Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.07.2024
Просмотров: 112
Скачиваний: 0
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
•
ЧЕЛЯБИНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
•ИМЕНИ ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА
H. М. П И С А Р Е В , С. И. Л У Ч И Ч , Г. П, К О Н С Т А Н Т И Н О В
ЭЛ Е М Е Н Т Ы
КВ А Н Т О В О Й М Е Х А Н И К И
ИС Т А Т И С Т И Ч Е С К О Й
Ф И З И К И
Одобрено методической комиссией энергетического факультета
Ч Е / І Я Б И Н С К - 1 9 7 3
: *<0 KJlV" - S'-.-:.:;:
' ? 3 - 3 3 3 & 3
ОТ АВТОРОВ
Программы по курсу общей физики для технических вузов предусматривают ознакомление студентов с некоторыми глава ми современной физики: квантовой механикой, теорией относи тельности, статистической физикой и рядом других разделов. В большинстве рекомендованных учебников эти темы изложены довольно схематично, а в специальных пособиях — слишком сложно.
Авторы учебного пособия стремились дать простое, но достаточно полное и последовательное изложение некоторых «хрестоматийных» сведений из квантовой механики и статисти ческой физики, надеясь, что оно окажется подспорьем в работе как студентов, так и преподавателей. Для читателей, желаю щих познакомиться с предметом более основательно, предла гается список литературы.
Авторы выражают признательность А. Н. Волошинскому за ценные указания и советы.
/^ЧЕЛЯБИНСКИЙ
ѵѵ/ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ИНСТИТУТ и м е н и ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА
ЛСОМОЛА
1 9 7 3
ИСТОРИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ РАЗВИТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Общие сведения
В н а ч а л е второй половины прошлого века английский физик Д . М а к с в е л л , опираясь на созданную им теорию электромагне тизма, пришел к выводу, что свет -— это процесс распростране
ния колебаний |
электромагнитного поля. Теория |
М а к с в е л л а хо |
рошо о б ъ я с н я л а |
волновые свойства света: дисперсию, поляриза |
|
цию, интерференцию, д и ф р а к ц и ю . |
|
|
В тот период |
(1859—61 гг.), когда М а к с в е л л |
з а в е р ш и л изыс |
кания в области электромагнетизма, немецкий ученый Г. Кирх
гоф п о л о ж и л начало р а б о т а м по исследованию |
равновесного |
|||||||||||||||
излучения |
нагретых тел. Он открыл закон, |
с в я з ы в а ю щ и й испус- |
||||||||||||||
кательную |
способность г с поглощательной |
|
а. О к а з ы в а е т с я , |
их |
||||||||||||
отношение |
не зависит от природы тел и является |
универсальной |
||||||||||||||
функцией от длины волны X и температуры |
Т, которая |
по смыс |
||||||||||||||
лу есть |
не |
что иное, к а к испусхательная способность |
абсолютно |
|||||||||||||
черных |
тел |
ехт: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A T" |
|
|
|
|
|
|
|
( О |
|
О д н а к о |
в |
законе К и р х г о ф а функция |
ехт |
о с т а в а л а с ь |
неопреде |
|||||||||||
ленной, |
и |
ее |
нахождение |
о к а з а л о с ь |
чрезвычайно |
в а ж н о й |
зада |
|||||||||
чей теории |
и э к с п е р и м е н т а . - П е р в ы й |
опыт |
по |
исследованию |
рас |
|||||||||||
пределения |
энергии излучения |
черных |
тел |
по |
X провел |
в 1886 |
г. |
|||||||||
ученый |
Лэнглей, |
использовав |
д л я |
этого |
с а ж у ; позднее |
более |
||||||||||
т щ а т е л ь н ы е исследования провели |
Рубенс |
|
и К у р л ь б а у м . |
Н а |
||||||||||||
рис. 1 сплошными линиями представлена |
