Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 166

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

20

 

 

 

 

Гл.

1. Коллинеацш

 

и корреляций

 

 

 

последовательные факторы которого изоморфны груп­

пам

 

 

П Р(К), GL„_2p(/(),

к р(п~2р), Кр[п~р).

 

 

 

 

 

 

 

В2)

Предположим

теперь,

 

что о — нетождественный

автоморфизм,

и

пусть

К і — подтело,

образованное

эле­

ментами тела К, инвариантными относительно о. Из

формулы

(4)

следует,

что

 

а°а — 1. Поле Z(a),

порож­

денное элементом а и центром Z тела К, инвариантно

относительно автоморфизма а. Если ограничение авто­

морфизма

 

о

на

Z{ä)

тождественно,

то а2 =

1

и,

зна­

чит,

а =

± 1 .

В

противном

случае,

поскольку

период

автоморфизма о

равен 2,

существует

такой

элемент

ö e Z ( f l ) ,

что а =

6,-(Т;

но тогда и и ѵ-Ь~1 коммутируют.

Таким образом, всегда можно считать, что а =

± 1 .

Условие

(3) дает равенство

£ат =

 

для

всех

ge/C.

Следовательно, подтело К\ инвариантно относительно

автоморфизма т тела К.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

Пусть характеристика тела К не равна 2. Под­

группа

Н cz П п(К),

образованная

такими

коллинеа-

циями

V,

что

vu = dzuv]),

содержит

в качестве

нор­

мального делителя индекса 2 централизатор Я0 колли-

неации и. Мы ограничимся изучением группы Н0. Выше

было показано, что пространство Е, рассматриваемое

как 2д-мерное векторное пространство над Кі, есть пря­

мая сумма д-мерных подпространств

U+ и U-,

причем

U- = U+р. Условие

г і е Я о равносильно

тому,

что

v ( U + ) = U +,

v ( U - ) = U~ .

Ограничение

коллинеации ѵ

на пространстве U+ есть коллинеация этого простран­

ства

(над

К і).

Так как

рт<т =

рот =

—рх, то

рт = ра,

где

а е і ( і .

Положим

£“ =

р-1£р для

всякого

£ е / ( і ;

тогда со — автоморфизм тела Кі,

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«.ТВ

=

 

« В Т

а

— 1

.

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

ё

 

“S

 

 

 

 

 

 

Кроме

того,

если р2 == ß е

К\,

то должно

быть

ßT ==

= (рх) 2 =

рара, откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ß_1ßT=

a“a.

 

 

 

 

 

(6)

‘) Эта подгруппа

не совпадает с подгруппой Н,

определенной

в начале этого параграфа; однако ее образ в группе

РГЬп (К) со­

впадает с Н. — Прим,

перев.

 

 

§ 4. Централизатор проективной инволюции

21

Обратно, если т — автоморфизм тела Кі,

удовлетворяю­

щий условиям (5) и (6) для некоторого

а е

Кі, то его

можно продолжить до автоморфизма тела

К,

полагая

р* =

ра, и всякая коллинеация ѵ пространства

U+ (над

К)

относительно автоморфизма т продолжается до кол-

линеации пространства Е (над К). Для этого надо по­

ложить

п(хр) = ѵ(х)рх. Так как

тогда v ( U~) = U~, то

о е Я о -

Таким образом, группа Н0

изоморфна подгруппе

группы ГЬп(Кі), образованной коллинеациями относи­ тельно автоморфизмов т тела Кі, удовлетворяющих условиям (5) и (6) (для некоторого а, зависящего от т). Заметим, что полная линейная группа GLn(Ki) есть нормальный делитель группы Н0 (и группы Н).

ß) Пусть теперь К — тело характеристики 2. Выше было показано, что пространство Е, рассматриваемое как 2/г-мерное векторное пространство над Кі, есть пря­

мая сумма подпространств

V— w~l(0)

и ѴѲ, где Ѳ2+ Ѳ =

= ß е Кі

и

Ѳ° =

Ѳ + 1 .

 

Кроме

того

(Дьёдонне [14],

стр.

181),

отображение

£ —*£>(; =

Ѳ| + £Ѳ

есть

диффе­

ренцирование

тела

Кі.

