Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.07.2024

Просмотров: 137

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

П р и м е ч а н и е . В задачах, составленных приме­ нительно к школьной программе, моменты сил подсчи­ тываются иногда относительно некоторой произвольной точки. Это, однако, частный случай использования общего определения, по которому моменты сил должны вычисляться относительно некоторой оси. Если же все рассматриваемые силы лежат в одной плоскости (именно так и оказывается в школьных задачах), а ось выбрана нами перпендикулярно этой плоскости, то найденные по общему правилу моменты сил (относительно оси) совпадают с моментами тех же сил относительно точки, где ось пересекает плоскость.

З А Д А Ч А 2 2

Па какую максимальную высоту может подняться человек по невесомой лестнице длиною I, приставленной к гладкой стенке?

Угол между лестницей и полом равен а, коэффициент трения о пол f (см. рисунок).

Р Е ШЕ Н И Е

На лестницу действуют силы: вес человека G, приложенный на расстоянии х от нижнего ее конца, реакция со стороны стенки Q, (так как стена гладкая, трение между нею и лестницей отсут­ ствует), реакция пола Q2 и сила трения у пола F. Так как лестница непод­

вижна, сумма действующих на нее сил равна нулю:

 

 

 

 

g + Q i + Q2+ f = o,

 

(1 )

 

 

 

сила же трения F не превышает мак­

 

 

 

симального значения силы трения по­

 

 

 

коя, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

Из равенства нулю суммы моментов

 

 

 

сил, действующих на лестницу, относи­

 

 

 

тельно точки

О получаем, что

 

 

 

 

 

 

()Z sin а = Gx cos а.

 

 

(3)

 

 

 

Тогда

из

выражений

(1)

и (2)

сле­

соотношения

 

дует, что

<?х

/G или G

Qxlf,

а

из

(3) — что x «S /Z tga.

При этом интересующая

 

нас

максимальная высота

определится

из выражения

h х sin a

=

= fl sin a tg a.

 

 

 

 

 

 

 

Не

следует, однако, забывать, что величина х

не может пре­

вышать длины лестницы I. Следовательно, окончательный ответ

имеет вид:

 

то h = fl sin a tg a.

 

 

 

 

1)

если /

tg a < 1,

 

 

 

 

2)

если /

tg a Sä 1,

то h = I sin a.

 

 

 

 

 

40


З А Д А Ч А 23

3,

Сто шаров

весом 1, 2,

100 кГ * расположены

последовательно

на

прямом

невесомом стержне,

причем

расстояния между центрами соседних шаров одинаковы (см. рис. а) и равны а.

Найти центр тяжрсти та­ кой системы.

Р Е ШЕ Н И Е

1-й с п о с о б . Несмотря на внешнюю сложность задачу можно решить вообще без вычислений.

Рассмотрим „треуголь­ ную“ фигуру, сложенную из правильных шестиугольни­ ков, в каждой стороне кото­ рой содержится N шести­ угольников (см. рис. б). Центр тяжести Р такой фигуры обязан лежать на точке пере­ сечения трех осей симмет­ рии ОгО[, ОъО*, O3O3, т. е.

его

положение совпадает с

центром

тяжести

правиль­

ного

треугольника

0 г0 20 3,

вершины

которого

лежат в

центрах крайних шестиуголь­ ников.

Пусть вес каждого шести­ угольника 1 кГ, N — 100, а направление силы тяжести совпадает с направлением вектора g на рисунке. Найдем

сумму

моментов всех

сил

тяжести

относительно

точ­

ки Р.

Для этого можно,

а.

1 2 3 4 5 Р

©-НЭ-О-0 -0 -

6

 

 

0,

________________ Р

А

Мt

1 * (

2 I

J ’

к

I

A/f '

і

* В задаче 104 указано на два смысла понятия „вес“. В данном сборнике задач, как правило, используется второе содержание этого термина, за исклю­ чением устоявшихся, типовых словосочетаний вида „гиря весом в 1 кГ“, „невесомая нить“ и т. д.

В системе единиц СИ единицей силы, следовательно веса, является ньютон. Поскольку в практике укоренилось использование килограммов и ли граммов для измерения этих величин, то мы намеренно сохраняем тра­

диционные единицы. Напомним, что 1 кГ = 9,8 Н.

