Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.07.2024
Просмотров: 137
Скачиваний: 0
П р и м е ч а н и е . В задачах, составленных приме нительно к школьной программе, моменты сил подсчи тываются иногда относительно некоторой произвольной точки. Это, однако, частный случай использования общего определения, по которому моменты сил должны вычисляться относительно некоторой оси. Если же все рассматриваемые силы лежат в одной плоскости (именно так и оказывается в школьных задачах), а ось выбрана нами перпендикулярно этой плоскости, то найденные по общему правилу моменты сил (относительно оси) совпадают с моментами тех же сил относительно точки, где ось пересекает плоскость.
З А Д А Ч А 2 2
Па какую максимальную высоту может подняться человек по невесомой лестнице длиною I, приставленной к гладкой стенке?
Угол между лестницей и полом равен а, коэффициент трения о пол f (см. рисунок).
Р Е ШЕ Н И Е
На лестницу действуют силы: вес человека G, приложенный на расстоянии х от нижнего ее конца, реакция со стороны стенки Q, (так как стена гладкая, трение между нею и лестницей отсут ствует), реакция пола Q2 и сила трения у пола F. Так как лестница непод
вижна, сумма действующих на нее сил равна нулю:
|
|
|
|
g + Q i + Q2+ f = o, |
|
(1 ) |
|||
|
|
|
сила же трения F не превышает мак |
||||||
|
|
|
симального значения силы трения по |
||||||
|
|
|
коя, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
Из равенства нулю суммы моментов |
||||||
|
|
|
сил, действующих на лестницу, относи |
||||||
|
|
|
тельно точки |
О получаем, что |
|
|
|||
|
|
|
|
()Z sin а = Gx cos а. |
|
|
(3) |
||
|
|
|
Тогда |
из |
выражений |
(1) |
и (2) |
сле |
|
соотношения |
|
дует, что |
<?х |
/G или G |
Qxlf, |
а |
из |
||
(3) — что x «S /Z tga. |
При этом интересующая |
|
нас |
||||||
максимальная высота |
определится |
из выражения |
h — х sin a |
= |
|||||
= fl sin a tg a. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Не |
следует, однако, забывать, что величина х |
не может пре |
|||||||
вышать длины лестницы I. Следовательно, окончательный ответ |
|||||||||
имеет вид: |
|
то h = fl sin a tg a. |
|
|
|
|
|||
1) |
если / |
tg a < 1, |
|
|
|
|
|||
2) |
если / |
tg a Sä 1, |
то h = I sin a. |
|
|
|
|
|
40
З А Д А Ч А 23
3, |
Сто шаров |
весом 1, 2, |
|
100 кГ * расположены |
|||
последовательно |
на |
прямом |
|
невесомом стержне, |
причем |
расстояния между центрами соседних шаров одинаковы (см. рис. а) и равны а.
Найти центр тяжрсти та кой системы.
Р Е ШЕ Н И Е
1-й с п о с о б . Несмотря на внешнюю сложность задачу можно решить вообще без вычислений.
Рассмотрим „треуголь ную“ фигуру, сложенную из правильных шестиугольни ков, в каждой стороне кото рой содержится N шести угольников (см. рис. б). Центр тяжести Р такой фигуры обязан лежать на точке пере сечения трех осей симмет рии ОгО[, ОъО*, O3O3, т. е.
его |
положение совпадает с |
||
центром |
тяжести |
правиль |
|
ного |
треугольника |
0 г0 20 3, |
|
вершины |
которого |
лежат в |
центрах крайних шестиуголь ников.
Пусть вес каждого шести угольника 1 кГ, N — 100, а направление силы тяжести совпадает с направлением вектора g на рисунке. Найдем
сумму |
моментов всех |
сил |
тяжести |
относительно |
точ |
ки Р. |
Для этого можно, |
а.
1 2 3 4 5 Р
©-НЭ-О-0 -0 -
6 |
|
|
0, |
________________ Р |
А |
Мt
1 * (
2 I
J ’
к
I
A/f '
і
* В задаче 104 указано на два смысла понятия „вес“. В данном сборнике задач, как правило, используется второе содержание этого термина, за исклю чением устоявшихся, типовых словосочетаний вида „гиря весом в 1 кГ“, „невесомая нить“ и т. д.
