Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.07.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 1
S k ПОМШЛЕКЦШ. В о й тИи шКЕе к
. МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.В. Войтишек
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ для слушателей подготовительного отделения
Новосибирск . 1973
УДК 512 (07) + 517
Курс лекций по математике .для слушателей подготовительного отделения, В.В.Войтишек, НГУ, Новосибирск, 1973
Данный курс представляет собой оригинальное изложение основ - элементарной математики для слушателей подготовительного отделе ния ( за восемь месяцев надо повторить трехлетнюю школьную прог рамму). Кроме того, программа курса лекций по некоторый разделам выходит за рамки школьной программы, более ■приспособлена для поступления в университет и дальнейшей учебы в нем.
© |
Новосибирский государственный университет, 1973 г. |
!
П Р Е Д И С Л О В И Е
'Цель данного пособия - помочь читатели творчески усвоить ме тоды, применяемые в математике.
Автор вёл занятия на подготовительном отделении ИГУ, поэтому
затрагиваются, в основном, вопросы, относящиеся к вступительным экзаменам в вузы.
Учитывая, что многие читатели имели длительный перерыв в обу чении, пришлось выбрать простые примеры и задачи. Однако, как ка жется автору, в рамках такой сильно ограниченной и урезанной часта
математики можно понять сущность и |
обучения |
в университете, |
и |
|
будущей научной деятельности. |
* |
_ |
|
|
Автор рассчитывает на то, что |
читателю доступны, с одной сто |
|||
роны, прекрасные книги, посвящённые математическому творчеству: |
|
|||
I) Д. Пойа, "Математическое открытие", |
изд. |
"Наука", Москва,1970 |
и 2) Г. Радемахер и 0. Теплиц, "Числа и фигуры (опыт математичес кого мышления)", выпуск библиотеки математического кружка, Физматгиз, Москва, I9S2 г . , а с другой стороны, многочисленные пособия
для поступающих в вузы (см.список литературы на стр. |
145, '1 4 6 ). |
Поэтому автор старается не повторять идеи и задачи, |
приведённые |
в названных книгах. Он надеется, что читатель ещё одного, данного,
пособия сможет найти правильный путь в обилии ценных сведений, ко
торыми нагружены вышеупомянутые книги. Но желание подчеркнуть важ ность многих давно известных деталей, из которых складывается серь ёзная математическая работа, приводит к тому, что трудно избежать повторений и претендовать на большую оригинальность предлагаемого
пособия. Кроме того, следует заметить-, что |
пособие возникло |
из |
|
первого опыта чтения лекций в НІУ в 1970 - |
71 годах, и, следова |
||
тельно, ещё и по этой причине не |
лишено шероховатостей. |
|
|
Автор приносит благодарность |
работникам математического |
|
3
факультета НЕУ Рѳшетняку Ю.Г., Жафярову А.Ж., просмотревшим руко пись и устранившим часть ошибок и неудачных мест.
Автор уверен, что критические замечания читателей приведут к улучшению пособия.
15 мая 1973 г . |
В. Войтишек |
4
|
|
Г л а в а |
I |
|
|
|
|
РАЗБОР ОДНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ |
|
|
|||
|
|
|
"Математика - это язык" |
|
||
|
|
|
Гиббс, известный учёный. |
|
||
|
|
§ I . Условия задач |
|
|
|
|
Рассмотрим внимательно, что мы делаем |
(или должны делать) |
при |
||||
решении следующей |
самостоятельной работы, |
рассчитанной на два астро |
||||
номических часа. |
|
|
|
|
|
|
Подобная |
работа была дана на первом занятии с целью |
выяснить, |
||||
что ещё не забыто слушателями подготовительного отделения. |
|
|||||
Отметим, |
что |
требуетоя аккуратно |
записать решение не |
всех |
за |
дач, а тех, которые получаются. Порядок решения задач несуществен.
Задача I . Решить уравнение |
|
|
|
|
|
Зх!1 |
- 2 , х &+і/х -5 = £ х + 5 х |
+ 3 x ? + 5 x + l. |
|||
Задача 2 . Доказать тождество |
|
|
|
|
|
2,. 1 -Л ѣ ¥ы.-СозѴаС |
|
|
|||
£і^ |
= — |
— |
■ |
|
|
Задача 3 . Решить неравенство |
|
|
|
|
|
|
•Е |
л |
+£, |
|
|
х г +7х+/Л |
х& +3х |
|
|
||
Задача 4 . Построить график функции |
|
|
|
||
U s X ? + І Х І -1 . . |
|
|
|
||
Задача 5. Доказать неравенство |
|
|
|
||
а+6 . |
. .. |
А + і |
-А . |
ас>о.. |
|
|
|
|
■af с |
s ' |
|
5
Задача 6 . Рассмотрим |
на плоскости всевозможные треугольники |
||||||
с данным основанием. Найти множество (геометрическое |
место) |
основа |
|||||
ний высот, проведённых на боковые стороны треугольников. |
|
||||||
Задача |
7 . Дана треугольная пирамида |
SflBC- |
( |
S - |
вершина). |
||
На продолжении Ой |
и о& |
взяты точки К |
х Р |
такие, |
что йС=2.йК |
||
и QB= ВВР |
, М |
- середина ребра SC. Через точки |
Х , Р , М |
проведена секущая плоскость. В каком отношении она разделит объем пирамиды?