41


в частности, перенести все силы вдоль по линиям их действия до оси ОхО\. В результате, если сторона шестиугольника равна 2а/3, получим то же самое распределение сил, что и в случае стержня с шарами (рис. в). Следовательно, центр тяжести фигуры так же удален от точки 0 ІУкак центр тяжести стержня с шарами от цент­ ра первого шара. Так как 01Р = 2/3 ОхА, искомый центр тяже­ сти совпадает с центром 67-го шара.

2-й с п о с о б .

Полезно знать, что центр тяжести тела совпадает с центром масс. Однако понятие „центр масс“ более общее; в частности, центр масс есть у любого тела, в то время как центр тяжести — лишь у тел, находящихся в однородном поле тяжести (см. задачу 24).

Определяется центр масс так. Пусть дано некоторое тело массой М. Разобьем его мысленно на малые эле­ менты с массами тІУ rri2, т3, ..., Пусть координаты соответствующих элементов в некоторой системе от­

счета равны хІУуІУZj5х2,

уг, z2;

...;

хІУуІУzv

Вычислим

следующие величины:

 

 

 

 

 

тгх1-\-т2х2+ ... +

тіх і

 

 

X

___________________ г

 

 

mi + ma+ ***+ mi

М

 

 

 

Y:

м

Z

Si

m‘Z‘

 

 

 

M ~~

 

 

 

 

 

 

Точка с координатами X, Y, Z и называется центром масс.

В школе часто пользуются следующим приемом для определения положения центра тяжести. Исследуе­ мое тело разбивается на несколько простых по форме частей, положения центров тяжести (Ot и 0 2 на рис. г) которых заранее известны, например из соображений симметрии. Центр тяжести О всего тела отыскивается потом на отрезке 0 Х02У на расстояниях от точек Ot и 0 2, обратно пропорциональных весам соответствующих частей. Легко доказать, что такие действия непосред­ ственно вытекают из приведенных выше формул.

Вернемся к исходной задаче. Расположим стержень по оси х так, чтобы центр первого шара находился от начала координат на расстоянии ху — а {а — расстояние между центрами соседних шаров). Тогда центр второго шара будет иметь координату^ =

— 2а и т. д. Очевидно, что Y = Z — 0 (так как все у{ = 0, z i = 0),

 

у

I

 

а • I2 -f-а • 22

а ■1002

 

 

М

 

1+ 2 +

... + 100

 

Известно, что I2 +

22

+

... +

п2 =

п (п +

1)(2п + 1)/6. Кроме

того, 1

+ 2 + ••• +

п — п (п +

1)/2.

Тогда

находим что X ==

= 67а,

т. е. центр масс совпадает с центром 67-го шара.

42


3 А Д А Ч А 24

Найти положение центра тяжести тела, представляющего собой два массивных шарика, соединенных невесомым стержнем. Длина стержня сравнима с диаметром Земли (рис. а).

К задаче 24.

Р Е ШЕ Н И Е

Широко распространено следующее определение;

„Центром тяжести тела называется точка прило­ жения равнодействующей всех элементарных сил тяжести, действующих на данное тело“. В этом опре­ делении есть серьезная ошибка: у равнодействующей нет точки приложения, она имеет лишь линию дей­ ствия .

Как известно, равнодействующей силою для си­ стемы сил Fj, F2, ..., приложенных к телу и сообщающих ему ускорение а (в том числе а = 0), называется сила F, сообщающая этому телу то же самое ускорение а.

43

Нахождение равнодействующей основывается на сле­ дующем экспериментальном факте (рис. б).

Пусть на некоторое тело в плоскости чертежа дей­ ствуют силы Fx и F2. Построим их векторную сумму F = Fx + F2. Проведем линии действия этих сил и через точку пересечения О проведем линию О'О”вдоль направ­ ления F. Тогда, как показывает опыт, сила F, действу­ ющая по линии О'О", эквивалентна по действию обеим силам Fx, F2, где бы вдоль прямой О'О" она ни была приложена. Таким образом, если для реальных сил Fx и F2 нередко можно указать точки их приложения (не всегда!), для построенной нами расчетным путем равно­ действующей F такой точки нет: подойдут и точка О, и точки 0', О" и т. д.