зависимость |
ехт |
от X |
|||||||||||||
и Т. О п и р а я с ь на |
эти |
экспериментальные |
д а н н ы е |
и з а к о н ы |
тер |
|||||||||||
модинамики, |
ученые |
Вин, |
Стефан |
и Б о л ь ц м а н |
открыли |
р я д |
1* |
3 |
условий, которым |
д о л ж н а |
подчиняться |
функция |
ехт- |
Вин |
уста |
||||||||||||||
новил, что длина |
волны |
излучения, |
соответствующая |
|
максимуму |
|||||||||||||||
е хт, обратно пропорциональна |
абсолютной |
температуре |
черного |
|||||||||||||||||
тела: |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = |
Н_, |
b =2,8978-10"' град- |
[м*. |
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||
Стефан и Б о л ь ц м а н определили интегральную |
излучательную |
|||||||||||||||||||
способность тел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = J ехтсІА = |
аТ4 , |
а = |
5,6697- Ю ~ 8 вт/м2-град. |
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О д н а к о в ы р а ж е н и я |
(2) |
и |
(3) |
еще |
не |
определяют |
однозначно |
|||||||||||||
ехт. Д е т а л ь н ы й |
вид функции ехт |
м о ж н о найти, |
исходя из |
физи |
||||||||||||||||
ческих законов, |
известных |
науке |
того |
времени, |
т. е. |
главным |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о б р а з о м |
из законов |
механи |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ки |
Ньютона, |
электромагне |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т и з м а |
и |
статистики |
Б о л ь ц - |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мана — М а к с в е л л а , |
которые |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принято |
н а з ы в а т ь |
классиче |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скими. |
|
Н а и б о л е е |
|
строгую |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
попытку в этом направлении |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предпринял |
|
английский |
фи |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зик Рэлей, теоретически по |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лучивший |
кривую |
|
испуска- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельной способности |
черного |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тела. |
В |
области |
|
длинных |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
волн |
к р и в а я |
с о в п а д а л а |
с |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
экспериментальной, |
в |
обла - |
|||||||||
|
Рис. |
|
|
|
|
|
ти |
коротких — резко |
с |
ней |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р а с х о д и л а с ь |
(на рис. 1 |
кри |
|||||||||
в а я Р э л е я частично |
и з о б р а ж е н а |
пунктиром) . Б о л е е |
того, |
в |
ко |
|||||||||||||||
ротковолновом |
участке |
теория |
Р э л е я |
д а в а л а |
результат |
|
явно |
|||||||||||||
противоречивый |
|
опыту: е х т ^ °°, |
если |
Х - >0 . Эту |
|
ситуацию |
||||||||||||||
ученые образно |
н а з в а л и ультрафиолетовой |
катастрофой . |
|
|
|
|
||||||||||||||
С |
точки зрения |
классической теории |
р а с с у ж д е н и я |
|
Р э л е я |
|
бы |
ли абсолютно верными, но поскольку они расходились с экспе
риментом, то единственно р а з у м н ы |
й вывод, вытекавший |
отсюда, |
гласил: классическая физика не в |
состоянии объяснить |
з а к о н ы |
теплового излучения. В физике н а з р е в а л кризис. |
|
* Здесь и далее значения физических постоянных указаны по современным данным.
