-

 

 

ныв

у и X

имеют на границе

области

их определения порядок

этих

величин,

т . е . порядок у

~ £>

,

а порядок Х~1>

. в

дальнейшем будем слово ^порядок" опускать, а предыдущие усло­

вия записывать более кратко:

 

 

0(y)~'S}

0 ( x ) ~ L }

 

 

 

 

 

где

0

-

обозначает

порядок (о т

латинского

слова

OrdO -

порядок).

Для безразмерных величин

можно всегда записать, что

0(y)~i

 

1

• Точно

так же

примем,

что 0(vx)~l)

что

касается

порядка поперечной скорости

Vy

,

то

он пока

не установлен, поскольку поперечную скорость

Vy

 

мы отно­

сили к характерной продольной скорости

 

. Для

выяснения

порядка

V y

обратимся к уравнению неразрывности.

Укажем,

что оно содержит производные безразмерных величин. Следователь­ но, необходимо выработать способ оценки порядка величины и для

самих производных.

В методах

численного

анализа показано, что

производные

можно

одег пвать

по порядку

следующим соотношением :

где ^

к

Х0

-

характерные масштабы для

переменных

х и У-

Множитель

/п /

не

явлпется суше с таен ним для

оценочных

рассуж­

дений, поскольку практически в физических задачах приходится

иметь дело главным образом с петым и и вторыми

производимый.

п

- г

что

Jfe.

Поэтому

всюду в дальнейшем будем принимать,

j у7п '

Но этом

основании можно поломить, например,

что

°1тРь )1

 

 

 

Оценим порядок отдельных членов уравнения

неразрывности,

учи ты ва я, что

порядок первого

слагаемого равен

единице. Нетруд­

но убедиться в

том, что второе

слагаемое будет

также порядка

- ш -

единицы только в том случав, если

ато очень важная оценка. Она показывает, что поперечная составляющая скорости должна иметь следующий порядок в рао-

сматриваемом процессе:

 

 

 

ь

 

 

( 1 .2 )

 

 

У у ~ J^-Uoo ■

 

 

 

Шлея в

распоряжении порядок

оценки

поперечной

ооставляю$

щей

скорости

Vy ,

рассмотрим уравнения движения

о точки зре­

ния

оценки отдельных

слагаемых в

левых

и правых ча с тях уравне­

ний. Порядок будем подписывать под соответствующими слагаемы­ ми и сомножителями:

р ( ъ

+ь т

F r ~Е и т & *

3 5 d

i i i

Ll ~ J 1

t i Fr Ей i

/

k k

* t Jrfh

( 1 .3 )

 

 

/

/

 

Для того чтобы все слагаемые в левых и правых ча стях рас­ сматриваемого уравнения имели один и то т же порядок (единица!) ,

необходимо положить

т . е .

величина

L*

при больших числах Рейнольдса зна читель­

~jjr

но превышает единицу:

 

 

•

 

 

Рассматривая

два

последних слагаемых в правой части урав­

нения

( 1 .3 ) , легко

установить,

что первое иа них можно опуо-

ти тъ ,

поскольку

оно не содержит

L£

• Конечно, это можно

-j j

сделать

только

при больших

числах Рейнольдса.

 

Б

результате

сделанных

оценок для

больших чисел Рейнольдса

получаем значительно

упрощенное

уравнение движения в провалив

Смотрите также файлы