Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.06.2024

Просмотров: 141

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

(рис. 1.8). Универсум — прямая линия /, содержащая АВ. От­ метим еще множество N — точки отрезка CD. Рисунок показы­ вает, что М п N—0. Абсолютным дополнением для М служит совокупность точек, лежащих на прямой / и не входящих в от­ резок АВ. Сходным образом выглядит абсолютное дополнение для множества N.

Изменим теперь универсум, отождествив его с точками плоскости а, проходящей через I. Тотчас меняется и абсолют­

ное дополнение множеств М и N. Точки

всей

плоскости

а, за

исключением

точек отрезка АВ

или CD,

составляют

это

абсо­

лютное дополнение. Расширим

множества

М

и N,

предполо­

жив, что в состав их входят все точки круга,

расположенного

в плоскости а и содержащего отрезок АВ

(или

соответственно

отрезок CD)

в качестве хорды. Это, конечно,

приведет

снова

к изменению

абсолютных дополнений,

но

для

нас

особенно

важно отметить сейчас другое обстоятельство. Пересечение за­

данных множеств

при универсуме

а

не пусто:

М П N=R

(см. рис. 1.8). Пересечение

тех же множеств при

универсуме

/ — пусто. В самом

деле,

универсум

/

--является

подмноже­

ством, или сечением, универсума а. И полученные внутри /

подмножества, или сечения, множеств М и JV

(отрезки АВ и

CD) обладают иными свойствами, чем целые множества М и N

внутри

а.

 

Мы

рассмотрели здесь простейшую операцию — пересече­

ние множеств. Однако все сказанное сохраняет

свое значение

и для

более сложных действий, основанных на

использовании

объединений, пересечений, включений и абсолютных дополне­ ний. Такие действия составляют предмет изучения в алгебре

множеств

[10,

И]. Например,

алгебра

вводит

представление

о симметрической разности

M + N

двух

множеств,

которая

определяется соотношением M + N=

(М — JV)U (JV— М). Здесь

(М — N)—

относительное дополнение N до М, или разность М

и /V, — есть совокупность элементов М,

не входящих в

N.

Конкретные

результаты алгебраических

операций,

произво­

димых над мыслимыми

множествами,

имеют

относительное

значение.

Их

истинность

может быть

гарантирована

только

в пределах

установленного

 

универсума.

 

 

 

 

Прибегая к намеченной выше аналогии, стоит попытаться обобщить и распространить эти соображения на случай уни­ версума научных теорий, инвариантной неопределенности и различных аспектов реальности.

22

 

§ 3. И н ф о р м а ц и я

 

 

 

1. Пусть имеется

конечное

множество {хи

 

 

х2...хп}.

Имеется — это значит, что все элементы

его заранее

известны.

Выделим один элемент — Xj. Выполнив

это действие,

мы

пере­

даем некоторую

информацию.

 

 

 

 

 

Выделить элемент множества можно самыми различными

способами, зависящими прежде всего от характера

заданного

множества. Если, например, множество

{х{ .. . хп)

—это

сово­

купность букв

русского

алфавита

и выделяется

буква

О, то

можно произнести эту букву вслух; записать ее на бумаге рус­ ским или каким-либо другим шрифтом или, вообще, условным обозначением; отметить ее количеством ударов, обозначающих ее порядковый номер в алфавите, и т. п. В любом случае для выделения элемента множества используется какое-то кон­

кретное действие, которое принято именовать сигналом. Любая

информация передается

посредством

сигналов.

С помощью сигналов

сообщаются

между собою две ин­

станции: одна создает или передает сигнал, другая его воспри­ нимает. Говорить и мыслить об информации имеет смысл лишь

при наличии этого условия, при наличии двух

сторон, которые

этой информацией

обмениваются.

множество М{ —

2. Рассмотрим

три множества. Первое

совокупность букв русского алфавита. Второе множество М2 — страницы учебника, содержащего всего 512 страниц. Третье множество М3 — поля шахматной доски. Выделим по одному

элементу в каждом из указанных

множеств,

т. е. передадим

три порции информации: / ь / 2 , / 3 .

Можно ли

как-то количе­

ственно сравнить затраченные при этом усилия?