4
В 1900 г. немецкий ученый М. П л а н к |
п р е д л о ж и л |
свою |
фор |
||||||||||||
мулу дл я ехт- |
|
|
2uhc2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(4) |
||||
|
|
|
|
|
ехт = — — - • — |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
\Ъ |
he |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
„ X k T |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где с — скорость |
света в вакууме, р а в н а я |
2,997925- |
108 |
|
м/сек; |
||||||||||
к — постоянная |
Б о л ь ц м а н а , |
р а в н а я |
1,38054 • Ю - 2 |
3 |
дж/град; |
||||||||||
h — новая |
универсальная |
постоянная |
природы, |
открытая |
|||||||||||
П л а н к о м и |
н а з в а н н а я им квантом действия. Первое |
численное |
|||||||||||||
определение |
этой |
постоянной д а л сам |
П л а н к . |
4 дж.сек. |
|
|
|||||||||
П о |
современным |
измерениям |
h = 6,6256 • Ю - 3 |
|
Фор |
||||||||||
мула |
П л а н к а |
совершенно точно |
соответствовала |
ходу экспери |
|||||||||||
ментальной |
кривой. |
О д н а к о |
П л а н к |
|
выяснил: физическая |
пред |
|||||||||
посылка, на |
основе |
которой |
получен |
его |
закон, |
ч у ж д а |
класси |
ческой физике, ибо приходилось допустить, что испускаемая
нагретыми телами энергия уносится не непрерывным |
потоком |
|||||||
волн, а в виде |
отдельных порций -— квантов или иначе — фото |
|||||||
нов, |
причем энергия одного |
фотона |
определяется |
в ы р а ж е н и е м |
||||
|
|
|
e = |
hv, |
V = |
1 |
|
(5) |
где |
ѵ — ч а с т о т а |
излучения. |
|
|
|
|
|
|
Вскоре после открытия |
П л а н к а |
идея |
квантов была использова |
|||||
на А. Эйнштейном дл я |
объяснения фотоэффекта, |
суть |
которого |
|||||
заключается в вырывании электронов с поверхности |
проводни |
|||||||
ков |
под действием света. И |
здесь о б н а р у ж и л а с ь |
несостоятель |
ность классической физики. Эйнштейн применял к этому про
цессу закон |
сохранения энергии, учтя квантовую структуру об |
|||
л у ч а ю щ е г о |
света: |
|
|
|
|
Ь = А 0 + ^ . |
|
(6) |
|
Энергия фотона h v идет на совершение работы |
выхода электро |
|||
на Ао и на сообщение ему кинетической энергии |
- ^ — . |
|||
Ф о р м у л а |
(6) просто и верно истолковывала |
все в а ж н ы е осо |
||
бенности фотоэффекта . К тому |
же , н а р я д у |
с законом излучения |
||
М. П л а н к а , |
она п р е д с т а в л я л а |
прекрасную |
возможность дл я оп |
ределения вновь открытой константы h. Вычисленная из уравне
ния (6) h |
хорошо |
согласовывалась с |
результатом, полученным |
|
П л а н к о м . |
|
|
|
|
И т а к , |
в конце |
X I X века |
были открыты дв а явления, которые |
|
с необходимостью |
вели к |
заключению |
о том, что энергия излу- |
5
чения не |
« р а з м а з а н а » по всему пространству, к а к |
того |
требова |
||
л а волновая |
теория, но л о к а л и з о в а н а в отдельных участках про |
||||
странства |
в |
виде порций — фотонов. Т а к а я |
л о к а л и з а ц и я |
энергии |
|
присуща |
по |
классическим представлениям |
только |
частицам — |
корпускулам, поэтому с момента открытия П л а н к о м квантов энергии стало ясно, что в явлениях теплового излучения и фо
тоэффекта свет о б н а р у ж и л корпускулярные свойства. Эти |
свой |
ства не исчерпываются одной л и ш ь л о к а л и з а ц и е й энергии; |
к а ж - |
Рис. 2
дой частице присущи еще определенная масса и импульс. Есте
ственно, возник вопрос о том, |
чему |
р а в н ы и эти |
корпускулярные |
|||||||||
п а р а м е т р ы |
для |
световых |
фотонов. |
Ответ |
был |
у к а з а н |
теорией |
|||||
относительности, |
созданной в |
н а ч а л е |
нашего века одним из ве |
|||||||||
ликих физиков А. Эйнштейном. Согласно Эйнштейну |
энергия |
|||||||||||
