Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

мулы (1), приходим к выводу, что Fx — F2, т . е. равнодействующая сил взаимодействия М с массами Ашх и Ат%равна нулю.

Поскольку весь шаровой слой можно разбить на пары элемен­ тов, обладающих этим свойством, сила взаимодействия М со слоем равна нулю и не зависит от положения точки М внутри слоя. Следовательно, поле внутри слоя отсутствует.

Приведенное доказательство громоздко. Кроме того, если точка М близка к внутренней поверхности слоя, требуются допол­ нительные рассуждения, доказы­ вающие справедливость резуль­ тата и в этом случае.

Используем другой способ до­ казательства, представляя поле в виде картины силовых линий. Очевидно, что силовые линии поля внутри слоя, если они сущест­ вуют, должны располагаться сфе­ рически симметрично. Симметрия может быть разных типов. Кубик и диск симметричны, но, как ин­ туитивно ясно, каждый по-своему. Сферической симметрией обладает, например, одноцветный круглый мячик: как бы мы его ни пово­ рачивали, он всегда выглядит оди­ наково.

Сферически симметричными в совокупности являются только линии, которые выходят из центра О в виде лучей во всевозмож­ ных направлениях. Однако силовые линии не могут пересекаться в точке, в которой отсутствует вещество. Следовательно, силовых линий внутри слоя вообще нет, т. е. поле тяжести там отсутствует. Это доказательство является строгим.

Соображения симметрии играют важную роль в физике. Нам еще придется встретиться с их применением.

3 А Д А Ч А 53

Построить график зависимости величины ускорения силы тя­ жести g в поле тяготения, создаваемом однородным шаром, от рас­ стояния до центра шара (в том числе и для точек, лежащих внутри шара).

Р Е ШЕ Н И Е

Известно, что однородный шар вне себя создает такое поле тяго­ тения, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре шара. *

* Интересно, что эту задачу поставил и решил еще Ньютон, причем результат очень долго не удавалось получить и пришлось попутно создать основы интегрального исчисления,

87

Таким образом, вне шара ускорение меняется по закону

g (х) — уМ/х2, ж

где М — масса шара; х — расстояние до его центра (см. рис. а). Поместим единичную пробную массу в точку А на расстоянии х от его центр'а, х < R. Сила взаимодействия этой массы со сфери­

ческим слоем, внутренний радиус которого равен х, равна нулю (результат предыдущей задачи). Следовательно, сила взаимодейст-

вия пробной массы со всем шаром такая же, как если бы этого сфе­ рического слоя вообще не было, т. е. ускорение в точке А

где т (я) — масса шара с радиусом х, т. е. т (х) = Ma?/R3. Подставляя последнее в (1), получим, что

g (х) = yMx/R3 = g0 x/R, X ==£ R ,

т. e. внутри слоя ускорение меняется прямо пропорционально рас­ стоянию до центра шара (рис. б). Величина g0 есть ускорение силы тяжести на поверхности шара, причем g0 = yAf/R2.

Искомый результат во всей полноте можно быстро получить, применяя закон Гаусса (см. задачу 52). Очевидно, что поле одно­ родного шара обладает сферической симметрией, причем напря­ женность поля всегда направлена вдоль линии, соединяющей иссле­ дуемую точку с центром шара. Опишем из центра шара сферичес­ кую поверхность радиусом х. Поток напряженности через эту поверхность Ф (х) = — 4nx2g (х). По закону Гаусса

3 А Д А Ч А 54

Допустим, что сквозь Землю через ее цегітр проведен прямо­ линейный туннель, такой узкий, что можно пренебречь искажением поля тяготения Земли. Докажите, что, если Земля является одно­

88

родным шаром, то период колебаний тела, опущенного без началь­ ной скорости в туннель, совпадает с периодом обращения призем­ ного спутника Земли.

Р Е Ш Е Н И Е

Найдем период обращения приземного спутника, т. е. спутпика, высота орбиты которого значительно меньше радиуса Земли R 3. Спутник движется под действием единственной силы — веса, сле­ довательно, в соответствии со вторым законом Ньютона mv2 /R 3 = = mg0, где т — масса спутника; ѵ — его скорость; g0 — ускоре­ ние силы тяжести у поверхности Земли. Период обращения спут­ ника находим из выражения

Тх= 2nR3/v = 2я Ѵ ^ з /go-

Рассмотрим движение тела в туннеле. Если тело массы М на­ ходится на расстоянии х от центра Земли, то на него действует сила тяготения, определяемая фор­ А

мулой F (x) = Mg0x/R 3 (см. задачу 53).

Так как F (х)Іх = Mg0 /R3 —const =

=к, то движение тела является гармоническим колебанием вокруг центра Земли, причем период коле­ баний можно найти из известного соотношения (см. задачу 49): Г2 =

=2п (М/к) 1 / 2 = 2п (R3 /g0)i/2. Следо­ вательно, действительно, Тх = Тг.

