Файл: Гришанин К.В. Устойчивость русел рек и каналов.pdf

ществования гряд и рифелей. Между двумя этими границами рас­ полагается узкая полоса переходного режима плоского дна, в ко­ торой возмущения дна затухают. На рис. 3.5 видно, что в области

У— нижняя граница области существования антндюн по уравнению (3.37); точки опытов: 2 — рнфелн, 3 — гряды, 4 — антидюны.

малых чисел Фруда уравнение (3.36) приводит к практической не­ зависимости длин волн возмущений с максимальной скоростью ро-

ста от этих чисел. При числе Фруда в (3.36), стремящемся к нулю, получаем почти точное соотношение обратной пропорциональности kho и ß. Фиксировав длину волн, найдем, что сдвиг 8х быстро

43

возрастает с глубиной потока. С физической точки зрения, этот ре­ зультат сомнителен и, таким образом, гипотеза бx ~ /z0 во всех от­ ношениях проигрывает по сравнению с гипотезой öx~X.

На рис. 3.4 на кривую, построенную по уравнению (3.34), на­ несены точки измерений Г. Гая, Д. Саймонса и Е. Ричардсона [72]. Сопоставить с экспериментом уравнение (3.36) невозможно из-за отсутствия опытных значений параметра ß. Эксперименты Гая, Саймонса и Ричардсона охватывают широкий диапазон чисел Фруда и освещают все три основных вида донных форм: рифели, гряды и антидюны. Сведения об условиях этих опытов приводятся в следующей главе.

Известно, что переход от начальных возмущений дна к донным волнам конечной амплитуды сопровождается изменением длин волн. Для волн, обтекаемых с отрывом потока (гряд и рифелей), характерно возрастание длин волн по мере их развития. Так как в опытах Гая, Саймонса и Ричардсона фиксировались размеры полностью развитых донных волн, то кривая, которая дает длины волн с наибольшей начальной скоростью роста, должна служить огибающей для опытных точек. На рис. 3.4 видно, что это так и есть. Точки, относящиеся к грядам и рифелям, в подавляющем большинстве располагаются влево от теоретической кривой, точки, относящиеся к антидюнам, все лежат вправо от кривой. В отличие от гряд и рифелей антидюны в процессе развития уменьшают свою длину. Согласие между теорией и опытом в целом вполне удовлет­ ворительное. Так как уравнение (3.34) не содержит никаких эм­ пирических параметров, то это согласие свидетельствует об эффек­ тивности теоретической модели Кеннеди и, в частности, о справед­ ливости гипотезы 8х~Х.

Предположив, так же как Кеннеди, что движение жидкости без­ вихревое, Энгелунд и Фредсо [65] исследовали устойчивость под­ вижного дна относительно трехмерных возмущений. Они ограничи­ лись случаем больших скоростей течения, когда русловые наносы перемещаются во взвешенном состоянии. Распределение концентра­ ции по вертикали было принято из условия постоянного коэффици­ ента турбулентной диффузии. Концентрация у дна определялась по эмпирической формуле Энгелуида, аргументом в которой служит не средняя скорость течения, а динамическая скорость (см. § 3.2). Вследствие этого необходимость учитывать сдвиг между распреде­ лениями средней скорости и касательного напряжения отпала, а сдвигом между касательным напряжением и расходом наносов Энгелунд и Фредсо пренебрегли. Динамическая скорость определя­ лась по связи ее с донной скоростью; для определения последней был использован трехмерный потенциал скоростей.

Численное решение уравнения деформации возмущенного дна позволило определить безразмерную фазовую скорость донных волн c/Uo в функции безразмерных параметров Fro, kiho, где ki и ki — волновые числа соответственно продольных и поперечных возмущений. Решение показало, что если русловые наносы транс­ портируются во взвешенном состоянии, неустойчивость развивается

44

лишь в области больших чисел Фруда, давая начало образованию антидюн. Этот результат был получен ранее Энгелундом [64] при использовании модели реальной жидкости. Рост волнового числа ko, т. е. уменьшение длины волн поперечных возмущений, дейст­ вует стабилизирующим образом на поток и дно. При й2—>-оо об­ ласть неустойчивости асимптотически стягивается в точку. Уже при &2 Йо= 2, т. е. при %2= nho, дно потока с большими числами Фруда

