Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 150
Скачиваний: 0
где
D
д
дх
J ду
Вводя обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|||
К |
= У\, |
|
Bk |
= у"к |
, |
Ск = U к |
|
|||
получаем из (8.22) формулу |
(8.21). |
|
|
|
|
|||||
§ 8.5. М Е Т О Д Р У Н Г Е — К У Т Т А |
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим задачу Коши (8.15), (8.16). |
|
|||||||||
При вычислении величин Аук |
по формуле (8.21) |
в методе |
||||||||
Рунге—Кутта |
ограничиваются тремя слагаемыми, i \ е. |
|||||||||
кУк |
Хк = Ак |
!г + Вк |
ІЇ1 |
+ |
|
/г3 |
(8.24) |
|||
~2 |
|
Ск |
||||||||
Расчетные формулы имеют следующий вид: |
|
|||||||||
|
|
|
1 |
( |
|
|
|
|
|
(8.25) |
|
'•к = 1Г ( |
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч |
= |
hf |
(•**; ук) ; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Ук + |
2 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.26) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
hf |
хк |
+ |
|
% -т- |
|
|
|
|
|
|
hf (хк + A; |
r f |
рА ) |
|
|
|
|||
Вывод формул |
метода |
Рунге—Кутта |
|
|
|
|
||||
Найдем геометрический смысл величин (8.26) с помощью построения на рис. 8.3, где
MF — касательная к интегральной кривой в точке М, ее уг
ловой коэффициент kM = y'M=f |
(xk\ ук)- |
Обозначим |
|
|
(8.27) |
147
НК — касательная к интегральной кривой в точке
и I |
, h |
, и |
h |
2
ее угловой коэффициент
|
/г |
*// = У'н =• / и * + |
у |
Р и с . 8.3
ИЛИ |
|
|
|
Раскладывая |
kH |
по степеням -g- и —~—, |
получаем |
|
|
1 |
! |
|
|
f |
|
|
|
y=yk |
|
1 |
/ |
д |
|
9 ! |
дх |
о < ду |
Ограничиваясь членами с Л2 и учитывая, что y-k~hf(xk; |
ук), |
получаем |
|
h |
|
у=-ч
D"- f
••у-у»
Обозначим
(8.28)
Из точки М проводим прямую, параллельную НК. При этом образуется точка
|
|
|
|
D\xk |
+ |
9 ; |
У к 4- kH |
2"Г |
|
|
||
Угловой |
|
коэффициент касательной |
в интегральной кривой |
|||||||||
в точке Z) имеет следующее |
разложение: |
|
|
|
||||||||
|
6D |
= / [хк + - у |
; |
/у* + |
|
- у - ) |
= / (хк; |
ук) |
+ |
|||
|
|
|
|
i d |
h |
, |
|
д |
|
З ь |
|
|
|
|
|
|
дх |
2 |
^ |
|
oty |
|
/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
I |
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
2 |
|
2 ^ |
<ty |
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kD |
f+fDf |
|
h- |
Dff\ |
|
-D2f |
(8.29) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
7ft |
= |
|
Л |
|
|
|
(8.29) |
В точке |
|
У (xk |
4- Л; ?/& 4- kHh) |
таким |
же образом |
получаем |
||||||
|
|
|
f |
+ h Df |
-\ |
— |
(f'y Df |
|
4- Di |
f) |
|
|
|
|
|
|
|
lk |
= |
kyh . |
|
|
|
(8.30) |
|
149
Докажем теперь справедливость равенства (8.25) с точ ностью до слагаемых порядка А3:
- L (а, + 2% -!- 2 Т ; + |
ч) = |
- U / A + |
2 ( / + А / ) / а. |
||
А- |
А + |
2 { / 4- A D / + |
Dff'y |
+ |
|
|
|||||
|
/ + hDf |
А'2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
=Л/г |
|
|
\ |
|
|
k |
|
|
|
y=yk |
||
|
|
h- |
A3 |
|
|
|
= Akh + Bk-~- |
4- C* |
|
|
|
Точные оценки погрешности в общем случае отсутствуют. |
|||||
Для грубой оценки часто пользуются так называемым |
принци |
||||
пом Рунге: при шаге А для точки Xi=x0 |
+ h по формуле Тейло |
|
ра находим |
|
|
у (х\) = |
у (А-о 4 А) = у (х{)) + |
Л 4- . . . 4- - ^ - Ф - Д< , |
Г Д Є Х „ < |
£ < -Х^ . |
|
Иначе это равенство можно записать в виде:
у (* л = Уо + Дуо +- •' 4 ; w Л4
или
Вводя обозначение
М =
?y'v (?)
4 !
на первом шаге получаем погрешность.
I У (*,) - у,; = Л*А*
Для ориентировочного подсчета погрешности приближен ного решения в других точках предполагается, что погреш ность равна МЛ4 на каждом шаге. Тогда для точки x = x0 + 2kh имеет место равенство
|
|
Д В |
| у |
(х) |
- |
уи |
| = |
2/г Mh4 . |
|
|
||
Для |
определения |
А |
произведем |
вычисления |
с шагом 2Л, |
|||||||
допуская |
при этом, что |
погрешность на каждом |
шаге равна |
|||||||||
M(2h)4. |
Тогда для |
той-же |
точки |
x=x0 |
+ k2h |
получаем |
||||||
|
|
! У (х) — Ум I = |
k М (2Л)< = |
2k Mh* 2s |
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I U (х) |
- |
ук |
і = |
А23 . |
|
|
|||
Таким |
образом,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У (х) => у.ік |
± А , |
у |
(х) |
= ;/Л + |
23 А , |
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
1 У а * ~ |
-У * ' |
• |
|
|
(8.31) |
||
Выполнение лабораторной работы
Численно решить дифференциальное уравнение
2х
У ~ У
У
при начальном условии у |д—о = 1 на отрезке [0; 1,2] с шагом 0,2. Рабочие формулы:
а « |
= |
А/(дся ; |
|
уп); |
|
|
|
|
|
|
?n |
= |
hf(xn |
+ ~ ; |
|
Уп + |
^ |
г |
|||
1я |
|
|
|
2 |
' |
|
|
' |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
о„ = |
/tf (*„ + |
Л; |
у л |
+ |
U |
; |
|
|||
АУ„ = |
-g" (*« + |
|
+ |
|
|
4 |
В «) ; |
|||
|
|
Уд-її |
= |
Уп 4 |
д |
^ |
• |
|
|
|
Результаты вычислений оформляются в виде табл. 8.2.