Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.07.2024

Просмотров: 77

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где ху, уч — некоррелированные случайные величины, для ко­ торых

Ma-v 1 a-v 3 = МупУп = Mxvy^ = 0, Мхч = Му^ = 0;

Mxvi =

=

dyi

(v^=f=v2,

v, \i= 1,

2,:..)

 

Разложение (1.37) в разное время было получено Е. Е. Слуц­

ким, К. Каруненым, В. С. Пугачевым [23].

 

 

Из разложения

(1.37)

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

Л'л(т ) =

S dvzosavx.

 

 

(1.38)

В предельном случае при Т —>оо разложение (1.37) заменится

интегральным

представлением,

а корреляционная .функция —

интегралом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

^х(у)—.\

 

cosCOTSa.(со)dco,

 

(1-39)

 

 

 

— 00

 

 

 

 

где sx (со) —

четная, неотрицательная

функция,

для

которой

 

 

со

 

 

 

 

 

 

сходится . интеграл

J sx

(со)

da.

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

Функция

Sj. (со)

называется

спектральной плотностью

стацио­

нарного процесса X (t). Взаимная спектральная плотность ста­ ционарного и стационарно связанного процесса X (t) опреде­ ляется аналогично.

Ограничимся первыми п членами' ряда в разложении (1.37), тогда дисперсия ошибки такого приближения составит величину, равную

е „ = Ъ

dv = -Kx(0)-tdv.

(1.40)

V = n + 1

v = l

 

Если известны численные значения моментов пгх,

Кх (т), тогда

с помощью оценки (1.40) можно указать такое число членов ряда

в разложении (1.37), при котором величина е„ не

превосходит -

допустимого

значения.

 

 

 

 

 

2.

Неканоническое разложение: -

 

 

 

 

 

 

X (t) — tnx +. v1

cos co^ +

Vo sin at,

(1-41)

где

o 1 }

и2 ,

со — независимые

величины,

причем

 

 

 

 

Mvi =± 0,

Mv] = Kx (0)

(i =

1, 2).

 

Данное разложение получено В. И. Чернешшм

[313.

Если р (со) — плотность распределения случайной величины со,

входящей

в разложение (1.41), тогда

 

 

 

 

 

 

p((o)

=

ss(a)Kx-l(0).

 

 

(1.42)

21

Неканоническое разложение [1.41] позволяет в рамках кор­ реляционной теории случайных функций дать представление ста­ ционарного процесса, используя всего лишь две случайные ве­ личины, при этом разложение является точным.

Определение аналитической структуры моментов распределе­ ния стационарного процесса сводится к нахождению аналитиче­ ской структуры корреляционной функции. В силу взаимной

однозначности между функциями Кх (т) и sx

(со) достаточно

опре­

делить аналитическую структуру одной из этих функций.

 

Если sx (со) есть дробно-рациональная

спектральная

плот­

ность вида

 

 

где Р( (со) (I — 1, 2) — полиномы относительно ю заданного порядка, то аналитическая структура спектральной плотности определяется указанием неизвестных коэффициентов a,v (v = 1, /) полиномов Pt (со). В этом случае aiv (v = 1, /, I = 1, 2) — не­ известные параметры, входящие в аналитическую структуру спектральной плотности стационарного процесса.

В системах автоматического управления корреляционная функ­ ция стационарного процесса обычно аппроксимируется аналити­ ческим выражением одного из видов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ V L ( T ) = C e - ° N ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кл

(т) = Се—«1*1 cos рт,

 

 

 

 

 

 

Кх3

(т) =

 

C e - ^ i (cos Рт + ±

sin р | т |) .

 

 

 

Аналитическая структура моментов распределения стацио­

нарного

процесса

Х£

(t)

содержит

неизвестные

параметры tni =

=

МХ£

(t) и

qt,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q x

=

(С,

a)

(i

= 1), qf =

(С, а,

Р) (i

= 2,

3).