Обратите внимание, что в усло­ виях задачи отсутствует вопрос о ве­ личине периодов Тх или Т2. Нельзя ли доказать их равенство, не вычис­ ляя самих периодов? Если это удаст­ ся сделать, то такое доказательство следует считать более красивым.

Очевидно утверждение: если два тела в некоторый момент вре­ мени имеют одинаковые скорости и в дальнейшем движутся с оди­ наковыми ускорениями, их скорости во все последующие моменты времени совпадают.

Допустим, что тело опущено в туннель AB (см. рисунок) в точке А в тот момент времени, когда спутник пролетает над вхо­ дом в туннель. Рассмотрим движение проекции спутника на на­ правление AB. В любой точке орбиты на спутник действует сила тяжести, направленная к центру Земли. В направлении, параллель­ ном A B , спутник в положении С движется под действием состав­ ляющей силы тяжести Fx — mg0 cos а = mg0 OCJR3, где Cx — проекция С на AB. Точка Сг движется по AB с ускорением gx = = g0 OCJR3 , совпадающим по величине с ускорением тела в тун­ неле, когда это тело находится в положении С\. Таким образом,

89

скорость тела в туннеле и проекция скорости спутника на направ­ ление AB всегда одинаковы, а следовательно, одинаковы и периоды этих движений.

3 А Д А Ч А 55

Из Ленинграда сквозь Землю проведены прямолинейные железнодорожные туннели в Москву и Владивосток. Вагон начи­ нает движение в туннеле без начальной скорости. Докажите, что поездка в любой город занимает одно и то же время. Предполага­ ется, что Земля является однородным шаром; силы сопротивления

движению отсутствуют; движение происходит только под действием силы тяжести.

Р Е Ш Е Н И Е

Пусть отрезок AB изображает туннель (см. рисунок). Рассмотрим силу, действующую на вагон в по­ ложении С. Сила притяжения вагона к Земле направлена к центру Земли,

ни от положения вагона в туннеле, ни от расположения самого туннеля относительно центра Земли, то в любом прямолиней­ ном туннеле вагон совершает гармонические колебания вокруг середины туннеля с одним и тем же периодом (см. задачи 49, 54).

З А Д А Ч А 56

Вычислить велйчину второй космической скорости.

Р Е ШЕ Н И Е

Взаимодействия точечных масс (закон всемирного тяготения) и точечных электрических зарядов (закон Кулона) описываются одинаковыми с точки зрения математики соотношениями. Это означает, что и следствия этих законов одинаковы в указанном смысле.

В частности, гравитационное поле, подобно электростатиче­ скому, потенциально, т. е. работа поля при перемещении точечной массы по замкнутому пути равна нулю. Потенциальный характер поля является непосредственным следствием закона всемирного тяготения.

93

По аналогии с электростатикой введем понятие потенциала гравитационного поля; потенциалом данной точки поля назовем такую величину, которая равна работе поля по перемещению еди­ ничной точечной массы из данной точки в бесконечность (где по­ тенциал будем считать равным нулю). Потенциал поля точечной массы, или однородного шара, определяется, следовательно, соот­ ношением (ср. с потенциалом поля точечного заряда)

где R — расстояние исследуемой точки до точечной массы, создаю­ щей поле (источника); g — ускорение силы тяжести в этой точке. Знак минус в формуле (1) связан с нашим выбором начала отсчета для потенциала = 0: так как массивные тела притягивают друг друга, то сближение тел осуществляется за счет действия самого поля. (Заметим, что в формуле (1) ускорение g является функцией R, так что в действительности потенциал U пропорцио­ нален 1/R, а не R, как это кажется на первый взгляд.)

Для вычисления второй космической скорости воспользуемся законом сохранения энергии Е0 = Есо, где Е0 — энергия тела у поверхности Земли; Е<£ — энергия тела в бесконечности. Так как

E0 = mvl/2 — mg0R3, £’00 = 0,

где ѵ2 — искомая скорость; R 3 — радиус Земли; g0 — ускоренно силы тяжести на ее поверхности, то

і;3 = ] / 2^0/?3 11,2 км/с.

3 А Д А Ч А 57

Считая, что Земля является однородным жидким шаром с плот­ ностью р = 5,5 г/см3, определить давление в центре Земли. По­ строить график изменения давления внутри Земли в зависимости от расстояния до центра Земли. Вращением Земли пренебречь.*

Р Е ШЕ Н И Е

Рассмотрим внутри Земли тонкий сферический слой, концент­ ричный земной поверхности и удаленный от центра Земли на рас­ стояние X. Если Ах — толщина слоя, то примем, что Ах ^ х, чтобы поле тяготения в пределах слоя можно было считать постоянным по величине. На малую площадку AS этого слоя действует сила тяготения, направленная к центру Земли и рав­ ная (см. задачу 53)

AFX= (4/3) улр^ЛяДб'.

* 4 . К и т т е л ь , У. Н а й I , М, Р у д е р м а н. Механика. М.

„Наука", 1971,

91