Файл: Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.07.2024

Просмотров: 109

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

м ые значения переменных находятся к а к результат ре­ шения системы уравнений вида

- | £

= 0

( i =

1,2,..., п).

(В.З)

К

функции

f предъявляются требования

гладко ­

сти и выпуклости. Следует отметить, что, хотя

система

уравнений

дает

нам условие нахождения экстремума в

общем виде, численное решение системы во многих слу­

чаях может быть весьма сложной задачей,

особенно

ес­

ли уравнения получаются

нелинейными.

 

 

Д л я того чтобы выяснить, м а к с и м у м или

минимум

до­

ставляет э к с т р е м а л ь н а я

точка, определяемая решением

уравнения (В.З), необходимо дополнительно

исследовать

функцию в этой точке. Это исследование

сводится к оп­

ределению знака второго

д и ф ф е р е н ц и а л а

функции. Если

з н а к его положительный,

то э к с т р е м а л ь н а я точка отвеча­

ет минимуму, если отрицательный — максимуму . Не ­

обходимо

подчеркнуть,

что д л я

функции одной

перемен­

ной определение знака

второго

д и ф ф е р е н ц и а л а

не пред­

ставляет

больших трудностей. Д л я функции

многих

пе­

ременных

потребуется

больший

объем вычислений,

так

к а к необходимо будет

при этом

определить

квадратич ­

ную форму матрицы, составленной из всех вторых част­ ных дифференциалов анализируемой функции [12].

Более сложный класс экстремальных з а д а ч

составля­

ют условные экстремальные задачи, которые

характери ­

зуются тем, что искомое решение д о л ж н о удовлетворять системе ограничений, формулируемых в виде равенств и неравенств. Классический математический анализ дает метод решения только д л я таких условных экстремаль ­ ных задач, в которых ограничения записываются в виде равенств.

Пусть оптимизируемая (минимизируемая или макси­

мизируемая)

функция имеет в и д

 

(В.4)

Дополнительные условия:

(Pita, х2,...,

х„) = 0;

 

(В.5)

11

Д л я

решения

задачи

составляется

функция

Л а -

г р а н ж а :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F =

f(Xl, X,, . . . ,

Л",,)— V Я-уф/Ді,

л-3 ,. . . ,

хп),

 

 

где

Я/

( / = 1 ,

2,

ш) — неопределенные

множители Л а -

 

 

 

 

 

 

г р а н ж а .

 

п

 

 

 

 

В данную

функцию, помимо прежних

переменных

хи

Хо,

хп,

входят

дополнительно

еще

т

новых

 

пере­

менных

Я,і, Хо,

кт,

раївньїх числу

ограничений

з а д а ч и .

Р е ш а я з а д а ч у отыскания

минимума

или максимума

функ­

ции

Л а г р а н ж а как

безусловную экстремальную

задачу,

мы тем самым определяем решение и условной экстре ­

мальной

задачи .

 

 

 

 

 

 

 

В самом деле, система уравнении, решение которой

дает искомые значения

переменных, имеет вид

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

OF

 

J V _ Y \ . f

t y

=

0

2,...,

и);

 

 

 

 

.

..,

 

 

 

tei

 

dxt

j^U

'

dxs

V

 

;'

(B.6)

dF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

=

(fj(xx,

x2,...,

 

x„)

= 0

(/ = 1,

2,...,

m).

 

OX;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш а я

эту

систему

из

т + п уравнений,

мы

находим

значения

переменных х\, х2,

х„, при

которых

функция

Л а г р а н ж а приобретает экстремальное

значение

(макси­

мум или

минимум) . Но,

как

видно, переменные,

достав­

л я ю щ и е

экстремум

функции

Л а г р а н ж а , удовлетворяют

дополнительным условиям задачи (В.4). Поскольку при этом выражение, стоящее под знаком суммы в функции

Лагранжа,

 

равно нулю,

то

это

означает,

что

 

в области

допустимых решений функция

f имеет

те

ж е

 

значения,

что и

функция

Л а г р а н ж а .

Следовательно,

экстремум

функции

Л а г р а н ж а

совпадает

с экстремумом

 

исходной

функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

функции

f

предъявляются требования

гладко ­

сти и выпуклости. Строгое доказательство

метода реше­

ния условных экстремальных з а д а ч с помощью

множите­

лей Л а г р а н ж а

приводится,

например, в работе

[12].

Часто

при решении

з а д а ч

оптимизации

указанного

выше

типа

добавляются

ограничения

неотрицательности

Х ; ^ 0

для

некоторых или всех

переменных. В

т а к о м слу-

12

ч ае совокупность оптимальных значений xt не обязатель ­ но д о л ж н а удовлетворять условиям 'оптимальности (В.6), т а к к а к одно или несколько значений могут быть нулями, т. е. попасть на границы допустимой области, определяе ­ мой ограничениями. Если существует возможность опти­ мума при условии, что одно или более значений перемен­ ных равно нулю, то необходимо проверить различные ва­ рианты решений с предварительным приравниванием ну­ л ю к а ж д о й переменной и их комбинаций по две, три и

т. д. Искомый абсолютный

оптимум будет наименьшим

из всея полученных.