Для

того

чтобы

коллинеация

V принадлежала Н, необходимо

и достаточно,

чтобы

vw =

wv.

В

частности,

v(w(x)) =

w(v(x))

при

х е Ѵ ,

откуда ѵ(Ѵ)

=

V. С другой стороны, Ѳта =

Ѳаг =

Ѳт+ 1,

откуда Ѳт =

Ѳ+ X,

X s K i . Принимая

во внимание,

что

ш(хѲ) =

х при х е

V, легко проверить,

что если

и(Ѵ) =

= Ѵ и

Ѳт =

Ѳ- f А.

(Ае/Сі),

то

v(w(xB)) = w(v(xQ))

при x e V

и, значит, ѵ и w коммутируют.

Заметим

те­

перь, что если применить к равенству

=

+

 

ав­

томорфизм т, то получится,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(£)|), - £

) ( | Т) =

Я|,

+

ГЯ..

 

 

(7)

С другой стороны,

ßT_

ß = X2 +

X.

 

 

 

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратно,

 

если т — автоморфизм тела Кі, удовлетворяю­

щий условиям (7) и (8) для некоторого Xе Кі,

то

его

можно продолжить до автоморфизма тела

К, полагая

Ѳт =

Ѳ+

X,

и

всякая

коллинеация

ѵ

пространства

V

(над Кі) относительно автоморфизма

т продолжается

до коллинеации пространства Е (над К)

таким обра­

зом,

что

V(хѲ) =

V(х) Ѳх.

Следовательно,

группа

Н

22 Гл. 7. Коллинеации и корреляции

изоморфна подгруппе группы ГЬп(Кі), образованной коллинеациями относительно автоморфизмов т тела /Сі, удовлетворяющих условиям (7) и (8) (для некоторого Я, зависящего от т). Полная линейная группа GLn(Ki)

является нормальным делителем в группе Н.

Что касается изучения централизатора в группе GLn(K) произвольного линейного преобразования, мы ограничимся ссылкой на работы Шрейера и Ваи-дер- Вардена [1] и Дьёдонне [3], где это проделано при не­ которых ограничениях на тело К-

§ 5. Корреляции и полуторалинейные формы

Известно, что сопряженное пространство Е* к пра­ вому векторному пространству Е над телом К есть ле­ вое векторное пространство над К той же размерности, что и Е. Как обычно, мы будем употреблять обозначе­ ние {x', х) вместо х'(х) при и х' е £*. Простран­ ство Е* можно рассматривать также как правое вектор­ ное пространство над телом К°, противоположным телу К■ Полулинейное отображение Е в Е* может существо­ вать только в том случае, когда тела К и К0 изоморфны, т. е. существует такое биективное отображение J тела К на себя, что (а + ß)J = aJ + ßJ и (aß)J = ßJaJ; такое отображение называется антиавтоморфизмом тела К- Заметим, что если К коммутативно, то антиавтомор­ физм — это то же самое, что автоморфизм. Отображе­ ние ф пространства Е в пространство Е* будет полули­

нейным

отображением

относительно

антиавтоморфизма

J тела К, если

 

 

 

ф(* + #) = ф (*) +

Ф(г/) при х<=Е, уе=Е,

 

Ф (хЯ) = Яуф (л:)

при

і

ё £, Я е К-

Каждому такому полулинейному отображению ф по­

ставим

в

соответствие

отображение

(х, г/)—* f (х, у) =

— (ч>(х)і У)

прямого произведения

£

X £ в К. Отобра­

§ 5. Корреляции и полуторалинейные формы

23

жение /, очевидно, обладает следующими свойствами:

f (х, + *2. y) =

f (хь y) + f (х2, у),

f (х, У\ + y 2) =

f (X, yj) + f (х, у2),

f {xl, y) =

XJf(x, у),

f (х, уХ) =

f (х, у) X.

Такое отображение будет называться полуторалинейной

формой

на

£ X Е относительно антиавтоморфизма /.

Если К

коммутативно и / — тождественный

автомор­

физм, то f — это

обычная билинейная форма на Е'Х.Е.

