Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

так как плечо этой силы равно нулю. Разумеется, если целью задачи является определение именно реакции опоры, уравнение для сил придется составлять.

3. Если возможное движение тела является суммой поступательного и вращательного движений (иными словами, не является ни чисто поступательным, ни чисто вращательным движением), для решения задачи необходимо составление уравнений и для сил и для их моментов. Правила переноса сил при составлении каждого из уравнений, приведенные выше, сохра­ няются.

4. Полезно иметь в виду, что если в задаче сущест­ венна деформация тела, то силы вообще нельзя пере­ носить .

3 А Д А Ч А 47

На верхнюю ветвь горизонтально расположенного камертона насыпан песок. Камертон посредством смычка приводят в колеба­ ния с частотой V = 500 с'1. Какова амплитуда колебаний А 1 в том месте камертона, где песчинки не подскакивают? Какова ампли­ туда колебаний Л2 там, где песчинки подскакивают на высоту h = 2 мм по отношению к их положению при покоящемся ка­ мертоне?

Камертон колеблется гармонически, т. е. в любом месте камер­ тона смещение ветви от положения равновесия происходит по закону

причем в вертикальном направлении.

Скорость и ускорение точки, колеблющейся по закону (1),

Р Е ШЕ Н И Е

Как видно из соотношений (2), ускорение изменяется в проти­ вофазе со смещением. В частности, если колеблющаяся точка смещается вверх от положения равновесия, ее ускорение направ­ лено вниз и увеличивается по абсолютной величине вместе со сме­ щением. Песчинка отрывается от ветви камертона в тот момент,

ленным вниз, а ветвь камертона, двигаясь с большим, чем g, по абсолютной величине ускорением, отстает от песчинки.

Следовательно, момент отрыва песчинки определяется равен­

76

В этот момент песчинка находится на высоте

относительно ее положения при покоящемся камертоне и имеет скорость

Максимальную высоту, на которую поднимется оторвавшаяся песчинка, найдем из выражения h — h0 + ѵЦ2g. Подставляя в последнее соотношение значения tn,h0 и ѵ0 из формул (3) — (5), получим, что h — gl2со2 + (A2 bi)2 /2g, откуда

А 2 = (1/со) V 2 g k - ( g /a ) 2 ъ 0,06 мм.

Песчинки не подскакивают в тех местах, где ускорение не пре­ вышает по величине g, т. е.

мм.

З АДАЧ А 48

Математический маятник длиной I, подвешенный у наклонной стенки, которая составляет с вертикалью угол а, отводят в сторону

от стенки на угол ß и отпускают. Определить период колебаний такого маятника, если стенка абсолютно упругая, а углы а и ß малы (см. рис. а).

Р Е ШЕ Н И Е

Если ß ^ а, соударений со стенкой нет и можно использовать известную формулу Т0 = 2я (llgY12. Если ß > а, шарик абсо­ лютно упруго соударяется со стенкой. Пренебрегая длительностью соударения, воспользуемся аналогией между колебательным дви­ жением материальной точки и движением проекции материальной точки на диаметр при равномерном вращении последней по окруж­ ности (рис. б).

При полном обороте точки по окружности ее проекция на диаметр AB совершает одно полное колебание с амплитудой R,

77

что должно соответствовать амплитуде ßZ исследуемого маятника, т. е. OB = ßZ. При движении проекции от О к А на расстоянии OEt равном а Z, происходит столкновение, что эквивалентно мгновен­ ному переходу вращающейся точки из С в D, минуя дугу CAD. Полный период таких колебаний, следовательно, равен времени равномерного движения точки из D через В в С.

Из тригонометрических соотношений следует, что /_АОС —

=/_AOD — arccos (ЕО/ОС) = arccos (a/ß).

Так как вся дуга окружности соответствует периоду Т0, т. е.

Т0 ~ 2я, а искомый период Т ~ 2я — A.DOC, из пропорции

получаем, что

Т — Т 2jt~ 2arccos (g/ß) _ 2я y j / g ^ 1 — arccos (g/ß) j

3 А Д А Ч А 49

Самолет, в кабине которого укреплен математический маятник длиной Z, движется с ускорением а. Определить период колебаний маятника.