В практическом, в физическом смысле такое сравнение, оче­ видно, невозможно или оно будет носить совершенно случай­ ный характер, так как будет зависеть от способа передачи сиг­ налов. Например, указывая букву, произнесем ее; указывая страницу, откроем книгу (предварительно перелистав ее) в нужном месте; указывая поле шахматной доски, поставим на пего шахматную фигуру. Сравнивать между собою (да еще ко­ личественно!) эти физические действия трудно и нецелесооб­ разно. Но если отвлечься от внешних различий и обратить вни­ мание на то, что в первом случае имеем множество, содержа­

щее

32 элемента,

во втором

случае — 5 1 2 элементов,

в тре­

тьем

случае — 64

элемента,

то на поставленный вопрос есте­

ственно ответить следующим

образом: J\<Jz<h-

Такая чисто

математическая оценка передаваемой информации,

завися-

23

щая не от реальных особенностей ситуации, а исключительно от «размеров» заданного множества, часто оказывается полез­ ной и находит себе применение в науке и технике.

3. Когда количественно сравниваются между собою две ве­ личины, то, кроме вопроса «что больше и что меньше?», возни­ кает вопрос «во сколько раз больше или меньше?» Для того чтобы ответить на эти вопросы, нужно ввести масштабную еди­ ницу и условиться, как с ее помощью производить измерения. В качестве масштаба принимают обычно ту информацию, ко­ торая будет передана после выделения одного элемента из множества, содержащего всего два элемента. Выглянув, на­ пример, в окно, устанавливаем, идет дождь или нет, и получаем таким образом одну единицу информации. Исходное множе­ ство здесь включает в себя два элемента:

1)

дождь идет; 2)

дождя

нет.

 

 

 

Разумеется, выбор масштабной единицы условен. Подобно

тому

как в геометрии

можно

принять за

единицу

1 см

или

100 см — \ м ит. д., так

и в данном случае допустимо

было

на­

звать

единицей информацию,

полученную

при выделении

од­

ного элемента из десятка, из сотни, из пяти сотен и пр. Ука­

занный выше

масштаб

именуется

битом (1 бит)

и

подсказан

практикой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Измерение

информации установленным масштабом произ­

 

 

водится

в следующем порядке.

 

 

Разобьем заданное

 

множество

 

 

М={хь

 

хп)

на

 

подмноже­

 

 

ства Мь

М2,

• •.,

М„.2,

каждое

 

 

из которых

содержит

два

эле­

 

 

мента. Например, M\={Xi,

Xj).

 

 

Из элементов Ми

...,

Мп

соста­

 

 

вим новые подмножества N\,

...,

 

 

Nv,

также содержащие

по

два

 

 

объекта.

Например,

 

Ni={Mh,

 

 

Mi).

Эту

процедуру

продолжа­

 

 

ем до тех пор, пока

полученные

р

. 9

два

элемента Si

и S2

не

исчер-

 

и с ' "

пают

исходное

множество:

M = { S b S2 }. Наглядная иллюстрация для случая п = 1 6

приво­

дится на рис. 1.9. Тогда любой элемент Xi можно выделить, указав сначала подмножество Sj, затем подмножества Рь, Qi и т. д., вплоть до х{. На выбор каждого подмножества затрачи­ вается, очевидно, один бит информации. Общее количество ин­ формации определяется числом /„ = log2 п. Этот факт непеь 24

средственно

подтверждается

геометрической

схемой

(рис. 1.9).

 

 

 

 

 

 

Итак, для

измерения

количества

информации, которую

до­

ставляет

сигнал, выделяющий один

элемент

множества

{х{ . ..

х „ } , нужно подсчитать

величину логарифма

от числа

п

при

основании

2.

 

 

 

 

 

 

4. Способ измерения

количества

информации, как и выбор

масштабной единицы, тоже, конечно, условен. Можно было бы при сохранении масштаба объявить мерой информации / чи­ сло я/2 или У/г ит. п. Предложенный выше способ подсказан практикой. В его удобствах легко убедиться, решая различные конкретные задачи.

З а д а ч а 1. В одном соревновании участвуют 16 человек, в другом 8. Какую информацию доставляет сообщение о побе­ дителях соревнований?

Р е ш е н и е . log2 16 = 4;

log2 8 = 3; 4 + 3 = 7 бит.

