Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

n<p_D =

f<i>-D=

— .

(317)

e »

+

1

Функция

(317) называется распределением

Ферми — Д и р а ­

ка. Химический потенциал

р 0 , входящий

в в ы р а ж е н и е (317), по­

лучил особое

название — энергетический

уровень Ферми, или

имеет

четкий

физический

смысл — это

верхний

предел

энер­

гии

фермионов . Действительно,

если

•&

— 0,

а

ек >

и.о.

то

е

*

-> оо,

a

іф-г> =

0.

Это означает, что состояние с энергией

б о л ь ш е цо невозможно . С другой

стороны, если •& =

0, а е >

ро, то

іф-в

=

1. Следовательно,

энергия

при абсолютном

нуле

л е ж и т

в

пределах 0

ц0.

Н а к о н е ц ,

определим

среднее

число

бозонов в состоянии

с

з а д а н н ы м

значением

энергии. С н а ч а л а

подсчитаем

термодина -

мический

потенциал.

Введя

обозначение e

ô

=

q,

перепишем

ф о р м у л у

(299)

в тако м виде:

П = оо

Qk = — & l n £ q V =

—

ftln[l+q+

. . . +

q n

+

. . . ] .

(318)

nk=0

С у м м а

под

знаком

л о г а р и ф м а - — г е о м е т р и ч е с к а я

прогрессия.

Ч т о б ы

получить

физически осмысленное

значение

Qk, мы

д о л ж -

оо

ны

потребовать

сходимости

^

Q"k Д л

я

в с е х

значений

энергии

о

ек,

включа я

0.

Математически

это

возможн о

л и ш ь

при

q =

e 9

<

1,

а

это возможно,

если ц0

0. Т а к и м

образом,

2 q n '

= 1 ^

= ГГ7 ;

2 k = *

l n ( l

- e ~ ) .

(319)

п,=0

Среднее число

бозонов

согласно

в ы р а ж е н и ю

(311)

F B - 9 = f B - 3 =

^

^

(320)

е

&

_ 1

Это и есть

распределение

Б о з е — Эйнштейна .

Графически

все

три распределения при абсолютном нуле

и з о б р а ж е н ы на рис. 37.

Отметим одно в а ж н о е свойство

квантовых

распределений:

если

физические

условия таковы, что

ч л е н е

»

»

1 в ф о р м у л а х

(317)

и (320), то

распределения

Ф е р м и — Д и р а к а

и

Бозе — Эйнштей-

fo

С

Рис.

ЗІ

на

практически

совпадают

с

классическим

распределением

М а к с в е л л а — Б о л ь ц м а н а . В самом деле,

при

» 1

1

=

f М-Б -

О

*

± 1

Ч т о б ы подсчитать полное число частиц N , нужно

просуммиро­

вать соответствующие распределения по всем

значениям

энер­

гии. Д л я дискретного

спектра

энергии

гіЕг...

е п

N==

^ '

е

л

»

± 1

,

или N =

S -

*

.•

(321)

. -

:

> ; е

Если спектр

сплошной

или

почти

сплошной, то

число

частиц в

з а д а н н о м интервале состояний аГ паТ

=

f d r ,

a

во всем

фазо ­

вом

объеме

N

=

J î d r ,

(322)

г

где

f — то или иное

распределение.

О б ы ч но

полное

число частиц

известно з а р а н е е

из других со­

о б р а ж е н и й ,

а не по ф о р м у л а м

(321) и (322). В

таком

случае

оба эти в ы р а ж е н и я

с л у ж а т дл я определения

числового

значения

химического

потенциала .

Применительно

к квантовомеханическим

з а д а ч а м в ы р а ж е н и е

га

э л е м е н т а р н ы й

объем

одной

частицы

в ^.-пространстве

ApoxApoyApozAxoAyoAz0

= h 3 = Д Г 0 . П о этой

причине

фазовый

объем в квантовой механике измеряют

в б е з р а з м е р н ы х

едини-

,„

dr„drv

, р drpdr,-

цах

а Г—

!:

і_

в

частности в

и. — пространстве

а Г = — •

L

dr0

'

r

r

h 3

К р о м е сказанного,

в в ы р а ж е н и и

(322)

надо

учесть

еще

один

фактор . К а к

известно,

фазовый

объем

Г определяется

через

обобщенные координаты

и импульсы,

но элементарные

частицы

о б л а д а ю т

ещ е

одной

степенью

свободы — спином,

и,

чтобы

учесть эту внутреннюю

координату,

в ф а з о в ы й

объем

вводят

поправочный м н о ж и т е л ь

g,

который

н а з ы в а ю т коэффициентом

в ы р о ж д е н и я .

Н а п р и м е р ,

для электронов g =

2.

Это

говорит

о

том, что спин

электрона

имеет две проекции. Учитывая

все из­

ложенное,

имеем

N ^ ^ j J f d r p d V ^ ^ v J f d f p .

(323)

V

Основной

числовой

характеристикой

количества

частиц

являет ­

ся

концентрация

п 0

=

—, поэтому

целесообразно

ввести

ее

в

в ы р а ж е н и е (323) в явной

форме:

" î d r p .

(324)

Наконец,

если

интервал

состояний

d r

з а д а н не в импульсном,

а

в энергетическом

представлении,

то учитывая,

что d f p

=

дГр<ЭГр

- ïp - d е,

получаем

дЕ

n^w)idéé"

= w)p^ds

L p ( £ ) = = f ^}

( 3 2 5 )

ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Р а с с м о т р и м приложение

квантовой

статистики

к

излучению

Х а р а к т е р н а я особенность фотонного

газа

состоит в том, что

при взаимодействии с

веществом

фотоны

могут р о ж д а т ь с я

и

уничтожаться,

поэтому

число фотонов

в

заданном

объеме,

а

вместе

с тем и

ц0, не определены

и д о л ж н ы

быть

найдены

из

условия

равновесия. К а к известно,

при

равновесии

термодина ­

частности, свободная энергия

F

минимальна . В ы р а ж а я

условие

минимума при фиксированных

значениях Û и V, имеем

- т

^

-

=

^о =

0.

(326)

d n

( » , V)

Т а к и м

образом,

химический

потенциал

фотонов

равен

нулю.

З н а я

все перечисленные

свойства

фотонов, легко

найти

ос­

новные

статистические законы черного излучения. Среднее

чис­

л о фотонов в состоянии с

з а д а н н ы м

значением энергии

e =

h v

согласно

ф о р м у л а м (320)

и

(326)

пЕ

=

- — - — .

(327)

e t T

- 1

Умножив

это равенство на энергию фотона hv, на

коэффициент

в ы р о ж д е н и я g =

2 и на элемент фазового

объема

- 4 л р d p - dV =

h 3

—

,

получим энергию

излучения

в интервале

частот

d v

с 3

вблизи

заданной

частоты

dEvT =

—

—

dvdV.

(328)

c3(ek T

— 1)

Величина

рѵ т, р а в н а я энергии

излучения

в единичном

объеме и

И з ф о р м у л ы

(328) дл я

рѵ т получается

следующее

в ы р а ж е ­

ние:

dE, T

—

8*h3

•

(329)

Р<т - т ^ Г =

ь

dvdV

с з ( e k T

_

1)

Ф о р м у л а (329)

называется

законом

М.

П л а н к а .