оказывается практически устойчивым. При fe = 0, т. е. при переходе к двумерному случаю, решение Энгелунда и Фредсо дает для чи­ сел Фруда в области неустойчивости неравенства Кеннеди—Рей­ нольдса (3.30). Отсюда следует, что эти неравенства не связаны с каким-нибудь определенным уравнением транспорта наносов. Об­ щий вывод из исследования Энгелунда и Фредсо состоит в том, что для подвижного дна двумерные возмущения более опасны, чем трехмерные. С аналогичной картиной мы встречаемся при развитии турбулентности — двумерные возмущения нарушают устойчивость ламинарного течения при более низких значениях числа Рей­ нольдса, чем трехмерные.

Антидюны — интересный объект для теоретических и экспери­ ментальных исследований, однако на практике с ними приходится встречаться крайне редко. Поэтому гораздо большего внимания заслуживают результаты работы Кеннеди, касающиеся спокойных потоков с невысокими числами Фруда, и те заключения общего ха­ рактера, которые эта работа позволяет сделать в отношении меха­ низма развития донных волн.

Равнинные речные потоки, транспортирующие песок и мелкий гравий, чаще всего имеют числа Фруда, равные 0,01—0,10. Для транспорта песка и мелкого гравия в лабораторном лотке требу­ ются течения с числами Фруда 0,05—0,20. Уравнение (3.34) опре­ деляет следующие значения доминирующей длины зарождающихся

порядку величины эти цифры хорошо сходятся с данными наблюде­ ний. Близость длины зарождающихся волн к глубине потока была установлена в лабораторных экспериментах Н. А. Михайловой [33, 34] и Н. С. Шарашкиной [50]. Молодые гряды с длинами по­ рядка глубины потока наблюдал в дноуглубительных прорезях на больших судоходных реках Б. Ф. Снищенко [38].

Переход от ровного дна к волнообразному происходит в пото­ ках с малыми числами Фруда при скоростях, немного превышаю­ щих неразмывающую. Так как полученные Кеннеди выражения для границ области неустойчивости и для доминирующей длины волн не содержат крупности донных частиц, то длины зарождающихся волн оказываются связанными с этой крупностью только через ве­ личину неразмывающей скорости. Чем крупнее донные частицы, тем больше неразмывающая скорость, тем больше число Фруда при начале влечения и значит тем длиннее будут зарождающиеся дон­ ные волны. Как мы, однако, только что отметили, вариация длин невелика, и поэтому связь длин волн с крупностью частиц слабая.

45

Результаты, полученные методом малых возмущений, позволяют по-новому взглянуть на старую проблему о причинах периодично­ сти донных форм. Остановимся на этой проблеме подробно. Слово «периодичность», которым для краткости мы будем пользоваться, в применении к реальным донным волнам не должно пониматься буквально. Песчаные волны, так же как волны на свободной по­ верхности жидкости, имеют непрерывный спектр. Возможность го­ ворить об их периодичности обусловлена тем, что спектр относи­ тельно узок. Более точно можно определить донные формы русло­ вого потока как квазипериодические.

В соответствии с полученными к настоящему времени теорети­ ческими и экспериментальными данными будем различать две ста­ дии развития волн на первоначально ровной поверхности подвиж­ ного дна. Первая стадия — возникновение флуктуаций поверхности и рост их амплитуд в условиях, когда все нелинейные эффекты движения пренебрежимо малы. Адекватное описание этой стадии дает математическая модель малых возмущений. На второй стадии начинают играть роль нелинейные эффекты и ее описание возможно лишь в рамках модели волн конечной амплитуды.

Рифели и гряды руслового потока с момента возникновения имеют асимметричный профиль — они рождаются асимметричными. С асимметричным профилем взаимосвязан отрыв потока от низо­ вых откосов донных волн. Пока, однако, высота волн мала, обла­ сти отрыва (вальцы) составляют малую долю их длины, а скоро­ сти в вальцах недостаточны для перемещения донного материала. Поэтому на первой стадии развития донных волн вальцы связаны только с асимметрией волн и не влияют ни на периодичность волн, ни на темпы их роста. Этим объясняется, что Кеннеди смог полу­ чить верную картину начального развития донных волн, полностью пренебрегая явлением отрыва.