тела определяется его массой m: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Е |
= |
т с 2 . |
|
|
|
(7) |
|
С другой стороны, энергия равна h v ; приравнивая эти |
в ы р а ж е |
|||||||||||
ния, найдем |
массу |
фотона, |
а |
после |
умножения |
на с — и его им - |
||||||
-> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пульс |
р: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щ = |
|
- = |
к |
Pf = |
у- = |
г- к; |
к = |
(8) |
||
|
|
|
Са |
V |
|
|
А |
|
2тс |
|
А |
|
Здесь |
к — волновой |
вектор. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
В 1923 г. американский физик Комптон поставил опыт, пол |
||||||||||||
ностью |
подтвердивший |
всю |
совокупность |
корпускулярных |
||||||||
свойств света. П р и н ц и п и а л ь н а я схема |
опыта Комптона |
п о к а з а н а |
6
на |
рис. |
2. |
И з рентгеновской |
трубки Р |
идет поток |
фотонов с |
||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
A s |
1 А. Д и а ф р а г м о й |
Д из этого потока |
вырезается |
узкий луч, |
||||
который |
н а п р а в л я е т с я |
на кристалл с относительно м а л ы м |
атом |
|||||
ным весом |
частиц, например |
алюминий . |
Рентгеновские |
фотоны |
упруго взаимодействуют с электронами атомов. В результате
уменьшается их энергия и изменяется первоначальный |
импульс, |
||||||||||||||||||
соответственно изменяется энергия и импульс выбитых |
из |
ато |
|||||||||||||||||
мов электронов . Спектрометр Брэгга |
Б |
измеряет |
длину волны |
||||||||||||||||
рассеяных |
фотонов |
Я/ и |
угол |
рассеяния ф. Эксперименты |
пока |
||||||||||||||
зали, что разность %' и X |
(К — длина |
волны |
до рассеяния) |
дает |
|||||||||||||||
ся в ы р а ж е н и е м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
> / - X = 2 A 0 s l n 2 | . |
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
Л 0 = 0,0241 А — постоянная |
Комптона, |
которая, |
ка к |
ока |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
залось, не зависит от рода |
рассеивающе |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
го вещества . Чтобы объяснить |
в ы р а ж е н и е |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(9), Комптон использовал з а к о н ы сохра |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
нения |
|
энергии |
и импульса |
с у ч е т о м , э ф |
||||||||||
|
|
|
|
|
фектов теории относительности. К р о м е |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
того, |
он учел |
корпускулярные |
свойства |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
света. |
Уравнения |
Комптона |
имели |
|
вид: |
||||||||
|
|
|
|
|
hv -|- m 0 c 2 = W -f- me2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
^с |
+ |
0 = ^с' + m " |
|
|
|
|
|
|
(10) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первое |
уравнение |
(10) |
в ы р а ж а е т |
закон |
сохранения |
энергии, |
|||||||||||||
причем |
т 0 |
с 2 |
— энергия |
покоя |
электрона, |
а |
т с 2 — энергия |
элект |
|||||||||||
рона |
после |
взаимодействия |
с фотоном. Второе уравнение |
выра |
|||||||||||||||
ж а е т |
закон |
сохранения |
импульса . В этом |
|
уравнении |
Комптон |
|||||||||||||
пренебрег |
импульсом |
электрона |
до |
соударения, |
ибо |
скорость |
|||||||||||||
д в и ж е н и я |
|
электрона |
в |
атоме |
много |
м е н ь ш е |
|
с |
(порядка |
||||||||||
100 |
|
км/сек). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Совместное решение |
уравнений (10) |
объясняет |
ф о р м у л у |
(9), |
|||||||||||||||
и это |
объяснение |
исчерпывающим |
образом |
п о д т в е р ж д а л о |
все |
корпускулярные свойства света. Описанные факты, казалось,
привели |
к н |
е р а з р е ш и м о м у |
парадоксу: с |
одной стороны, такие |
явления, |
ка к |
интерференция |
и д и ф р а к ц и я , |
говорили о волновой |
7