Файл: Гришанин К.В. Устойчивость русел рек и каналов.pdf

где и(х, г) и w(x, z) — компоненты местной осредненной скорости соответственно по осям х и г. Считая коэффициент турбулентной вязкости постоянным (ѵт = const), уравнение диффузии вихря за­ писываем •

где ——— субстанциональная производная.

Известно, что гипотеза переноса вихря и гипотеза постоянного коэффициента турбулентной вязкости, удовлетворительно описывая течения свободной турбулентности, приводят к существенному от­ клонению от опыта в задачах о течениях, ограниченных твердыми стенками. В частности, гипотеза vi = const сильно преуменьшает градиенты осредненной скорости у дна и еще сильнее преуменьшает градиенты концентрации взвешенных наносов.

Таким образом, исходные положения Энгелунда нельзя считать вполне обоснованными. Когда в своей более поздней работе, вы­ полненной вместе с Фредсо, Энгелунд совмещает гипотезу постоян­ ного коэффициента турбулентной диффузии с предположением о потенциальном течении идеальной жидкости, против этого трудно возражать — речь идет о крайней идеализации явления. Но ду­ мается, что если задача состояла в том, чтобы учесть эффекты ре­ альной жидкости, эффекты заведомо тонкие, к решению этой за­ дачи следовало привлечь наиболее точные зависимости (в данном случае логарифмический закон распределения скоростей). Ссылка Энгелунда на стремление иметь простую математическую модель не может считаться убедительной, поскольку и при этой простой модели он не избежал необходимости численного решения уравне­ ний.

Проследим за ходом решения Энгелунда. В невозмущенном движении, которое как всегда считается равномерным, мы имеем:

u = Uo(z), ш = 0, й = ---- ~^Гщ Гипотеза постоянного коэффициента

турбулентной вязкости дает для распределения осредненных ско­ ростей известный параболический закон Буссинеска

ние (3.67) с логарифмическим законом на отрезке оси z вне при­ донной области, Энгелунд получил следующее выражение для ко­ эффициента турбулентной вязкости:

5 4

Численный множитель в формуле (3.68) мало отличается от коэффициента 0,07, который был принят Буссинеском. Сопостав­ ление с логарифмикой позволило, кроме того, получить выражение для отношения К донной скорости к динамической

Расход русловых наносов в работе Энгелунда представлен сум­ мой расходов частиц, перемещающихся во влекомом и во взвешен­ ном состояниях: qs= qs*+ qss- Расход влекомых наносов для ус­ ловий равномерного потока принимается по формуле Мейер-Петера и Мюллера

Расход взвешенных наносов для тех же условий найдем из уравнения установившейся турбулентной диффузии

где so-— местная осредненная объемная концентрация и шо— гид­ равлическая крупность наносов. При ѵт= const после интегрирова­ ния уравнения (3.71) получаем экспоненциальный закон распреде­ ления концентрации

Тор .

Умножая местную скорость на местную концентрацию и инте­ грируя от дна до свободной поверхности, получаем удельный рас­ ход взвешенных наносов

^0 Л 0 ___ tc'o ^

где Uo — средняя скорость на вертикали. Концентрацию у дна Энгелунд определяет по эмпирической формуле

В условиях возмущенного (неравномерного) движения формула расхода влекомых наносов (3.70) и формула донной концентрации (3.74) считаются сохраняющими свою силу, если в них подстав­ лено текущее значение динамической скорости ц^ = иФ(х).

При неравномерном движении в плоскости (х, z) величина ка­ сательного напряжения определяется формулой

55-

Отсюда для текущей динамической скорости имеем выражение

где индекс А указывает, что производные должны быть взяты на линии дна. Поскольку в формуле расхода влекомых наносов (3.70) и в выражении придонной концентрации (3.74) аргументом служит динамическая скорость, учитывать сдвиг между изменениями сред­ ней скорости и касательного напряжения нет необходимости. Сдви­ гом между изменениями касательного напряжения и расхода на­ носов Энгелунд пренебрегает.

Наложив на равномерный поток малые периодические возму­ щения, опишем поле возмущений скорости с помощью функции тока Ф, такой что

Подставив величины и и w по (3.77) в выражение вихря скоро­ сти (3.65), получим

Чтобы сделать записи компактными, введем дифференциальный оператор Гамильтона V. В двумерной задаче с независимыми пе­ ременными X и г имеем

и т. д. Выражение для вихря скорости напишется в виде

Субстанциональная производная от вихря скорости при отбра­ сывании членов выше первого порядка малости будет иметь вид

Отсюда получаем линеаризованное уравнение диффузии вихря

(3.79)

Составим линеаризованное уравнение диффузии взвешенных на­ носов. При неустановившейся диффузии имеем (в общем случае)

56

Представив концентрацию s в возмущенном движении в виде

Подставляя выражение (3.84) в уравнение диффузии вихря (3.79) и выражение (3.85) в уравнение диффузии взвешенных на­ носов (3.81), получаем два обыкновенных дифференциальных урав­ нения:

Уравнение четвертого порядка (3.86) представляет собою част­ ный случай известного в теории гидродинамической устойчивости уравнения Орра—Зоммерфельда.

57