ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 149
Скачиваний: 1
Подставим в уравнение движения (3.44) выражения для zs и U по равенствам (3.40). Для глубины Іг воспользуемся аналогич ным выражением
А - А о + Л ' - т ^ і U'
Коэффициент Шези С ввиду относительно слабой изменяемости будем считать в возмущенном движении таким же, как в невозму щенном. Ввиду малости возмущений членами, содержащими z',
U' и h' в степени выше первой, будем пренебрегать. Чтобы чита телю было удобно следить за преобразованиями, введем сначала возмущенную высоту дна. Так как
|
|
|
dz. |
дт = ж к ( 0 ) - / о * + * ; ] = - / „ |
|||
дх |
дх |
‘ °Л ^ |
0 ' дх ’ |
то при учете равенства (3.39) уравнение движения примет вид
ди |
U |
дг. |
дх |
h (1 — Fr) |
ir + - & ( F r - F r „ ) |
Теперь введем возмущенные скорость и глубину. Использовав линеаризованные выражения
ии0
h |
f - 0 + 2 -£ r ); |
l - F r = l - F r „ ( l + 3 ^ . ) ; |
|||
|
- F r . = |
ghQUQ |
-F r ,^ 3 F i„ |
U’ |
|
|
|
1 10~ U1 10 |
UQ ’ |
||
отбросив малые члены и снова применив равенство (3.39), получим
|
дСР |
|
ип |
dz„ |
U' |
(3.46) |
|
дх |
л0 (1 — Fro) |
дх |
-з/„ Un |
||
Умножим обе части уравнения (3.46) на величину D~= |
1 — е -X |
|||||
dq& |
Множитель |
перед скобкой в правой части будет иметь |
||||
X dU |
||||||
размерность скорости. Обозначая его для краткости записи |
||||||
|
|
D |
и О |
|
■-Со, |
|
|
|
Ao(l-Fro) |
|
|||
|
|
|
|
|
||
получаем уравнение возмущенного движения в виде |
|
|||||
|
Г) |
ди' |
дг. |
+ 3 / ° - ^ ] . |
(3.47) |
|
|
дх |
|||||
|
|
|
||||
Уравнение деформации (3.45) в возмущенном движении запи сывается
D дх |
X—&х, t |
+ ( 4 г - ) |
.= 0 - |
(3.48) |
|
X , |
t |
|
4 За к. |
550 |
49 |
Подставив в (3.48) выражение для — по (3.47), найдем
Ц'
3/п и0 = 0. (3.49)
— «.V
Уравнения (3.47) и (3.49) позволяют перейти к вопросу об ус тойчивости дна.
В соответствии с обычной процедурой теории устойчивости по ложим, что возмущения z' и U' имеют вид синусоидальных волн
Zs= |
Q(ß (x — ct) |
(3.50) |
|
U' = |
b0U0eUi {x — ct) |
||
|
Размерную амплитуду ao>0 будем считать вещественной, без размерную амплитуду Ьо— комплексной: bo= br+iéi.
Подставив возмущения z' и U' в форме (3.50) в уравнение дви жения (3.47), после дифференцирования и сокращения экспонента, получим
|
UQ |
I |
I 3/р |
(3.51) |
|
ь0 |
с0 |
1 |
k |
||
|
|||||
Подставляя выражения для z' |
и U' по (3.50) в уравнение де |
||||
формации (3.49), получаем |
выражение комплексной скорости |
||||
- = с ае - 1к'ох(] |
|
3/п |
(3.52) |
||
|
|
||||
Исключая из уравнения (3.52) отношение амплитуд ао/Ьо с по мощью уравнения (3.51) и обозначая сдвиг по фазе ßöx = 0, на ходим
|
С= |
— ІѲ |
|
(3.53) |
|
С ф |
3/QCQ |
||
|
|
1 + / |
|
|
|
|
|
kUQD |
|
Введем обозначение |
|
|
|
|
г_ |
3/QCQ __ |
3/n |
Fr0 |
(3.54) |
f - |
kUoD khQ{1 — Fro) |
kh0 С* 1 — Frn |
||
Выражение для комплексной скорости примет вид
|
е- ' ѳ |
(3.55) |
|
С |
С ° 1 + i f ’ |
||
|
Величина f отражает влияние, которое оказывают на развитие возмущений силы трения и число Фруда. Спокойным потокам от вечают положительные значения f, бурным — отрицательные. При числе Фруда, стремящемся к единице, /-»-оо, —оо. При числе Фруда, стремящемся к нулю, /-»- 0, но то же самое происходит и в том случае, когда к нулю стремится трение (С —>-оо).
