Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

ции

и интерференции.

Этот

вывод

о к а з а л с я

п р а в и л ь н ы м .

В

1927—28 гг. Дэвисон и

Д ж е р м е р ,

а

несколько

п о з ж е

Томсон

открыли д и ф р а к ц и ю электронов . Это явление хорошо

н а б л ю д а ­

ется, если X сравнима с периодом

решетки

d. Учитывая

извест­

ную

массу покоя

электрона

( т 0 =

9,1 • Ю - 3

1

кг)

и его

скорость

по ф о р м у л е де Б р о й д я , м о ж ­

но оценить длину электрон ­

ных волн. Величина К о к а з а ­

л а с ь

равной приблизительно

о

1 А. Следовательно,

н а б л ю ­

дение д и ф р а к ц и и

электронов

можно осуществить с по­

мощью

кристаллических

ре­

шеток

с

периодом

того

ж е

порядка . Н а рис. 3 представ ­

Рис. 3

лена

принципиальная

схема

опыта Томсона. Из электрон ­

ной

пушки

вылетает

поток

электронов, ускоряемый

электростатическим

полем

с

н а п р я ж е ­

нием U . Серия д и а ф р а г м

вырезает из этого потока узкий луч, на­

п р а в л я е м ы й на поликристаллическую

пленку. З а пленкой

распо­

лагается индикатор, им может быть цилиндр

Ф а р а д е я (так было

в оригинальных

опытах

Д э в и с с о н а — Д ж е р м е р а ) ,

фотопленка

или

сцинцилляционный экран . П р о ш е д ш и е

электроны

о б р а з у ю т

ческих

колец, угловые радиусы которых равны 2 -fr, где Ѳ опреде­

ляется

законом

В у л ь ф а — Бреггов:

2d sin & = nX(n =

1,2,3,...).

(18)

Д л я

проверки гипотезы де Б р о й л я вначале

необходимо най-

ти

значение К из

в ы р а ж е н и я (18),

а затем по

ф о р м у л е

Я = _

Р '

В этом опыте импульс р легко определить из

закона

сохране -

ния

энергии: eU =•2 т 0

, где eU — работа электростатического по-

л я :

2 т п

кинетическая энергия электрона . Таким образом,

(19)

Значения К, вычисленные по ф о р м у л а м (18) и

(19), совпадают .

микрочастиц проводились много раз, и все они д а л и

положи ­

тельной

результат .

Следовательно,

в ы ш е у к а з а н н ы е

закономер ­

ности м о ж н о считать

справедливыми д л я л ю б ы х

частиц.

СМЫСЛ ^-ФУНКЦИИ.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА БОРНОМ ВОЛН ДЕ

БРОЙЛЯ

В классической

физике волновой процесс — это

распростра ­

нение колебаний частиц среды, например воздуха.

Естественно,

возникает вопрос о том, какой

ж е смысл волны де

Б р о й л я .

В н а ч а л е было высказано предположение, что

к а ж д а я

части­

ца суть

суперпозиция

волн де

Б р о й л я с различными

гро и

к, так

н а з ы в а е м ы й волновой

пакет:

f ( U ) =

j

Ф о к в - ч - * - ^ d k ;

" = y E ]

k

= l T -

( 2 0 )

k0 -4k0

Поводом д л я такой

трактовки

послужили д в а

обстоятельства:

во-первых,

согласно

ф о р м у л е

(20),

варьируя

-фок

и

к,

м о ж н о

подобрать

пакет,

по

форме и р а з м е р а м с о в п а д а ю щ и й

с таковы -

Рис. 4

Рис. 5

ми д л я заданной частицы

(рис. 4) . Во-вторых, оказалось, что

центр группы д в и ж е т с я со

скоростью, равной скорости частицы.

тір2

h

. ,

do)

hk

p

ш =

— v -

=

k~, так что —

=

• — —

=

— = V,

hm0

4rcm0

dk

2rcm0

m 0

где V —-скорость частицы.