РЕ Ш Е Н И Е

Вравновесном состоянии груз маятника движется с тем же

ускорением а, что является результатом действия на груз силы

XX

Х5

Щ

К задаче 49.

G = mg притяжения к Земле и силы R0 натяжения нити. На основе закона Ньютона и рис. а получаем, что

т а = mg-j- R0,

RI = т 2 (a2 -f g2 — 2ag cos a).

Направление нити маятника при этом совпадает с направле­ нием вектора (а — g).

Пусть маятник (рис. б) выведен из положения равновесия на

где Да — ускорение маятника относительно точки подвеса.

78

Из соотношений (1) и (2) следует очевидное равенство тА а = = AR. Относительно точки подвеса маятник может двигаться только по окружности радиуса I, в противном случае нить растя­ нется или провиснет. Поэтому в относительном ускорении Аа можно выделить две составляющие: Аах — центростремительную и Аа2 — касательную к окружности. Разложив по тем же направ­ лениям вектор АR, получаем, что

Из последнего равенства следует, что сила, возвращающая груз в положение равновесия, пропорциональна величине откло­ нения X от этого положения. Груз начнет совершать гармонические колебания (см. Примечание I к задаче) с периодом

свободно падает, натяжение нити обращается в нуль, возвращаю­ щей силы не возникает. Выведенный из положения равновесия груз либо остается в новом положении относительно системы отсчета, связанной с точкой подвеса, либо движется равномерно относительно точки подвеса по окружности. В обоих случаях колебания отсутствуют.

П р и м е ч а н и е I. Если материальная точка массой ш находится в положении устойчивого равно­ весия, а при ее отклонении от этого положения на

риальная точка, будучи выведенной из положения рав­ новесия и предоставленной самой себе, станет совер­ шать гармонические колебания, причем период Т этих, так называемых свободных, колебаний окажется равным 2я (т/к)1/2.

Пр и м е ч а н и е II. Период свободных колебаний является объективной характеристикой систем опре­ деленного типа (например, указанных в примечании I), существующей вне зависимости от того, действительно ли система находится в состоянии колебательного

79

движения или пребывает в покое. Поверхностная ана­ логия — электростатический потенциал. Он опреде­ ляется через работу, совершаемую силами поля и т. д., но характеризует любую точку этого поля незави­ симо от того, была ли совершена такая работа в дей­ ствительности или только может быть совершена в принципе.

3 А Д А Ч А 50

Два бруска с массами тх и т%, лежащие на гладком столе, соединены невесомой пружиной с коэффициентом жесткости к. Бруски разводят в противоположные стороны, растягивая при этом пружину на величину AI, и одновременно отпускают. Найти основные характеристики движения брусков.

РЕ Ш Е Н И Е

'Импульс системы из двух брусков и пружины в момент осво­ бождения брусков равен нулю. На основе закона сохранения импульса тгѵ1 4- т2 ѵ2 = 0, где ѵх и ѵ2 — проекции мгновенных скоростей брусков 1 и 2 на горизонтальную ось. Следовательно,

отношение скоростей брусков во времени неизменно: ѵх/ѵ2 =>

=— т2 /т1 = const. Но если у двух тел скорости пропорцио­ нальны друг другу, то с тем же коэффициентом пропорциональны

ипути, пройденные телами за любой промежуток времени: ххІх2 —

=— т2 /т1 = const, где хх и х2 — длины путей к произволь­ ному моменту времени, отсчитанные, например, от начального положения.

Последнее соотношение можно переписать так:

Из определения центра масс (см. задачу 23) и ра­ венства (1) следует, что несмотря на движение отдель­ ных элементов, центр масс системы в целом остается неподвижным. Доказанное утверждение часто приво­ дится в следующей формулировке: „Внутренние силы не могут изменить положение центра масс“. Именно эту теорему забыл барон Мюнхгаузен, вытащив самого себя из болота за волосы, да еще с конем впридачу.

При некотором положении грузов натяжение пружины, оче­ видно, обращается в нуль. Будем под ух и у2 понимать смещения грузов от этих положений; для ух и у2 равенство (1) остается, очевидно, так же справедливым. При этом величина ух — у2 есть

80