 

 

Однородные и изотропные поля. Случайную функцию, зави­

сящую

от многомерного аргумента, называют полем. Пусть

X

(0) —

случайное поле, где

в = ( 0 l t . . .,

вА ) — точка

^-мерного

пространства

0 . Если поле таково,

что математическое

ожидание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тх = МХ{Щ

 

 

 

(1.43)

постоянно для

всех 0,

а корреляционная

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

6/ )

=

M [ X ( 6 , ) - m , ] [ X ( e / ) - m , ]

У

(1.44)

зависит

только

 

от

вектора

0( / - =

0,- — 9,-, тогда X (9)

является

однородным

полем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для однородного поля допустимо осреднение по пространству.

Условия

эргодичности

поля

аналогичны

условиям

эргодичности

22

стационарного процесса, при этом достаточно потребовать убы­ вания корреляционной функции хотя бы вдоль одного вектора 6( / .

Спектральная функция sx (со) однородного поля определяется как обратное преобразование Фурье в ^-мерном пространстве от корреляционной функции Кх (8).

Поле X (9) является однородным и изотропным, если оно однородно, а корреляционная функция (1.44) зависит от длины би­ вектора 0^-, а не от его направления. Общий вид корреляционной функции однородного и изотропного поля дается выражением

Кх (6//) =

1 / - S i r J / * - 2

М

sx

(со) dco,

(1.45)

где I k-2 —-функция

Бесселя порядка

k ~ 2

;

sv (co)—спектраль-

пая плотность однородного и изотропного ПОЛЯ.

Начало разработки математической теории случайных полей принадлежит А. М. Обухову [20] и А. М. Яглому [18]. Анали­ тическая структура моментов распределения однородного и изо­ тропного поля определяется аналитической структурой либо спектральной плотности sx (со), либо корреляционной функции Kx (9t-/) - Для получения аналитической структуры спектральной плотности будем использовать дробно-рациональные функции

относительно

со аналогично тому, как это сделано для

спектраль­

ной плотности стационарного

процесса

 

 

Поля частного канонического вида. Рассмотрим случайное

поле

 

 

 

 

 

 

 

X(t, 6),

^ Т ,

в = (в1,

дк.г),

 

где 6(. £ 0 . (i

= 1,~ (k—

1)

—заданное множество.

 

Пусть математическое

ожидание

 

,

 

 

MX{t,

b)=mx(t,

 

6)

 

есть функция от аргументов t

и 9 t а корреляционная функция

М [X(tlt

6Х) - m x

(tu

6Х)] [X (t2,

G2) - m x (t2, 62)]

=

 

= Kx(tu

6 l f

t%, 02 )

 

зависит от аргументов tl t

8 l f

t2, 9 3

и при фиксированном значе­

нии 9 поле X (t, 9) является процессом непрерывным в среднем,

каноническое разложение которого

 

 

со

X(t, b) = mx(t, 6 ) +

(1.46)

где xv — ортонормированные случайные

величины, т. е. для них

выполнено

условие (1.11); функции

cov

(0) положительны для

всех v, 6;

cpv (t) — ортогональные на

Т

 

функции.

23

Из

теоремы Карунена

[23]

следует,

что разложение

(1.46)

имеет

место тогда и только тогда, когда

корреляционное

ядро

/СЛ- (^х,

Qj, t2,

6») при

фиксированных значениях 0 Х и 0 2

имеет

представление

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

Л% (/ ь 0 Ь

4,

0,) -

V ; p v ( <

l ) c M y .

(1.47)

Ограничимся первыми п членами в разложении (1.46), тогда при фиксированном значении 0 дисперсия остатка ряда в сред­

нем за

промежуток времени,

равный Т,

составит

величину

 

 

т

п

 

т

 

 

 

е„(0) = -у- J К*(*, 0, t,

0 ) Л - 2

Thiw

1

ф " (

0 ( I Л

8 )

 

6

v = i

v

о

 

 

 

При

известных значениях

Кх (tu 0 Ь

t2, б2 )

выберем

число

я

таким, чтобы оценка (1.48) для всех 0 не превосходила допусти­ мой величины. В этом случае корреляционная функция аппрок­

симируется

отрезком

ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KAtu

 

ol f

4,

6 a ) = V

-

 

1

 

. < М Ц с М Ц .

