Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.07.2024

Просмотров: 76

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Обозначим

через

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х0

(t) =

 

X(t)

—

тх

(t) — Х(0)~

тх

(0),

 

 

 

 

 

 

 

 

/1

t

 

 

 

 

 

 

 

 

Л п ( 0 =

2

xv\

<pv(s)dn(s),

 

 

 

 

 

 

. er t (0

=

М

2 J

* v j

%(s)d[i (S) ;

 

 

 

Для

величины

e„ (t),

lv=«-|-l 0

 

J

 

остатка

характеризующей

дисперсию

ряда в

разложении

(1.22),

имеем

следующую

оценку

сверху:

 

е„ (0 < MXl(t)

+

Mtfn

(t) +

2 VMXl{t)M,fn(t).

 

 

(1.23)

Для

известных

моментов

распределения

тх

{t), Кх

(tlt

t2)

правая часть неравенства (1.23) вычисляется и можно указать число членов в разложении (1.22), при котором значение е„ (t) не превосходит допустимой величины. Заметим, что величина е„ (t) может с течением времени лишь возрастать.

 

Предположим, что функция Кх {t,

t)

абсолютно непрерывна,

тогда по теореме Радона—Никодима

[16] имеет

место-интеграль­

ное

представление

вида

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

Kx(t,t)=\F(x)dx,

 

 

 

(1.24)

 

 

 

о

 

 

 

 

где

F (т) —

положительная функция

для

всех т,

0 ^ т ^

t.

 

Отсюда

следует,

что для определения

аналитической

струк­

туры дисперсии процесса, имеющего независимые приращения, достаточно определить аналитическую структуру функции F (т). Аналитическая структура положительных функций рассматри­ вается при построении и изучении свойств ортогональных много­

членов

(см., например,

[19]).

 

В качестве примера аналитической структуры функции F (т)

приведем

неотрицательный

тригонометрический многочлен

 

 

 

 

т

 

 

 

^ (т) = с0

+

S (cv cos vx -|- gv sin vx),

(1.25)

где c0,

cv,

gv — неизвестные коэффициенты.

 

Заметим, что выбор той или иной аналитической структуры

функции

F (т) зависит

как от точности аппроксимации,

так и

от тех требований, которые предъявляются к алгоритму решения. Заданная аналитическая структура математического ожидания

tnx(t)

определяется соотношением

(1.14).

 

Таким образом, для процесса, имеющего независимые прира­

щения,

неизвестные параметры q x =

{Ьъ . . . , & * ) , q 2

= {со, • • •,

спи gi>

• • •> gm) входят в аналитическую структуру

моментов

распределения.

Процессы с независимыми приращениями в применении к за­ дачам автоматического управления рассматривались, например, в работах [23, 24]. Однако, несмотря на большую прикладную роль, эти процессы почти не использовались в задачах управле­ ния, связанных со статистическим оцениванием и идентифика­ цией. Исключение составляют лишь работы [26, 27].

Процессы, являющиеся мартингалами. Свойства процессов данного класса определяются через условные математические

ожидания.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

временную

 

последовательность

(1.15),

процесс

X (t)

и вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условное

 

 

v M =

ожидание

* ( ' м ) ) -

 

(t) при

 

математическое

процесса

X

t ^ tj

относительно

уу _х

определяется

как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М [X (0 | v M

] =

\ хр (х | v M )

dx,

 

(1.26)

 

 

 

 

 

 

 

—со

 

 

 

 

 

 

где р

(х | v,-_i)

—

условная

плотность

 

вероятности

 

 

 

 

 

D ( X \ V

.

Л —

Р

(*'

v / - i )

 

 

 

 

 

 

 

PV\v,-i)

 

 

p ( v /

_ i } •

 

 

 

В

силу

того,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МР

(х | v M )

=

р

(х),

 

 

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M{M[X(f)\v,_1]\

 

=

MX(t).

 

 

(1.27)

Если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M[X(t)\yi.1}=X(ti_1),

 

 

 

 

 

(1.28)

тогда процесс X (t) является мартингалом в узком смысле.

Если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U ( X ( * / ) | v M )

=

X ( * M ) ,

 

 

(1.29)

тогда процесс X (t) является мартингалом в широком смысле.

Здесь М есть

наилучшее

линейное приближение

величины

X (tf) величинами

X (tc) (L =

1, (/ — 1)), полученное

по методу

наименьших квадратов, т. е. требование (1.29) сводится к выпол­ нению условия

min М * ( ' / ) - ' S

 

2

 

atX(tt)

M [ X ( * / ) - X ( * M ) ] a ,

(1.30)

где величина минимума берется по всему множеству вещественных чисел.

Будем использовать следующие свойства процессов.

18

1. X

(t)

является

мартингалом

в

широком

смысле

тогда и

только

тогда,

когда

разность

X

(tj) —

X

(t/^)

ортогональна

значению X

(^), где

tt ^

tj_x.

