Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

Здесь Х п р (0 — программное перемещение автоматической си­ стемы; X (/) — действительное перемещение.

Предположим, что процесс У (i) имеет нормальный закон распределения. В процессе перемещения автоматической системы в ЦВМ вычисляется вероятность

P\\Y(t + T)\^z},

где t— текущее время; т — величина упреждения; z— величина заданного допуска.

ЦВМ

Рис. 1. Управляющая ЦВМ по . выработке закона управления:

ИО — исполнительный орган

Коррекция траектории происходит дискретно в те моменты времени, начиная с которых указанная вероятность меньше заданной величины. Предположим, что

12

измеряется и его значения записываются в память ЦВМ, обра­ зуя массив данных Rx — (У (^), . . ., Y Когда массив данных достигает требуемого объема, он поступает на статисти­ ческую обработку, в результате которой к моменту времени,

Блок-схеме алгоритмов системы управления с учетом после­ довательного уточнения значений параметра q на отдельных промежутках времени представлена на рис. 2.

2.КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА МОМЕНТОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение класса. Класс случайных функций определяется вероятностными свойствами функций. Случайные функции отно­ сятся к одному и тому же классу, если они имеют общие вероят­ ностные свойства, определяемые первыми двумя моментами рас­ пределения.

При статистической обработке данных класс функций можно определить следующим образом.

1.Пусть в системе управления измеряется та координата, класс которой следует определить. В этом случае класс функций определяется по результатам обработки реализации измеряемой координаты.

2.Допустим, что в системе управления измеряется некоторая координата. Определяется класс функций неизмеряемой коорди­ наты, но связанный с измеряемой координатой. В этом случае задается математическая модель связи измеряемой и неизмеряе­ мой координат. Если модель такова, что по измеряемой коорди­ нате одназначно определяются моменты распределения неизме­ ряемой координаты, тогда класс функций измеряемой координаты однозначно определяет класс функций неизмеряемой координаты.

Впротивном случае в системе управления для неизмеряемой координаты можно указать лишь множество допустимых классов.

Отметим, что класс случайных функций в процессе работы системы управления может • изменяться, тогда для измеряемых координат задается конечное число допустимых классов функций. \ В процессе управления требуется по результатам обработки изме­ ряемых координат среди допустимого класса функций выбрать определенный, указав при этом значения моментов распределения данного класса.

13

Перейдем к рассмотрению отдельных классов случайных функ­ ций. Особое внимание будем уделять определению аналитической структуры моментов распределения, характеризующих данный класс.

Процессы непрерывные в среднем. Случайный процесс X (t) непрерывен в среднем, если для любого, значения tx 6 Т

Пусть X (t) непрерывен в среднем и его математическое ожи­ дание равно нулю. Так как корреляционная функция является положительно определенным ядром, то по теореме Мерсера

\'=i 4

причем ряд сходится равномерно. Здесь cov и <pv (/) — соответ­ ственно собственные значения и собственные функции интеграль­ ного уравнения

т

о

В силу того, что корреляционное ядро является положительно определенным, имеем cov > 0. Без ограничения общности можно считать, что система функций cpv (t), входящая в (1.8), является ортогональной.

Используя теорему Карунена [23, 24], получаем представ­ ление вида

со

Разложение (1.10) является каноническим разложением. Раз­ личные представления канонических разложений даны в [19].

Ограничимся первыми п членами ряда в разложении (1.10). Дисперсия ошибки такого приближения за время Т равна в сред­ нем

14

При известных значениях корреляционной функции Kx(ti, / 2 ) число п выбираем таким, чтобы величина ошибки (1.12) не пре­ восходила допустимого значения. В этом случае аналитическая

v = l

где Д, (t) — ортогональная система функций; bv — коэффициенты Фурье функции mx(t).

Вэтом случае аналитическая структура математического

ожидания определяется отрезком ряда

При известных значениях функции mx (t) число k выбирем таким, чтобы величина не превосходила допустимого значения.

Таким образом, для процесса непрерывного в среднем неиз­ вестные параметры q x = (Ьъ . . ., bk), q 2 = (сох , . . ., а>„). входят в аналитическую структуру моментов распределения.

Процессы с независимыми приращениями. Рассмотрим возра­ стающую последовательность моментов времени

Случайный процесс х- (t) называется процессом с независимыми приращениями, если случайные величины взаимно незави­ симы.

Имеем

v = l

15

Обозначим через тг (tv) математическое ожидание величин zv, Mzv = тг (tv). Так как величины zv взаимно независимы, то

т. е. дисперсия процесса X (t) есть неубывающая функция вре­ мени.

Для определенности предположим, что

Найдем каноническое разложение процесса с независимыми приращениями. Исходя из свойств функции ц (t) = Кх (t, t) определим в гильбертовом пространстве скалярное произведение

где.ху —ортонормированные случайные величины, т. е. вели­ чины, удовлетворяющие условиям (1.11).

Ограничимся первыми п членами ряда в разложении (1.22).

16