(1-49)

 

 

 

 

 

 

 

 

* — J

К 0)« (й, | 0)м (во)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = l

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналитическая

 

структура

 

моментов

распределения

поля

X (t,

9)

определяется

аналитической

структурой функций

mx (t, б), cov

(0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предположим, что функция mx (t, 0) суммируема с квадратом

относительно

t

и 0.

Аналогично соотношению

(1.14) получим, что

аналитическая

структура

функции

mx

(t,

0)

есть

 

 

 

 

 

>пх

(t,

 

0) =

*S

t

 

£

W

v

(0 h

 

 

(I-5 °)

где

Д, (t)

—

 

 

 

 

 

/ =

I v = l

ц = 1

 

 

 

T система

функ­

известная ортонормйрованная на

ций;

/ д (в,) —

известная

ортонормйрованная

на

0, система

функ­

ций;

bjvll

—

неизвестные

параметры;

i l t

i2

—

конечные

числа.

Аналитическая структура функций cov (0), являющихся не­ отрицательными, определяется, например, выражением (1.25).

Таким образом, для поля X (tlt

0)

неизвестные параметры

Чг — (со> • • •> с т .

£ ъ

• •-1 <§нг)

входят в аналитическую структуру моментов распределения. Аналитическая структура взаимных корреляционных функций.

Рассмотрим векторную случайную функцию X = (Хъ . . ., Х^, каждая из координат которой является либо процессом, либо полем. Если функция Кц (tlt t2) имеет свойства корреляционной функции одного из классов, тогда ее заданная аналитическая структура определяется структурой данного класса.

24

В качестве примера рассмотрим случай, когда Хр Х{ являются стационарными и стационарно связанными случайными процес­ сами. Функция, Кц (ti, t°) имеет аналитическую структуру, соответствующую классу стационарных процессов-, Пусть априор­ ные сведения о принадлежности взаимной корреляционной функ­ ции к одному из классов отсутствуют. Для определения аналити­ ческой структуры взаимной корреляционной функции Кц (tj, t2) используем как канонические, так и неканонические разложения функций.

Пусть, например, каноническое разложение функций есть

 

 

 

 

 

со

 

 

'

Xl(t)

= ml(f)+yXv^M,

 

(1.51)

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

Xi(t)=mi(t)

+

Vyv^M,

 

(1.52)

 

 

 

 

 

~ 1

V a>vh

 

где каждое из множеств

{xv }, \yv\

состоит из ортонормированных

величин; cov / , <ovy- —

собственные

числа

корреляционных

функ­

ций Ки {tx, t2),

Кц

{tx,

 

t2).

(1.51),

(1.52) конечным

числом

Ограничимся

в разложениях

членов разложения, равным соответственно р и s. Дисперсия ошибки такой аппроксимации при известных значениях корре­ ляционных функций дается соотношением (1.12). Тогда аналити­ ческая структура взаимной корреляционной функции опреде­

ляется

выражением

 

 

 

 

да / S i

V ^v-i

 

где cpv

(t),

(t) — известные

системы функций;

Мх^у^—не­

известные параметры; coVl-, сод у—известные собственные числа,

если

только

известны

значения корреляционных

функций

Кц (tlt

t2),

Кц

(tj., t2),

в

противном

случае

собственные

числа

неизвестны.

 

 

 

 

Размерность

неизвестного

параметра,

среднеквадратический

критерий точности оценивания. Оценка точности аппроксимации моментов распределения случайной функции фукциями аналити­ ческой структуры давалась в предположении, что моменты распре­ деления данной функции известны. Исходя из точности, предъ­ являемой к оценке аппроксимации момента распределения функ­ циями аналитической структуры, определялась размерность не­ известного параметра, входящего в аналитическую структуру момента распределения.

Определим размерность неизвестного параметра q, входящего в аналитическую структуру момента распределения в том случае, когда моменты распределения первых двух-порядков неизвестны,

25

Смотрите также файлы