Определение центра тяжести в свете сказанного можно дать в следующем виде.

Найдем по правилу сложения параллельных сил линию действия равнодействующей всех элементарных сил тяжести, приложенных к телу. Центром тяжести будет называться точка О, через которую эта линия проходит при любом положении тела (рис. в), если эта точка существует.

Легко сформулировать (труднее доказать) условие существования центра тяжести — однородность грави­ тационного поля в области пространства, занятой телом. В земных условиях это требование легко реализуется для тел, размеры которых много меньше размеров Земли.

В случае, рассматриваемом в этой задаче, указанное условие не выполняется. Рис. г, где найдены три линии действия Ьъ Ь2, L3 для трех положений нашей „гантели“, подтверждает, что общей точки у трех линий действия нет. Разные положения тела полу­ чены его поворотом относительно центра масс О (см. задачу 23).

П р и м е ч а н и е .

Аккуратный читатель заметит, что у названных

трех линий действия Lu

L2, L3 есть-таки общая точка пересечения — центр

Земли. Это автоматическое следствие того, что ноле тяготения Земли — цент­ ральное (т. е., что Земля сферически симметрична). Но в центре Земли будут пересекаться линии действия, принадлежащие любым телам любых раз­ меров, следовательно, характеристикой тел эта точка не является. Следует договориться исключить ее из рассмотрения.

3 А Д А Ч А 25

Космический путешественник собирается отправиться на Луну. Он берет с собой пружинные весы, гирю с массой т1 = 1 кг и блок. Опустившись на поверхность Луны, космонавт подбирает камень, который вытягивает на его весах 1 кГ. Затем он подвешивает гирю и камень к нити, перекинутой через блок, и обнаруживает, что камень опускается с ускорением а = 1,2 м/с2. Чему равна масса камня т 2?

44


Р Е Ш Е Н И Е

Рассмотрим опыт космонавта с блоком (см. рисунок). Пусть ускорение лунного притяжения равно gл• Тогда по второму закону Ньютона

т г^ і + 1 1= т 1&1,

+ Т2= ш2а2,

 

где Tj и Т2 — натяжения нитей, а,

и а2

-

ускоре­

O S

ния гири и камня. Так как Тх =

Т2

и

— а, =

= а2 = а, получаем, что

 

 

 

 

gn = а {тг+ т2)/(т2— mx),

 

(1)

 

причем тг > тѵ иначе камень поднимался бы. Поскольку показания пружинных весов одина- 1 ковы для гири на Земле, где ускорение свободного падения равно g3, и камня на Луне, m^g3 =

= m2gл, откуда

 

gn =

 

(2)

 

 

 

Из соотношений (1)

и (2) следует, что

Mifjn

mzjjn

 

е з ~ а (

^ 3

 

К

задаче

25.

("Ь)і.2 = -

а

\ 1

(g3- a)‘

 

 

 

 

Подставляя числовые значения,

находим, что (т2)и2 =

3,58 (1

±

:±: 0,75) кг. Из текста задачи известно, что т2 )> т1. Следовательно,

тг = 3,58 (1 + 0,75)кг = 6,25 кг.

З А Д А Ч А 26

Как правило, в задачах с блоками специально оговаривается или подразумевается, что а) нити абсолютно гибки, нерастяжимы и невесомы; б) блоки вращаются без трения и невесомы. Это обыч­ ный пример физической идеализации. Реализовать такие условия можно с весьма хорошим приближением. К примеру, капроновая нить (жилка) диаметром 1 мм выдерживает вес 30 кг, а собствен­ ный вес такой нити — около 1 г на метр длины. Блоки можно изготовить из легкого материала и установить на шарикоподшип­ никах.

Ачто дают нам указанные идеализации при решении задач?

РЕ ШЕ Н И Е

Для ответа на вопрос воспользуемся конкретным примером (см. рисунок).

а) Гибкость нити дает право считать, что тела 1 я 2 движутся строго вертикально. Отсюда и из того, что нить нерастяжима, следует одно из необходимых нам уравнений ах = —а2 (см. зада­ чи 25, 30).

45