исходов

Действительно, общее

количество возможных

обоих соревнований равно 16X8=128; log2 128 = 7.

каждая

З а д а ч а 2. Имеется ряд электрических лампочек,

из которых может быть зажжена или потушена. Сколько нуж­ но иметь лампочек, для того чтобы передавать с их помощью календарные сведения о числах текущего месяца?

Р е ш е н и е . Каждый месяц включает в себя не более 31 дня; log"2 31 ^ 4 , 9 бит. Каждая лампочка передает 1 бит информа­ ции; 4,9 : 1 = 5 лампочек.

Действительно, ряд из пяти загорающихся и гаснущих лам­ почек позволяет набрать 32 различные комбинации сигналов, любой из которых согласно условию может обозначать некото­ рое число от 1 до 32.

Попытка

решить те же самые задачи при использовании ка­

кого-нибудь

другого способа измерения информации, напри­

мер на основе

критерия j = n/2, приводит к затруднениям.

В первой задаче

имеем 16:2 = 8; 8:2 = 4; 128 : 2 = 64. Следова­

тельно, из двух чисел 8 и 4 нужно с помощью каких-то действий получить третье число — 64.

Во второй задаче получаем 31 : 2 = 15,5; 2 : 2 = 1 . Следова­ тельно, из двух чисел 15,5 и 1 нужно с помощью каких-то дей­ ствий получить число 5. Простого пути для объяснения этих двух и других возможных ситуаций не усматривается.

Пользуясь указанными приемами и возвращаясь к вопро­ су, поставленному в 1.3.2, можем теперь ответить на него вполне определенно: /1 = 5 < / з = 6</г = 9.

5. Подсчитывая количество передаваемой информации, по-

25

лезно отличать абстрактную и реальную стороны вопроса, тео­

рию и

практику.

 

 

 

 

 

 

С практической точки зрения, любое совершающееся собы­

тие доставляет некоторую информацию, количество

которой

может

быть

подсчитано по установленным правилам.

Нужно

только

знать

предварительно, какие

другие

события

могли

произойти

вместо

совершившегося

на

деле;

иными словами,

нужно

иметь, как

было сказано

(3.1.1), исходное

множество

{хх . , . хп).

В задаче 1 вместо победителей X

и Y

могли быть

названы победителями N и Т, или К и L и т. д. (всего

128 ва­

риантов). В задаче 2 вместо даты 16 марта могли быть отме­ чены 22, 23, 5 .. . марта и другие даты (всего 31 вариант). Очень часто на практике выявление исходного множества не вызывает никаких затруднений и не порождает сомнений.

Вместе с тем, рассуждая теоретически, невозможно, конеч­ но, ответить на вопрос «какие другие события могли произойти вместо совершившегося на деле?» Невозможно, следователь­ но, очертить исходное множество, а поэтому невозможно и под­ считать количество переданной информации.

«Других» допустимых событий, теоретически говоря, всегда бесконечно много. Например, в задаче 1 вместо победителей X и Y могли быть названы X, Y и N, или X, N и Y, L . Исключе­ ние этих вариантов достигается подразумевающимся усло­ вием, что в каждом соревновании возможен лишь один побе­ дитель. Подразумевается также, что имеется лишь один способ определения победителей соревнований и что поэтому получен­ ная информация не имеет никакого отношения к способам оценки показанных спортсменами результатов. Кроме того, подразумевается, что проводятся только два соревнования, а не несколько параллельно проходящих игр (п групп по 16 че­ ловек и п групп по 8 человек) и, следовательно, полученная информация не имеет никакого отношения к выбору группы соревнований. Вообще вся эта ситуация приобретает знакомые уже очертания, если учесть, что условие задачи представляет собой определение некоторого объекта, подлежащего дальней­ шему изучению (оценке, измерению, расчету и т. д.). Значит, условие задачи обладает характерными свойствами определе­ ний (см. § 1) со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Поэтому никогда не нужно забывать, что данное событие и доставляемая им информация связаны между собой не бо­ лее, чем данный предмет и скорость его передвижения. Ско­ рость движения выражает не свойство предмета, а взаимоот­ ношение предмета и наблюдателя или предмета и системы от26

Смотрите также файлы