 

О д н а к о в п о д а в л я ю щ е м

большинстве задач энергети­

ки ограничения записываются в виде неравенств. Напри ­ мер, рассматривая з а д а ч у экономического распределения нагрузки м е ж д у станциями энергосистемы, необходимо учитывать ограничения в виде неравенств на располагае ­ мые мощности электростанций, на пропускные способно­

сти линий

электропередачи

и т. д. Д л я

таких

условных

экстремальных

задач метод

Л а г р а н ж а

оказывается не­

приемлемым .

 

 

 

 

Пусть

дополнительные условия задачи (В.4) имеют

вид

 

 

 

 

 

 

ФЛ*!,

* а , ... ,

х „ ) < 0 ;

 

 

 

<Рш(*і.

х 2 ) . . . ,

л ' л ) < 0 ;

 

 

 

 

х 2 > 0 , . . . , Л'„>0.

 

 

 

Система

неравенств имеет большое

число

решений.

Требование з а д а ч и сводится к нахождению таких неотри­ цательных значений переменных х и х ^ , х п , которые, удовлетворяя системе ограничений (В.7), доставляли бы минимальное (максимальное) значение функции (В.4). Искомое решение может находиться как внутри, т а к и на границе области допустимых решений, определяемой си­

стемой неравенств. Понятно, ни один

из методов класси­

ческого

а н а л и з а

не позволяет

решать

з а д а ч у

в такой по­

становке.

 

 

 

 

 

Поясним сказанное на примере поиска

минимального

значения функции от одной переменной. Д л я

переменной

з а д а н а

область

допустимых

решений

х^х^Хя

(рис.

В.1). К а к видно,

безусловному минимуму

отвечает пере-

13

менная А - = а , находящаяс я вне

области допустимых ре­

шений. Условному

минимуму

соответствует переменная

х = х2, н а х о д я щ а я с я

на границе

области.

Р и с . В.1.

В то ж е время множители Л а г р а и ж а позволяют про­ анализировать условия оптимальности решения таких за ­ дач и наметить вычислительную схему решения. Д л я то­ го чтобы показать это, перепишем ограничения задачи в виде равенств путем добавления новых переменных:

ф; <*1, А-о,..., Хп) + Хп.;./ = 0,

где Xn+i — дополнительные неотрицательные переменные. Функция Л а г р а н ж а будет иметь вид

 

т

 

F = f(xlt А - 2 ,

хп) — 2 \Дф/А 'і> х л , . . . , Х„) +

Xn,.j].

 

/=••1

 

Беря производные по переменным и приравнива я их нулю, получим условия оптимальности, записанные в следующей форме:

OF

Л

 

 

дх,

дх;

/=1

dF

 

=>—к,

=

0:

дхп+1

 

 

 

dF

= Ф;(*і>

х й ,

*„) + *„+/ = ().

дк,

~

 

 

14

Смысл этих условий таков: если искомое решение на­

ходится внутри допустимой области, т. е. при всех

Хп+,-

>

> 0 , то коэффициенты Kj оказываются

равными

нулю.

Это означает, что экстремум функции f(xu

дг2,

хп)

без

учета ограничений совпадает с условным экстремумом .

Если ж е д л я части

ограничений выполняется

строгое ра ­

венство,

т. е. при

x,l+j

= 0 , то коэффициенты

Я-

оказы ­

ваются

больше нуля. '

 

 

 

Эти выводы позволяют наметить следующую схему

решения рассматриваемой задачи . Сначала

находится

решение при отсутствии ограничений. Если

полученное

решение удовлетворяет

этим ограничениям,

то

з а д а ч а

решена. Если хотя бы одно ограничение не выполняется, то составляется функция Л а г р а н ж а с включением в нее этого ограничения и отыскивается ее решение. Если чис­ ло невыполняемых ограничений не одно, а несколько, т о в общем случае может потребоваться неоднократное со­ ставление функции Л а г р а н ж а с включением в нее к а ж ­

дого из этих ограничений, а т а к ж е

их комбинаций по д в а ,

три и т. д. Искомое оптимальное

решение соответствует

наименьшему (наибольшему) значению из всех получен­ ных решений.

Изложенный подход к решению оптимизационных з а ­ дач с ограничениями-неравенствами требует большого объема расчетов. Д л я решения таких задач более э ф ф е к ­ тивными оказываются методы математического програм ­ мирования, подробная характеристика которых, а т а к ж е их приложений будет дана в соответствующих г л а в а х книги.

Смотрите также файлы