Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Д3 — погрешность округления результата; Л, = 13,8—13,79 = 0,01;

А= 0,051 + 0,0005 + 0,01« 0,062.

д) Зная о , вычисляем Д:

А= 0,00069-44,2 «0,03.

А<0,05, следовательно, 2 — цифра верная. Результат: 44,2 ±0,03.

А' <0,5, следовательно, в числе 29 все цифры верные. Результат: 29±0,2.

Кроме того, в практических инженерных задачах чаще все­ го уравнение содержит коэффициенты, известные лишь при­ близительно, и тогда сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Да и практически точное значение корня знать не надо, а надо знать его значение с определенной, заранее заданной степенью точности.

Поэтому существуют способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности. Большая часть этих способов основана на идее последовательных приближе­ ний.

Будем рассматривать уравнение

существует и непрерывна в некотором отрезке.

Корнем (или нулем) уравнения (2.1) называют всякое зна­

Приближенное нахождение действительного корня урав­ нения (2.1) состоит в том, что надо сначала отделить этот ко­ рень от других, т. е. найти Такой отрезок [а; Ь], в котором со­ держится только один этот корень уравнения, и потом уточ­ нить приближенное значение этого корня, т. е. найти его зна­ чение с заданной степенью точности.

Графический метод

Для отделения корней можно использовать график функ­ ции (2.2). Абсциссы точек пересечения этого графика с осью абсцисс являются корнями уравнения (2.1). Построение гра­ фика даже с малой точностью дает обычно представление о расположении интересующих нас корней и тем самым позво­ ляет отделить их. Если построение указанного графика вызы­ вает затруднения, то следует преобразовать исходное уравне­ ние к виду ?i(jr) = c2 (jc) так, чтобы графики функций \>=ъ,(х) и _у ="-<?2(JC) можно было легче построить. Абсциссы точек пе­ ресечения этих графиков и будут корнями рассматриваемого уравнения.

Для примера решим кубическое уравнение.

х3— \,75х + 0,75 = 0.

Перепишем уравнение в виде я 3 =1,75%—0,75. Тогда иско­ мые корни найдутся как абсциссы точек пересечения параболы у = х3 с прямой у=\,7Ьх—0,75. Построив графики параболы и прямой, из рис. 2.1 находим, что уравнение имеет три действи­ тельных корня: Х\ = —1,5; ^2 = 0,5; х 3 = 1.

Р и с . 2.1.

Несмотря на то, что графические методы решения уравне­ ний удобны и просты, они применимы лишь для грубого опре­ деления корней. Особенно неблагоприятным в смысле потери точности является случай, когда линии пересекаются под очень острым углом и практически сливаются по некоторой дуге.

Тогда применяют метод проб.

§ 2.2. М Е Т О Д П Р О Б

Метод проб основан на теореме: если непрерывная функция y=f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка fa; b], т. е. f(a)f(b) <0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень £ уравнения f(x) — 0.

лежащий на отрезке [0; 1].

Р е ш е н и е . Последовательно вычисляем:

Промежуточных выкладок в этом примере не показали, но видно, что в общем случае для подсчета корня -с достаточно