Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

Отодвигая на одну ступень инвариант­ ную неопределенность, можно дать, на­ пример, два следующих и весьма различ­ ных определения «правдивого ответа»:

а) ответ правдив, если он выражает действительное намерение человека;

б) правдивость ответа оценивается тем, что случается с человеком в следую­ щие пять минут.

И то и другое правило можно с рав- * ным успехом (хотя, конечно, чисто теоре­ тически) положить в основу действия стражников. Но при этом нужно непре­ менно разрешить им опираться на вновь

Рис. 1.6 возникшую инвариантную неопределен­ ность. Однако описывая трудности, ставя­ щие стражников в тупик, мы, во-первых,

подразумевали, что они обязательно руководствуются прави­ лом «б» (хотя оно нигде не оговаривалось), а во-вторых, пола­ гали, что в этом правиле понятие «то, что случается с челове­ ком в следующие пять минут» тоже имеет свою систему от­ счета, а именно:

в) то, что случается с человеком в следующие пять минут, определяется правдивостью его ответа.

Этим порочным кругом и завершается построение извест­ ного математического «парадокса». Для полного уяснения ска­ занного полезно, быть может, возвратиться к конкретным об­ разам предыдущего параграфа (рис. 1.6). Имя человека (Ми­ хаил, Илья) определяется тем, стоит ли он впереди или позади Петра. Человек считается стоящим впереди или позади Петра в зависимости от того, как его зовут (Михаил, Илья). Разу­ меется, из этих определений невозможно извлечь имя чело­ века, стоящего возле Петра. Точно так же невозможно причис­ лить человека к множеству лжецов или правдолюбцев на основе указанных выше определений «б» и «в».

Подводя некоторые итоги, подчеркнем снова, что вопрос о принадлежности элемента к мыслимому множеству всегда является дискуссионным. Всякая попытка защитить математи­ ческие объекты от подобных дискуссий приводит к необходи-

18

версум U лишь совершенно условно причисляется к множе­ ствам, так же как условно причисляется к ним нуль — 0 . Универсум является обратной стороной пустого множества, совпадающей с ним противоположностью. И с топ и с другой стороны множество, как таковое, исчезает.

Принимая во внимание эти соображения, нетрудно заме­ тить, что представления о пересечении и объединении мно­ жеств, о нуле и универсуме обладают двойственностью. Иными словами, любое справедливое утверждение о множествах, в ко­ тором в качестве специальных выражений фигурируют только термины «пересечение», «объединение», «нуль» и «универсум», сохраняет свой смысл и остается справедливым после замены терминов по правилу, представленному ниже следующей схемой:

20

Рекомендуется подробно изучить эти записи, воспользовав­

7. Понятие об универсуме, разумеется, тесно связано с по­ нятием об инвариантной неопределенности. Фиксировать уни­ версум — это значит фиксировать соответствующую ему инвариантную неопределенность. Весьма заманчивой, хотя и су­ щественно далекой аналогией здесь может служить соотноше­ ние, существующее между множеством и его абсолютным до­ полнением. Как только выделено множество М, так сразу же определено и его абсолютное дополнение. Как только выделен универсум, так сразу же принята инвариантная неопределен­ ность.

Эта аналогия может быть продолжена. Абсолютное допол­ нение не есть внутреннее свойство множества М, но есть его связь с универсумом. Допустив изменения универсума, будем

ность не есть внутреннее свойство универсума, но есть его связь с одним из аспектов реальности. Различные аспекты реально­ сти дают различные инвариантные неопределенности при од­ ном и том же универсуме.

Намеченная аналогия существенно ограничена тем обстоя­

1 Подобные схематические изображения известны в литературе под име­ нем диаграмм Венна или кругов Эйлера.

21