Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

системы в большом каноническом

ансамбле

Е,— |j.0nj

f, (Е„ и,) =

С,е

» .

(302)

Постоянные

п а р а м е т р ы

•& и р 0

в

равенстве

(302) д о л ж н ы

быть

одинаковыми

дл я всех

подсистем

в системе и дл я всех систем в

ансамбле, иначе будут нарушены условия

аддитивности

энер­

гии и числа

частиц. П а р а м е т р

Ф по смыслу — статистическая

температура,

в чем легко убедиться,

если учесть, что при

неиз­

ческое. и.0 называется

химическим

потенциалом, его

размерность

та же , что и у

но в отличие от Û он может

иметь

различный

знак.

И т а к , в большом каноническом ансамбле имеются

две конс­

танты

равновесия:

Ф — х а р а к т е р и з у ю щ а я

равновесный

обмен

энергией

и

ро — в ы р а ж а ю щ а я

равновесный

обмен

частицами .

Постоянную

Ci

находим из условия нормировки. В случае

сплошного

спектра

энергии

дл я определения

Q надо

у м н о ж и т ь

в ы р а ж е н и е

(302)

на элемент фазового объема, затем

проинтег­

рировать

его по

всему пространству координат и импульсов и,

наконец, просуммировать по числу частиц

ru. Если

с п е к т р ' э н е р ­

гии дискретный,

то дл я выполнения условия нормировки

надо

просуммировать

равенство

(302)

по всем

значениям

энергии и

по всем

значениям

числа

частиц ru:

lJ-оП,

Е,

_ ä_

Q_

i =

C ' 2 e 1 ~ ( 2 e " " e : ) =

Ce 9

= 1 ;

(С = е 9 ) .

(303)

ni

Е,

Здесь

учтено,

что

суммирование

по

ni

распространяется

и на

в ы р а ж е н и е

в

скобках,

та к ка к энергия

системы, помимо

проче­

го, зависит и от числа

частиц.

2 =

— & In 2 е

9

( 2 е

э

) называется

полным

термодина -

статистическая сумма системы канонического а н с а м б л я

с фик-

-

h

_ F ( n i )

сированным числом частиц ru. С л е д о в а т е л ь н о ^ е

9 = е

» ,

F — свободная энергия. Д а л е е в ы р а з и м сумму

2

e

&

через сред-

IWlj

п,ц.0

нее число частиц в системе. П р и р а в н и в а я 2 е

9 =

е

*

и

учиты-

п і

_

вая, что полная свободная энергия

т а к ж е

будет

функцией

nj,

получаем из равенства (303)

е

»

=

е

»

.

(304)

П о л ь з у я с ь соотношениями

(303)

и

(304), даем

еще

одно выра ­

ж е н и е

функции

распределения

большого

канонического

ан­

с а м б л я

а - Е ^ і м і ,

f ( E „ n , )

=

e

5

,

(305)

а т а к ж е

в ы ш е у к а з а н н у ю

связь

м е ж д у

тремя

термодинамически ­

ми потенциалами

F =

- Q

— (i0 n,.

(306)

Отсюда легко уяснить физический смысл

п а р а м е т р а

ц0.

К а к

видно из в ы р а ж е н и я (306),

— ÖF

Ро =

-т=

.

(307)

З д е с ь û и V предполагаются

фиксированными .

П р и н и м а я во

внимание,

что — dF =

dA, приходим

к

следую­

торую н у ж н о совершить, чтобы

изменить число частиц в систе­

ме

в среднем на единицу.

Ясно,

что, если у к а з а н н а я

работа до

д л я

различных систем

о к

а ж е т с я

различной, м е ж д у

ними нару­

шится энергетический

б а л

а н с и

частицы будут д и ф ф у н д и р о в а т ь

тех

пор, пока ц 0 и ft не сравняются, после чего наступит

равно­

весие.

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ И СРЕДНЕЕ ЧИСЛО

ЧАСТИЦ В СИСТЕМЕ С ЗАДАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ

ЭНЕРГИИ

Скомплектуем системы из частиц с одинаковой энергией ек,

тогда Еі = Пібк и полный

термодинамический потенциал

соглас­

но

равенству (304) примет

в ы р а ж е н и е

Q = - & l n 2 f 2 e

*~~].

(308)

Термодинамический потенциал системы л и ш ь с

одним

значени­

ем энергии к а ж д о й частицы

N

п,(ек -|і0 )

S k =

— ö l n

2

е

»

.

(309)

nj=0

Н а й д е м среднее

число

частиц n

в

состоянии с з а д а н н ы м

значе­

нием энергии ei.

П о теореме

о

среднем

N

п,(ек—|і„)

_

а,

п,(ек -ы

^

п ' е

9

X

е

а

п,=0

Л е г к о видеть,

что п р а в а я

часть

в ы р а ж е н и я

(310)

равна

частной

производной от

термодинамического

потенциала

системы

Qk по

Но с о б р а т н ы м

знаком . Отсюда

1 Ч =

- £ .

(3 . 1)

Среднее число

частиц

в

состоянии

с

з а д а н н ы м

зачением

энер ­

одинаково

верны как

в

классической, т а к и

в квантовой физике.

О д н а к о

в у к а з а н н ы х

случаях ф о р м у л ы

(309)

и (311)

д а ю т

р а з н ы е результаты,

т а к

к а к классический

метод

подсчета

сос­

тояний отличается от

квантового.

ском интервале состояний

может оказаться любое число частиц;

в) частицы индивидуально

различимы . Это значит, что при об-

значением энергии в

разных случаях . Сначал а произведем рас ­

чет по классической

методике. К а к у ж е сказано, в

классической

физике принимаются

во внимание всевозможные

перестановки,

величину и надо

разделить

к а ж д ы й

член

суммы

в правой

части

в ы р а ж е н и я

(309),

чтобы

получить

правильное

число

частиц с

заданной энергией:

-

_

dQk

* г

—

N

n . ( E k - | j . 0 )

=

0

-

п

(312)

i n V - 1

Введем новую переменную

х =

е

» ,

тогда

n

п к л

=

0 ^

1

п

Ѵ

^ .

(313)

n

Поскольку

X всегда конечно,

a

п - ѵ о о ,

функциональный ря д

n

Ж ~Ч х п

Л. — = е х ,

поэтому

о

п „ =

» — l n e x

=

» — .

(314)

д\>.0

П о д с т а в л я я

х = е

«

в в ы р а ж е н и е

(304), получаем

п к л

= Т М - Б — е

(315)

В ы р а ж е н и е (315)

называется

функцией распределения

М а к с ­

велла — Б о л ь ц м а н а

и обозначается

символом І М - Б •

Н а й д е м

среднее

число

фермионов

в

состоянии с

заданной

но, в одном состоянии с энергией еі может быть

одна

частица

или ни одной, иначе

говоря, щ в формула х (309)

и (312)

может

принимать л и ш ь два

значения: 0

и 1.

Подставив

эти значения

в у к а з а н н ы е в ы р а ж е н и я , получим:

0 In (1

4-е"

Ѵ-о-

(316)

);