Переход от первой стадии ко второй можно приурочить к мо­ менту, когда обратные скорости в вальцах становятся достаточ­ ными для того, чтобы подгребать песчинки к подвальям волн. От­ вечающую этому моменту высоту волн Б. А. Шуляк [51] назвал критической. По данным опытов, критическая высота волн состав­ ляет 5—10 диаметров песчинок. После того как высота волн пре­ взошла критическую, отрыв потока начинает влиять на длину волн и становится основным фактором поддержания их периодичности. В связи с этим волны во второй стадии своего развития перестраи­ ваются и длины сформировавшихся рифелей и гряд всегда больше длин волн начальных возмущений дна. Положение, согласно кото­ рому периодичность песчаных волн поддерживается отрывом по­ тока, было впервые сформулировано Дж. Дарвином (1883 г.). Де­ тальная разработка этого положения принадлежит Б. А. Шуляку [52, 53].

Вернемся к первой стадии процесса, которая только и представ­ ляет интерес в проблеме устойчивости русла. Тот факт, что возму­ щения! поверхности дна уже в начале своего развития квазиперио­ дические, отмечен всеми экспериментаторами, наблюдавшими обра­

46

зованне песчаных волн. С другой стороны, ясно, что физической причиной возмущений в русловом потоке могут быть только.турбу­ лентные пульсации, точнее, обусловленная турбулентностью мгно­ венная неоднородность поля донных скоростей. Так как турбулент­ ные пульсации имеют случайный характер, то перед исследовате­ лями песчаных волн давно уже стоял интригующий вопрос: каким образом случайные, нерегулярные возмущения скорости порождают квазипериодические возмущения дна? Существенный вклад в ре­ шение задачи внес М. А. Великанов [4, 5], указав, что активно влиять на дно могут только пульсации скорости, принадлежащие к низкочастотной части спектра энергии турбулентности. Верхняя граница активной части спектра может быть установлена по зна­ чению спектральной функции, отвечающему началу движения дон­ ных частиц. Верная в своей основе, мысль Великанова не решила, однако, задачи, так как активная часть спектра энергии турбулент­ ности оказалась слишком широкой. Чтобы довести решение до конца, требовалось найти звено процесса, которое осуществляет фильтрацию частот. Недостающее звено через четверть века после работ Великанова дала теория малых возмущений. Этим звеном оказалась связь между длиной волн и скоростью роста их ампли­ туд. Неравномерный рост возмущений с различными длинами волн приводит к выделению доминирующей длины волн и тем самым преобразует широкий спектр возмущений скорости в узкополосный спектр возмущений поверхности дна.

§ 3.2. УСТОЙЧИВОСТЬ С УЧЕТОМ СИЛ ТРЕНИЯ

Рассмотрение задачи об устойчивости дна с учетом сил трения

вжидкости мы начнем с решения, полученного А. Рейнольдсом

[90].Это решение интересно тем, что в нем использована простей­ шая модель движения жидкости с трением — одномерный поток,

описываемый уравнениями гидравлики. Из работы Кеннеди Рей­ нольдс заимствовал гипотезу о сдвиге между изменениями скоро­ сти течения и расхода наносов.

Пусть вода течет в прямолинейном призматическом канале ши­ рокого прямоугольного сечения с жесткими стенками и подвижным дном. В невозмущенном состоянии дно плоское и движение воды

Здесь /о — уклон дна канала. Ось х, как всегда, направлена по потоку. Число Фруда невозмущенного потока представим с помо­ щью формулы Шези в виде

(3.39)

47

Наложим на высоту дна и скорость течения малые возмущения: z fs(x, if) и U' (х, t). Высота дна и скорость потока в возмущенном

движении будут равны:

Возмущенное и невозмущенное течения должны удовлетворять уравнениям установившегося движения (2.6) и уравнению дефор­ мации (2.5). Напишем эти уравнения для единицы ширины потока, попутно исключив высоту свободной поверхности с помощью равен­ ства zw= z s+h\

Уравнения (3.44) и (3.45) будут для нас исходными.

48