Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

Преобразуем величину (1 + z2)/(z — к), разделив числитель по­ следнего выражения на знаменатель. В результате получим, что

дим к выводу, что минимум ѵ0 имеет место при выполнении условия

tg a 0 = z = &+ ]//c2+ l =

расположена по горизонтали ближе к орудию, чем дель, и нахо­ дится выше цели. Снаряд попадает в цель на излете (т. е. когда вертикальная составляющая его скорости направлена вниз). Пунктиром на чертеже изображена траектория, вершина которой совпадает с положением цели.

Читателю рекомендуется самостоятельно доказать, что тра­

З АД АЧ А 16

Зенитное орудие производит выстрелы во всевозможных направ­ лениях. Начальная скорость снарядов ѵ0. Определить границу области, которая простреливается из этого орудия.

Р Е ШЕ Н И Е

Из решения предыдущей задачи следует, что при заданной начальной скорости снарядов ѵ0 в точку с координатами S и Я, такими, что

30

можно попасть только с помощью определенного выстрела,

Очевидно, что искомая поверхность симметрична относительно вертикальной оси выбранной системы отсчета. Поэтому достаточно найти уравнение линии пересечения этой поверхности с любой вертикальной плоскостью, проходящей через орудийную пози­ цию.

Координаты точек, в каждую из которых можно попасть лишь единственным выстрелом, удовлетворяют соотношению (1). Рас­

какой-то боковой точкой.

Получим одно интересное следствие из решения задачи. Постро­ им поверхность, на которой расположены вершины траекторий всех снарядов.

Исключая из этих уравнений угол а, получим, что іР + £ 2/ 4 - д е £ ) Я = 0.

Линия, описываемая этим уравнением, симметрична относи­ тельно координатной оси Я, проходит через начало координат и пересекает ось ординат в точке Я = ѵЦ2g. Такая линия назы­ вается эллипсом (см. рис. б).

Искомая поверхность является эллипсоидом вращения. Эллипсоид и параболоид вращения делят пространство на

три области. В точки, расположенные вне параболоида вращения

31

по отношению к орудию, при данной начальной скорости попасть нельзя. Любую неподвижную цель, находящуюся внутри эллип­ соида, можно поразить снарядами как при восходящем, так и при нисходящем их движении. В цели, расположенные между пара­ болоидом и эллипсоидом, снаряды попадают только при нисхо­ дящем полете.

П р и м е ч а н и е . В связи с этой и рядом других задач необходимо знать следующее.

Любому соотношению вида / (х, у) — 0 (где / (х, у) — произвольная непрерывная функция двух переменных) на плоскости оху можно сопоставить некоторую линию такую, что координаты любой точки линии удовлетво­ ряют данному соотношению, и, наоборот, любая пара значений х, у, удовлетворяющих соотношению, дает точку, принадлежащую линии. Тогда соотношение

Приведенные в скобках соотношения есть, следова­ тельно, уравнения прямой линии, параболы и гипер­ болы.

В настоящем сборнике используются также урав­ нения эллипса (я2х2 4- Ь2у2 — с2 = 0) и окружности

(х2 + у2 — R2 = 0). •

З А Д А Ч А 17

Автомобиль с колесами радиусом R движется без проскальзы­ вания по горизонтальной дороге со скоростью ѵ. На какую макси­ мальную высоту над поверхностью Земли забрасываются капли грязи, отрывающиеся от колес?

Р Е ШЕ Н И Е

Очевидно, что высота, на которую подлетает оторвавшаяся от колеса капля, зависит, во-первых, от высоты точки отрыва над поверхностью Земли и, во-вторых, от вертикальной составляющей скорости капли.

Поскольку вертикальные составляющие скорости любой точки колеса одинаковы в двух системах отсчета — в системе, жестко связанной с Землей, и в системе, связанной с осью колеса и дви­ жущейся поступательно относительно Земли, — эти системы в рассматриваемой задаче совершенно равноправны. Выберем из них вторую.

Пусть капля отрывается от края колеса в точке А (см. рисунок). В выбранной системе отсчета модуль ее скорости ѵа для любого положения точки А подчиняется равенству ѵа = ѵ. Вертикальная составляющая скорости поэтому ѵу = ѵ sin а. После отрыва от

32

колеса капля движется с ускорением g, так что высота ее подъема над поверхностью Земли определяется выражением

Если рассматривать последнее соотношение как уравнение относительно величины cos а, то его корни будут равны

причем эти формулы имеют физический смысл только при выполне­ нии условий

h^ k { ^ + 1

и

I (cos a)w | < l .

З А Д А Ч А 18

Круг (см. рис. а) с черным сектором (угол при вершине которого равен 40°) вращается вокруг оси, проходящей через центр круга перпендикулярно к его плоскости, с частотой оборотов 1500 мин"1. Что будет видно на круге, если в темной комнате его осве­ щают светом, мигающим 100 раз в секунду, причем длительность каждой вспышки света равна 0,003 с?

Решить эту задачу при частоте оборотов 1440 мин"1 и 1560 мин"1.

Р Е ШЕ Н И Е

Хорошо известно, что наш глаз обладает некоторой инерцией. Поэтому мелькающий свет при достаточно высокой частоте неот­ личим от непрерывного. В частности, это свойство глаза позволяет

нам смотреть кино, т. е. воспринимать как непрерывное действие последовательность неподвижных сцен, сменяющих друг друга

24раза в секунду.

В условиях предложенной задачи свет мелькает еще чаще, так

времени между двумя последовательными вспышками (точнее, между началом одной вспышки и началом следующей) черный сектор повернется ровно на 90°. Таким образом, через четыре вспышки сектор возвращается в прежнее положение, повернувшись на 360°. В течение каждой вспышки (глаз воспринимает излучение

Все происходящее с диском в течение четырех вспышек воспри­ нимается глазом как единовременное событие. Нетрудно понять, что при этом мы увидим на круге черный крест (см. рис. б). Сред­ няя часть каящого лепестка этого креста (угол у = 40° — 27° =

Если диск вращается с частотой ѵ = 1440 мин-1, (т. е. 24 с-1), то за четыре мигания (за время At — 0,04 с) сектор повернется на угол ß] = 360°Atv =» 345°,6. События будут восприниматься нами при этом, как вращение креста в сторону, противоположную направлению вращения диска, с частотой

34