 

 

что

 

 

 

 

Условие

ортогональности означает,

 

 

 

 

 

 

 

 

M[X(t,)-X(t,_J]X

 

 

(*,)

=

0,

 

 

(1.31)

Из соотношений (1.17),

(1.18),

(1.31) следует,

что

 

 

 

ч МХг

(tx)

< MX2 (fa ) < . . .

<

M X 2 {ts).

 

(1.32)

Если

значение

MX

(t)

постоянно для

всех

t,

то из

условия

(1.32) следует,

что

дисперсия процесса

X

(t)

не убывает

с возра­

станием времени.

2. Если X (t) нормально распределен, то он является мартин­ галом одновременно в узком и широком смысле. В этом случае

будем

говорить,

что

процесс является мартингалом.

3.

Если X (t)

 

мартингал в

узком смысле, то его математи­

ческое

ожидание

постоянно для

всех

t.

 

Действительно, в силу (1.27) имеем

 

 

М\М[Х

(t,) | v M ] } = MX

(tj) = MX

(thl).

Систематическое изложение процессов, являющихся мартин­ галами, а также доказательство свойств 1 и 2 содержится в [11].

Пусть X (t) — нормальный процесс, являющийся мартингалом. Составим разности

Yti = X(t,)-X(ti),

t t < t h

(1.33)

(i, j =

171).

 

1. Если разности (1.33) имеют нормальный закон распределе­ ния, тогда из условия (1.31) следует, что X (t) является процес­ сом с независимыми приращениями.

2. Если разности (1.33) имеют распределение отличное от нормального, тогда X (t), являясь мартингалом, не имеет неза­ висимых приращений. Однако и в данном случае корреляционная функция процесса полностью определяется его дисперсией. Дей­

ствительно,

при

условии

(1.20)

имеем

 

 

Кх (/„• t}) =

М[Х

(tt)

-

тх]

[X (/,) -

X ft) + X (tt)

-пгх] = Кх

(tt, tt),

причем функция Кх

(tt,

tt)

не убывает с ростом значений i.

(1.22),

Для процесса

имеет место каноническое

разложение

при этом сохраняется оценка (1.23). Заданная аналитическая Структура дисперсии дается соотношением (1.24).

Если X (t) имеет распределение отличное от нормального, то в рамках корреляционной теории случайных функций интерес представляют процессы, являющиеся мартингалами в широком смысле.

2*

19

Пусть X (t) — мартингал в широком смысле. Заметим, что момент МХг (t) удовлетворяет соотношению (1.32).'При усло­ вии (1.20) корреляционная функция равна

Кх

(th

tj) =

MX2

(tt) -

m , (*,) mx (tj).

Положим j-i (t)

=

MX2

(t),

тогда

для процесса X (t) канони­

ческое разложение дается выражением (1.22), при этом сохра­ няется оценка (1.23).

При определении аналитической структуры моментов распре­ деления заметим, что если математическое ожидание является функцией суммируемой с квадратом, то его аналитическая струк­ тура определяется соотношением (1.14). Если момент M X 2 (t) является абсолютно непрерывной функцией, тогда имеет место интегральное представление

. t

MX2(t)

= j F{x)dx,

(1.34)

 

о

 

где F (т) — неотрицательная

функция.

 

Таким образом, случайные процессы, являющиеся мартинга­ лами, имеют в рамках корреляционной теории случайных функ­ ций общие свойства со случайными процессами, имеющими неза­ висимые приращения.

Стационарные процессы. Рассмотрим процесс X (t). Опреде­

лим моменты (1.2), (1.3). Если значение mi

(t)

является

постоянной

величиной, а корреляционная функция Ки

(tlt t2)

для

любых

значений tl t t% зависит только

от разности

т =

t2

—

t u

тогда

X,- (t) является стационарным

случайным

процессом;

 

если

ана­

логичным свойством обладает функция

КП-

(tlt

t2),

то

X

(t)

яв­

ляется стационарным и стационарно связанным случайным про­ цессом.

Стационарный процесс X (t) удовлетворяет условию эргодич­ ности, если для любой его реализации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

шх

=

MX(t)

=

lim

4r \ X(/) dt,

 

(I.'35)

 

 

 

 

 

 

Т

 

Т->со

1

0J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кх

(т) =

l i m 4 "

[ IX (t) — mx]

[X {t +

т) — mx] dt.

 

(1.36)

 

 

 

Г->оо 1 0 J

 

 

 

 

 

-

 

 

Условие

(1.35)

будет

выполнено,

если

функция Kx(t)

—»0

при [ T J ^ - > O O .

Условие

(1.36)

выполняется,

если аналогичным

свойством

обладает

момент

второго

 

порядка процесса

X

(t -+-

+ т) X (t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для стационарного процесса имеют место следующие разло­

жения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Каноническое

разложение:

 

 

 

 

 

X (t) =

mx

+

£

(xv

cos avt

+ yv

sin avt),

oov =

,

(1.37)

 

 

 

 

v = l

 

 

 

 

 

 

1

 

 

20

Смотрите также файлы