И т а к , пакет

м о ж е т

иметь

р а з м е р ы ,

форму

и

скорость соот­

ветствующей

частицы.

Если

бы частица

была

тождественна

пакету, то легко было бы понять, почему

она о б л а д а е т

волно­

выми свойствами. И все

ж е эта

гипотеза

о к а з а л а с ь

несостоя­

тельной

по

ряду очень

в а ж н ы х

соображений . Волны

де

Б р о й л я ,

оказывается,

о б л а д а ю т

дисперсией

д а ж е

в

пустом

пространстве,

т. е. ф а з о в а я

скорость

волн

де

Б р о й л я

зависит от

К или . от к:

ѵ{ = — ;

ш =

—

к 2

;

Vf =

— — к. Отсюда следует, что волновой

к

4 л т

0

4л т „

со временем

р а с п л ы в а т ь ­

пакет, и з о б р а ж а ю щ и й

частицу, д о л ж е н

ся,

ибо

его компоненты, т. е. волны де

Б р о й л я ,

д в и ж у т с я с

р а з н ы м и

скоростями. Н и ж е

приводится

ф о р м у л а д л я промежут ­

ка времени, в течение которого волновой

пакет

увеличивается

вдвое:

т =

2 т 7 | / 3 ^ - ° .

(21)

h

Здесь bo — первоначальная

длина

пакета,

т о — масса

частицы*

пакета .

Если

применить

эту

ф о р м у л у

к

электрону,

д л я

которого

b £ £ l 0 - 1 4

м,

m 0 =

9,l

• 10~3 1

кг,

то т = 1 0 - 2

6 сек,

но

в

действи­

тельности

свободные

электроны

остаются

неизменными

прак ­

тически

вечно.

Есть

еще

одно

очень

веское

в о з р а ж е н и е

против

отождествле ­

ния

частиц

с

пакетом .

Если группа волн

проходит

через

д и ф ­

хроматические пучки, идущие в разных направлениях

(рис. 5),

что означало

бы

расщепление и частицы на отдельные «оскол­

ки». О д н а к о

во

всех опытах электроны, протоны и другие эле ­

ментарные частицы ведут себя к а к целые о б р а з о в а н и я ,

не р а с ­

п а д а ю щ и е с я

на

части

вследствие

д и ф р а к ц и и . И т а к ,

частица —

не волновой

пакет.

Тогда было выдвинуто предположение, что отдельные кор ­

пускулы

вообще

не о б л а д а ю т никакими волновыми

свойствами

и что последние

проявляются только в

коллективе взаимодейст ­

вующих

м е ж д у

собой

объектов .

Это

допущение

фактически

ученые

Фабрикант,

Сушкин и Б и б е р м а и проделали

такой опыт.

Р а з р е ж е н н ы й

поток электронов

пропускался через

кристалличе ­

скую решетку,

а затем

н а б л ю д а л о с ь появление электронов

на

сцинцилляционном

экране . Если бы волновые свойства

были

присущи только плотной

массе

взаимодействующих

электронов,

то в р а з р е ж е н н о м

потоке

волновых свойств не д о л ж н о было

бы

быть,

ибо к а ж д ы й

электрон, пролетавший через решетку, не

«зная»

судьбы

остальных, летел

д а л е е подобно обычной

класси ­

ческой

частице, не

подчиняясь

ф о р м у л а м де Б р о й л я ; на

э к р а н е

с л е д о в а ло о ж и д а т ь распределение

электронов такое, с к а ж е м ,

какое получается

д л я

зерна, пропущенного

сквозь

решето. В

действительности

все

о к а з а л о с ь не

так. Н а

э к р а н е

появилась

нимумов

н а б л ю д а л о с ь л и ш ь при

достаточно длительной

экспо­

зиции, но

это обстоятельство не имело принципиального

значе­

ния. Если

бы волновые свойства

не были присущи отдельным

частицам,

картина д и ф р а к ц и и и

интерференции

в слабом

пото­

ке частиц

не возникла бы никогда. С т а л о быть,

версия о

прояв ­

лении

волновых

свойств л и ш ь

в потоке взаимодействующих кор ­

пускул

отпала .

