Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

Р Е Ш Е Н И Е

Пусть искомое положение центра муфты находится на расстоя­ нии X от оси вращения.

При установившемся вращении сосуда с жидкостью шаровой объем жидкости радиусом г, расположенный на расстоянии х от оси вращения на той же глубине, что и муфта, испытывает действие двух сил: силы тяжести G и „архимедовой“ силы F (см. задачу 59). Поскольку сила F зависит лишь от положения выделенного объема, его формы и величины, то эта сила равна „архимедовой“ силе, дейст­ вующей на муфту.

В соответствии со вторым законом Ньютона горизонтальная проекция Fr „архимедовой“ силы сообщает объему жидкости цент-

а, S

ростремительное ускорение а — со2х. Эта формула нуждается в по­ яснениях, так как неочевидно, что в ее правой части должна стоять величина х, а не какое-то другое расстояние х '. Другими словами, действительно ли „архимедова“ сила F приложена к центру масс выделенного объема жидкости?

Если шарик мал, т. е. г 10, Ах, где Ах — упругая деформа­ ция пружины, то в условиях задачи он является материальной точкой (см. задачу 28), и вопрос снимается.

Допустим, что размеры шарика сравнимы с длиной пружины и величиной деформации. Разобьем выделенный объем жидкости на элементарные объемы массой Ат{. На каждый из элементарных объемов действует „архимедова“ сила, горизонтальная проекция

Введем систему координат OXyZ с началом на оси вращения, на­ правив ось ОХ в центр выделенного объема жидкости, ось OZ — по оси вращения. Проекция силы ДЕГІ на ось ОХ будет равна

104

Горизонтальная проекция „архимедовой“ силы, действующей на весь шарик, направлена к оси вращения (это следует из сообра­ жений симметрии) и определяется соотношением

Fr = 2] Ат ^ Х і = co22 ArriiXi = ю2хМ,

= pF — масса шара; F — его объем.

Таким образом, горизонтальная составляющая „архимедовой“ силы приложена к центру масс нашего объема жидкости (к слову, приведенное доказательство справедливо не только для шара, но и для объема произвольной формы).

Во избежание недоразумений еще раз поясним смысл выражения „сила, приложена к такой-то точке тела“. Это означает, что под действием рассматриваемой силы тело движется так, как если бы вся масса тела была со­ средоточена в этой точке, а сила приложена к ней. В действительности точка реального приложения силы может быть совсем другой или даже вообще отсутство­ вать: в частности, в нашей задаче „архимедова“ сила является результатом давления жидкости на всю по­ верхность шарика.

Из второго закона Ньютона для муфты следует, что

105

Р Е Ш Е Н И Е

Внутри вращающегося цилиндра (воздух в нем также вращает­ ся) возникает дополнительная „архимедова“ сила (см. задачу 68), направленная по горизонтали вдоль радиуса цилиндра к оси вра­ щения. Так как пламя свечи легче окружающего воздуха, эта сила способна сообщить пламени большее центростремительное уско­ рение, чем такому же объему воздуха. Поэтому пламя отклоняется к оси вращения цилиндра.

Часто вызывает затруднение вопрос: „Как мы узнали, что пламя легче воздуха?“ Ответ очевиден: пламя поднимается вверх.

З А Д А Ч А 70

Сосуд с ртутью равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со. Поверхность ртути принимает при этом вогнутую форму и используется как зеркало. Определить фокус­ ное расстояние этого зеркала.

Указания: 1. Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки (фокуса) и прямой линии (ди­ ректрисы). 2. Параллельные лучи, падающие на параболическое зеркало параллельно его оси, после отражения от зеркала пересе­ каются в его фокусе.

Р Е ШЕ Н И Е

Рассмотрим небольшой объем ртути М, находящийся у поверх­ ности (см. рисунок, на котором 00' — ось вращения; М — поло­ жение выделенного объема). Действующие на него силы, а именно вес G и „архимедова“ сила Fa (см. задачи 59,68), таковы, что в сумме создают центростремительную силу F. Сила Fa при установив­ шемся вращении направлена перпендикулярно поверхности жид­ кости. Следовательно,

где т — масса выделенного объема; ѵ — его скорость; R — рас­ стояние объема от оси вращения, R — ОМ. (Объем выбран на­ столько малым, что его можно считать материальной точкой.)

Вертикальный луч света, падающий на поверхность ртути

106

жена в точке А такой, что AF = FC/2. Парабола проходит через точку М. Поверхность, полученная вращением параболы вокруг оси 00', называется параболоидом вращения. Легко убедиться,

что для любого объема у поверхности построенного параболоида вращения выполняется второй закон Ньютона в форме (1). Следо­ вательно, построенный параболоид является искомой поверх­ ностью ртути в сосуде, а фокусное расстояние нашего зеркала

/ = AF = g/2a>2.

З А Д А Ч А 71

Требуется подсчитать, насколько изменится температура Земли, если на нее упадет Луна. (Пусть кому-то удалось затормозить Луну на ее орбите, так что Луна с нулевой начальной скоростью начала падать на Землю.)

Масса Луны примерно в 80 раз меньше массы Земли. Удельную теплоемкость вещества Земли и Луны принять равной 1 кал/кг-град (в системе СИ — 4,2-ІО3 Дж/кг-град).

Р Е ШЕ Н И Е

Решим задачу при следующих условиях.

1. Будем считать, что Луна находится достаточно далеко от Земли, так что скорость ее падения на Землю близка ко второй космической скорости.

107

2.Столкновение будем считать абсолютно неупругим (т. е. скорости планет после столкновения примем равными).

3.Пренебрежем возможной теплоотдачей в окружающее косми­ ческое пространство в форме излучения.

(Заметим, что если бы такое столкновение произошло в дейст-. вительности, то, по-видимому, условия 1 и 2 соблюдались бы весьмд точно. Что же касается третьего условия, то оно принято только для того, чтобы нашу задачу можно было „решить“ в рамках эле­ ментарной физики; при реальном столкновении, скорее всего, основная часть энергии перешла бы в излучение.)

При этих условиях в соответствии с законом сохранения им­

где пгз и т д — массы Земли и Луны соответственно; ѵл — скорость падения Луны на Землю; ѵ — общая скорость планет после столкновения, с — теплоемкость вещества планет; АТ — изменение температуры.

Как видим, почти вся кинетическая энергия Луны переходит в тепло (только при наших условиях!). Искомое изменение тем­ пературы определяется выражением

Определить увеличение температуры медной цепочки в усло­ виях задачи 42, считая, что вся работа, затраченная на де­ формацию цепочки, приводит к увеличению ее внутренней энергии.

Теплоемкость меди с = 0,38-ІО3 Дж/кг-град, высота стола h = 10 м.

Р Е ШЕ Н И Е

Рассматривая некоторый интервал времени Аt при установив­ шемся движении, применим к цепочке закон сохранения энергии

pghvAtS = АріМі/2 -(- АU,

где S — площадь поперечного сечения цепочки; А U — изменение внутренней энергии цепочки за время At, т. е. изменение внутрен­

108