Обратно, очевидно, что всякая полуторалинейная

форма

на

£ X £

однозначно представляется

в виде

(ф(х), у), где ф— полулинейное отображение простран­

ства Е в

£*. Пусть (ej)1<l<n— базис пространства £

и (ег)|<г<

— дуальный базис пространства £*, такой, что

^

П

(ei ej) — öl/.

Если Ф (ej) =

2 аг/е/, то а(/ = (ф(ег), ej) =

=

f{eh ej), и-для х =

 

/= 1

2 егг|; имеем f(x, у) =

2 е.-g/,

 

2

 

 

І

 

І

 

=

т). =

lx!Ay,

где х и у

отождествлены

со столб­

 

цу

1 “ 1

 

 

А =

(аг/). Матрица

А, являю­

цами своих координат и

щаяся матрицей отображения ф по отношению к бази­ сам (еі) и (e'i) ‘), называется также матрицей полутора­ линейной формы f в базисе (ej) пространства £ . Ее ранг, не зависящий от выбора базиса (ej) и совпадающий с рангом отображения ф, называется рангом полутора­ линейной формы /.

Если (ëj)|< г <„ —

другой

базис

пространства £,

Р — матрица перехода

от (ej)

к (ёі)

и

А' — матрица

формы / в базисе (ёі),

то A ' =

lPJAP.

В

случае, когда

К коммутативно,

определитель А матрицы А называется

дискриминантом

формы

f в

базисе (et). Если

Д ' — ди­

скриминант f в

базисе

(ёі),

то A' = (6öJ)A,

где 6 =

= det Р.

 

 

 

 

*) При том определении матрицы полулинейного отображения, которое было дано в § I, матрицей отображения <р будет матрица, транспонированная к Л. — Прим, перед.

24

Гл. I. Коллинеации и корреляции

Корреляцией пространства Е на Е* называется би­ ективное полулинейное отображение Е на Е* или, что то же самое, полулинейное отображение, ранг которого равен размерности пространства Е. Полуторалинейная форма / на Е \ Е , соответствующая корреляции ср, на­ зывается невырожденной. Такая форма характеризуется следующим свойством: всякий вектор х; е £, для кото­ рого f(x, у) = 0 при всех у е Е, равен 0.

§6- Рефлексивные полуторалинейные формы

Вдальнейшем, если не будет оговорено противное, мы будем рассматривать только невырожденные полу­ торалинейные формы на Е X. Е (относительно антиавто­ морфизмов тела К). Два вектора х, у пространства Е,

взятые в данном порядке, называются

ортогональными

в смысле (или относительно) формы /,

если f(x,y) = 0.

Невырожденность формы / означает, что не существует

вектора

х ^ О ,

такого, что

х и

у ортогональны

для

любого

у ^ Е .

Мы будем говорить, что форма / (или

соответствующая корреляция

ф)

рефлексивна, если

от­

ношение ортогональности симметрично, т. е. f(x,y) = 0

эквивалентно

f(y,x) — 0. Ниже будут описаны (при

п ^ 2) все

рефлексивные полуторалинейные формы

(Биркгоф и фон Нейман [1]).

Прежде всего можно ограничиться рассмотрением только невырожденных рефлексивных форм. В самом деле, если f рефлексивна и вырожденна, то множество векторов X, ортогональных ко всем векторам из Е, яв­

ляется подпространством N пространства

Е. Если

X ~ х](mod N) и у ~ у х(mod N) , то f (x,y) =

f(xl, y 1)-,

следовательно, форма / определяет полуторалинейную форму на факторпространстве Е/N (называемую фор­ мой, ассоциированной с f). Эта форма рефлексивна и невырожденна, и она полностью определяет форму f.

Если J — антиавтоморфизм, соответствующий форме f, то предположение о рефлексивности означает, что для

всякого вектора

х ф 0

пространства

Е линейные

урав­

нения f(x,y) =

0 и

{f {у, х))'/-І =

0

задают одну

и ту

же гиперплоскость

и,

значит,

f(y,x) = (f(x,y))Jm(x),

где пг{х) — скаляр, зависящий только от х. Если Х\ и хг

Смотрите также файлы