В системе единиц СИ единицей силы, следовательно веса, является ньютон. Поскольку в практике укоренилось использование килограммов и ли граммов для измерения этих величин, то мы намеренно сохраняем тра
диционные единицы. Напомним, что 1 кГ = 9,8 Н.
41
в частности, перенести все силы вдоль по линиям их действия до оси ОхО\. В результате, если сторона шестиугольника равна 2а/3, получим то же самое распределение сил, что и в случае стержня с шарами (рис. в). Следовательно, центр тяжести фигуры так же удален от точки 0 ІУкак центр тяжести стержня с шарами от цент ра первого шара. Так как 01Р = 2/3 ОхА, искомый центр тяже сти совпадает с центром 67-го шара.
2-й с п о с о б .
Полезно знать, что центр тяжести тела совпадает с центром масс. Однако понятие „центр масс“ более общее; в частности, центр масс есть у любого тела, в то время как центр тяжести — лишь у тел, находящихся в однородном поле тяжести (см. задачу 24).
Определяется центр масс так. Пусть дано некоторое тело массой М. Разобьем его мысленно на малые эле менты с массами тІУ rri2, т3, ..., Пусть координаты соответствующих элементов в некоторой системе от
счета равны хІУуІУZj5х2, |
уг, z2; |
...; |
хІУуІУzv |
Вычислим |
||
следующие величины: |
|
|
|
|
||
|
тгх1-\-т2х2+ ... + |
тіх і |
|
|
||
X |
___________________ г |
|
||||
|
mi + ma+ ***+ mi |
М |
’ |
|||
|
|
|||||
|
Y: |
м |
Z |
Si |
m‘Z‘ |
|
|
|
M ~~ • |
|
|||
|
|
|
|
|
Точка с координатами X, Y, Z и называется центром масс.
В школе часто пользуются следующим приемом для определения положения центра тяжести. Исследуе мое тело разбивается на несколько простых по форме частей, положения центров тяжести (Ot и 0 2 на рис. г) которых заранее известны, например из соображений симметрии. Центр тяжести О всего тела отыскивается потом на отрезке 0 Х02У на расстояниях от точек Ot и 0 2, обратно пропорциональных весам соответствующих частей. Легко доказать, что такие действия непосред ственно вытекают из приведенных выше формул.
Вернемся к исходной задаче. Расположим стержень по оси х так, чтобы центр первого шара находился от начала координат на расстоянии ху — а {а — расстояние между центрами соседних шаров). Тогда центр второго шара будет иметь координату^ =
— 2а и т. д. Очевидно, что Y = Z — 0 (так как все у{ = 0, z i = 0),
|
у |
I |
|
а • I2 -f-а • 22 |
а ■1002 |
||
|
|
М |
“ |
|
1+ 2 + |
... + 100 |
|
Известно, что I2 + |
22 |
+ |
... + |
п2 = |
п (п + |
1)(2п + 1)/6. Кроме |
|
того, 1 |
+ 2 + ••• + |
п — п (п + |
1)/2. |
Тогда |
находим что X == |
||
= 67а, |
т. е. центр масс совпадает с центром 67-го шара. |
42
3 А Д А Ч А 24
Найти положение центра тяжести тела, представляющего собой два массивных шарика, соединенных невесомым стержнем. Длина стержня сравнима с диаметром Земли (рис. а).
К задаче 24.
Р Е ШЕ Н И Е
Широко распространено следующее определение;
„Центром тяжести тела называется точка прило жения равнодействующей всех элементарных сил тяжести, действующих на данное тело“. В этом опре делении есть серьезная ошибка: у равнодействующей нет точки приложения, она имеет лишь линию дей ствия .
Как известно, равнодействующей силою для си стемы сил Fj, F2, ..., приложенных к телу и сообщающих ему ускорение а (в том числе а = 0), называется сила F, сообщающая этому телу то же самое ускорение а.
43
Нахождение равнодействующей основывается на сле дующем экспериментальном факте (рис. б).
Пусть на некоторое тело в плоскости чертежа дей ствуют силы Fx и F2. Построим их векторную сумму F = Fx + F2. Проведем линии действия этих сил и через точку пересечения О проведем линию О'О”вдоль направ ления F. Тогда, как показывает опыт, сила F, действу ющая по линии О'О", эквивалентна по действию обеим силам Fx, F2, где бы вдоль прямой О'О" она ни была приложена. Таким образом, если для реальных сил Fx и F2 нередко можно указать точки их приложения (не всегда!), для построенной нами расчетным путем равно действующей F такой точки нет: подойдут и точка О, и точки 0', О" и т. д.