50
Так как
! + < /= (! + / У ' Ѵ ' ,
где (p = arctgf, то формула комплексной скорости может быть записана
(3.56)
С=С° (1 + / ) ,/2 ’ или в тригонометрической форме
с = ■ ^ |
tcos (Q■ + у) - 1sin(®+?)] • |
(3.57) |
||||
Выражение для мнимой части комплексной скорости |
|
|||||
|
^ = ~ |
(1 + У у и 5ІП(Ѳ+ |
?) |
|
(3.58) |
|
■определяет следующие условия роста возмущений: |
|
|
||||
|
Fr0> 1, |
0 < |
(Ѳ-j—cp) < Tz, |
1 |
|
(3.59) |
|
Fr0< l , |
^ < (Ѳ + ср )< 2^ . j |
|
|||
|
|
|
||||
Волны возмущений нейтральные, если sin (Ѳ + ср) =0. |
|
|||||
Вещественная часть комплексной скорости |
|
|
||||
|
^ = -(і ^ 0/ 2)ѵ7 СО5(Ѳ +?) |
|
(3.60) |
|||
|
|
|
||||
позволяет определить направление движения |
волн |
(табл. |
2) . |
|||
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
2 |
|
Направление движения донных волн, по Рейнольдсу |
|
|||||
|
(одномерный поток с трением) |
|
|
|||
|
|
|
Fr0> 1 |
Fr0< 1 |
|
|
° < |
(0 + ?) < Y * |
Вверх |
Вниз |
|
|
|
< |
(Ѳ + ?) О |
|
Вниз |
Вверх |
|
|
< |
(Ѳ + <?) < |
3 |
- |
|
|
|
‘2'1С |
- |
|
|
|||
4 Я< ( ® + <?)<2я |
Вверх |
Вниз |
|
|
||
Волны будут стоячими, если cos (Ѳ+ ф) =0.
В спокойных потоках с малыми числами Фруда уклоны свобод
ной поверхности малы, а с ними малы и значения f |
(порядка |
4* |
51 |
10~5—ІО-3). Точно такой же порядок имеют, очевидно, и значения
бX
угла (p = arctg/. Так как угол Ѳ = 2л—— порядка единицы, то
Л
в спокойных потоках с малыми числами Фруда углом ср можно пренебрегать. При этом получаем условие нарастания возмущений дна в виде sin Ѳ<0, или в виде
•к -< кЬх < 2тс,
что совпадает с результатом Кеннеди.
Желая уточнить условия нарастания возмущений (3.59), Рей нольдс прибегает к той же гипотезе, что Кеннеди, — о фактической реализации волн с наибольшей начальной скоростью роста. Так как
|
As= --а0еzft(*-c/)=aoe*Cjy * ( * - Cj.O |
|
||||
то амплитуда перемещающейся волны равна |
аоекс**. Начальная |
|||||
скорость роста амплитуды будет |
|
|
|
|
||
|
( ч Г ао ^ ' ) /=0 = ^ , , |
|
(3.61) |
|||
Условие максимума |
начальной |
скорости |
роста записывается |
|||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<3 -6 2 > |
Подставляя сюда выражение для с по (3.57) |
и найдя с помо |
|||||
щью (3.54) выражения производных |
|
|
|
|
||
_Ф7==_ Л . |
д(Ѳ + 9) |
1 /й |
|
/ |
\ |
|
dk |
k ’ |
dk |
k \ |
|
1 + /2 J - |
|
после элементарных выкладок получаем |
|
|
|
|||
|
tg© |
2 ß + ( l + ß)& |
|
(3.63) |
||
|
1 + 3 / 2 - / ( 1 + |
/2)Ѳ |
||||
При f -э-О первые два корня уравнения |
(3.63) |
есть 0 = 116,2° и |
||||
0 = 281,5°. В область роста возмущений при малых числах Фруда sin0<O попадает только последний из них: 0 = 281,5°= 1,56я. Он определяет значение относительного запаздывания 8х/Х—0,78. На рис. 3.6 показана принадлежащая к области неустойчивости
ветвь связи 0 и f по уравнению |
(3.63). Пунктирная прямая отве |
|
чает асимптотическому уравнению, действительному при /-»- 0. |
||
/ = 4 ~ |
+ с^ ѳ - |
(з-64) |
На рис. 3.6 видно, что величина фазового сдвига 0 слабо ме няется при изменении f.
52