а)

'

б)

Рис.

6

П р а в и л ь н о е толкование волн

де

Б р о й л я д а л

немецкий уче­

ный М а к с Борн . Он" обратил внимание

на

то,

что

при

короткой

экспозиции

д и ф р а к ц и я

электронов

будто

бы

не

н а б л ю д а е т с я :

электроны попадают на э к р а н в случайные места

(рис.

6 а ) . С

увеличением

времени

экспозиции

она

появляется

на

э к р а н е

(рис. 66). Следовательно, волновая

картина н а б л ю д а е т с я

л и ш ь

при попадании на э к р а н огромного

числа

частиц,

но

это

озна­

тистический характер, ибо

статистическая закономерность

к а к

р а з

и з а к л ю ч а е т с я в том, что на практике она

проявляется

л и ш ь

д л я

огромной

массы

однотипных объектов

и незаметна,

если

ее применять

к объектам, число которых

невелико.

Т а к и м образом, волны

де Б р о й л я ,

по мнению Борна,—-это

волны вероятности,

или

информации .

Они

у к а з ы в а ю т

л и ш ь

соответствующей

точке. Применительно

к д и ф р а к ц и и

микрочас ­

тиц, описываемых

волновой функцией

гр, интенсивность

полос

означает попросту

густоту попадания частиц в то или

иное

мес­

элемент объема как р а з и пропорциональна

по

Борну

к в а д р а т у

модуля

волны

де Б р о й л я

|і|)І2

и элементу

объема

dv:

d W

= l - i f d V

=

•V*-4>dV.

(22)

Поскольку i|) часто бывает комплексной, то

ее к в а д р а т

нужно

записать как произведение г|? на, комплексно сопряженную

ей

функцию

г|з*.

В настоящее время трактовка М. Б о р н а

считается

общепри ­

нятой; ее последовательное применение еще

никогда

не

входи­

ло в противоречие с

опытом.

СООТНОШЕНИЕ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ГЕЙЗЕНБЕРГА.

ПРИНЦИП ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ Н. БОРА

В свете толкования М. Б о р н о м г|з-функции мы

м о ж е м

пере­

осмыслить суть волнового паке.та. Его

п р е ж н е е

представление

как

структуры самой частицы неверно,

но

понятие пакета

все

ж е

оказывается н у ж н ы м

и полезным,

ибо

к в а д р а т амплитуды

волн пакета у к а з ы в а е т вероятность

местонахождения

связанной

с ним частицы. Учитывая эту интерпретацию,

Гейзенберг,

один

из основателей - квантовой механики, сделал

исключительно

в а ж ­

ный

вывод.

Согласно теории волновых пакетов его ширина

Д г

и

диапа ­

зон А к представленных в нем

воли

с в я з а н ы

соотношением

Д г - Д к > 1 ,

(23)

или

в скалярной форме

Д х Д к х > 1 ;

А у Д к у > 1 ;

Д г Д к 2 > 1 .

(24)

Д о к а ж е м

это

соотношение

на

частном

примере.

Р а с с м о т р и м

простейший пакет волн

р

sin

Дкх х

.

% = ) a e - ' ^ - ^ d k x = 2 а ( е - ' * ш 4 - к л )

к0-Дк„

Здесь а — предполагается

постоянной,

а

о — независимой

от

к;

ко — средняя

величина волнового

числа;

Д к 0 — п о л о в и н а

интер­

в а л а р а з б р о с а значений

к. Мгновенное

и з о б р а ж е н и е этого

паке­

та дано

на рис. 7. П а к е т

имеет м а к с и м а л ь н у ю

амплитуду

в

точ­

ке

X =

0.

С

увеличением

х

пакет

постепенно

и

периодически