Определение центра тяжести в свете сказанного можно дать в следующем виде.
Найдем по правилу сложения параллельных сил линию действия равнодействующей всех элементарных сил тяжести, приложенных к телу. Центром тяжести будет называться точка О, через которую эта линия проходит при любом положении тела (рис. в), если эта точка существует.
Легко сформулировать (труднее доказать) условие существования центра тяжести — однородность грави тационного поля в области пространства, занятой телом. В земных условиях это требование легко реализуется для тел, размеры которых много меньше размеров Земли.
В случае, рассматриваемом в этой задаче, указанное условие не выполняется. Рис. г, где найдены три линии действия Ьъ Ь2, L3 для трех положений нашей „гантели“, подтверждает, что общей точки у трех линий действия нет. Разные положения тела полу чены его поворотом относительно центра масс О (см. задачу 23).
П р и м е ч а н и е . |
Аккуратный читатель заметит, что у названных |
трех линий действия Lu |
L2, L3 есть-таки общая точка пересечения — центр |
Земли. Это автоматическое следствие того, что ноле тяготения Земли — цент ральное (т. е., что Земля сферически симметрична). Но в центре Земли будут пересекаться линии действия, принадлежащие любым телам любых раз меров, следовательно, характеристикой тел эта точка не является. Следует договориться исключить ее из рассмотрения.
3 А Д А Ч А 25
Космический путешественник собирается отправиться на Луну. Он берет с собой пружинные весы, гирю с массой т1 = 1 кг и блок. Опустившись на поверхность Луны, космонавт подбирает камень, который вытягивает на его весах 1 кГ. Затем он подвешивает гирю и камень к нити, перекинутой через блок, и обнаруживает, что камень опускается с ускорением а = 1,2 м/с2. Чему равна масса камня т 2?
44
Р Е Ш Е Н И Е
Рассмотрим опыт космонавта с блоком (см. рисунок). Пусть ускорение лунного притяжения равно gл• Тогда по второму закону Ньютона
т г^ і + 1 1= т 1&1, |
+ Т2= ш2а2, |
|
|||
где Tj и Т2 — натяжения нитей, а, |
и а2 |
- |
ускоре |
O S |
|
ния гири и камня. Так как Тх = |
Т2 |
и |
— а, = |
||
= а2 = а, получаем, что |
|
|
|
|
|
gn = а {тг+ т2)/(т2— mx), |
|
(1) |
|
причем тг > тѵ иначе камень поднимался бы. Поскольку показания пружинных весов одина- 1 ковы для гири на Земле, где ускорение свободного падения равно g3, и камня на Луне, m^g3 =
= m2gл, откуда
|
gn = |
|
(2) |
|
|
|
||
Из соотношений (1) |
и (2) следует, что |
Mifjn |
mzjjn |
|||||
|
е з ~ а ( |
^ 3 |
||||||
|
К |
задаче |
25. |
|||||
("Ь)і.2 = - |
а |
\ 1 |
(g3- a)‘ |
|||||
|
|
|
|
|||||
Подставляя числовые значения, |
находим, что (т2)и2 = |
3,58 (1 |
± |
:±: 0,75) кг. Из текста задачи известно, что т2 )> т1. Следовательно,
тг = 3,58 (1 + 0,75)кг = 6,25 кг.
З А Д А Ч А 26
Как правило, в задачах с блоками специально оговаривается или подразумевается, что а) нити абсолютно гибки, нерастяжимы и невесомы; б) блоки вращаются без трения и невесомы. Это обыч ный пример физической идеализации. Реализовать такие условия можно с весьма хорошим приближением. К примеру, капроновая нить (жилка) диаметром 1 мм выдерживает вес 30 кг, а собствен ный вес такой нити — около 1 г на метр длины. Блоки можно изготовить из легкого материала и установить на шарикоподшип никах.
Ачто дают нам указанные идеализации при решении задач?
РЕ ШЕ Н И Е
Для ответа на вопрос воспользуемся конкретным примером (см. рисунок).
а) Гибкость нити дает право считать, что тела 1 я 2 движутся строго вертикально. Отсюда и из того, что нить нерастяжима, следует одно из необходимых нам уравнений ах = —а2 (см. зада чи 25, 30).
45