Задача 8 . Доказать, что при всяком нечётном |
п |
число |
вида |
|||
nl+?(7+Znz ) |
делится на 64. |
|
|
|
|
|
Задача 9. Упростить выражение c o - ta -іП |
|
|
|
|
||
|
Уна . |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
//н д - у Р о Г |
|
|
|
|
||
Задача 10. Построить треугольник по основанию, углу при основа |
||||||
нии и сумме (или разности) двух сторон. |
|
|
|
|
||
Задача I I . |
На плоскости задано десять |
точек, |
из |
которых семь |
||
лежат на одной |
прямой, |
а кроме них никакие |
три точки не лежат на |
одной прямой. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются эти точки?
Задача 12. Сколько различных буквосочетаний (из пяти букв каж
дое) можно получить из слов "поиск" и "атака"?
Первое замечание. Задач много, и важно не растеряться, попро
бовать расположить сознательно (чаще, однако, подучается не |
сов |
сем сознательно) задачи в последовательности от простых к |
более |
сложным или от тех задач, метод решения которых мы помним, к тем, где этот метод придётся вспоминать или даже и з о б р е т а т ь .
Второе замечание. Прикидывая, сколько времени уйдёт на решение,
надо помнить, что нам придётся не только правильно решить выбранные задачи, но и оформить письмено решение каждой так, чтобы его могли
понять большинство людей, владеющих русским языком и разбирающихся в математике. Значит,требуется не только владеть русским языком, а уметь излагать свои рассуждения на математической языке (на котором изъясняются математики).
Образцом |
изложения математических истин автор считает учебные |
||||||
пособия Маркушевича А.И. по |
алгебре |
([32] |
в |
списке литератур! |
|||
іна стр 1 4 6 ), |
Погорелова А.В. |
по |
геометрии |
( |
[12] |
на стр. 145 ) , |
|
Болтянского и |
др. по математике. |
( |
[13] |
на |
стр. |
1 46). |
.6.
|
А теперь перейдём к решению задач. |
|
§ 2 . Решение первой задачи |
Номер строки |
|
(I) |
Зх*+Чх?~ 2 x 1L+ i i x - 3 = £ х + 5 х |
(2)х ч- X s - S x & - X - 6 = 0 ;
(3) |
х ѵ- х 3 - 6 х ? + X ä - x - 6 = 0 ; |
(4)Х & ( Х Я- Х - 6 ) + (Х £ - Х - 6 ) =0;
(5)(Х&+1) (Х &- Х - 6 ) - 0 ;
(6)(ХВ+1)(Х+& )(Х -3) =0,
(7) |
Ответ: |
X' - - 2 |
і |
X, -Д |
|
|
|
Квадратный трехчлен |
х |
- х -6 |
можно |
разложить на множители |
|
устно, пользуясь формуламиВьета. |
Этого же |
результата можно добить |
||||
ся, |
решая квадратное уравнение |
|
|
х &- х ' 6 = 0
по формулам решения приведённого квадратного уравнения (коэффици
ент при X 2, |
есть единица). _ |
|
|
|
Решение первой задачи окончено, и можно перейти к разбору |
|
|||
второй задачи, если читатель уверен, что может |
и с ч е р п ы |
|||
в а ю щ е |
о т в е т и т ь |
на следующие три |
вопроса: |
|
1. Что |
значит решить уравнение? |
|
|
|
2 . На основании каких фактов приведённое здесь решение |
не |
вызовет возражений у математика? (Точнее перечислить все определе ния, аксиомы и теоремы, обосновывающие переход от одной строки выкладок к другой.)
3 . Нужна ли здесь проверка? Далее следуют ответы.
Проще всего, пожалуй, ответить на третий вопрос. Проверка, здесь не нужна, ибо не нарушена равносильность в цепочке уравне ний (I) + ( 7 ) . Таков формальный ответ. Но есть в пользу проверки некоторые соображения: заранее ответ нам неизвестен, хочется лиш ний раз удостовериться, что задача из самостоятельной работы, реше на верно. Отметим, что проверка не ответит на вопрос: все ли реше
V
7
ния найдены? Она только |
подтвердит, |
что |
испытываемое значение |
||||||
неизвестного удовлетворяет |
исходному уравнению |
или |
поможет обна |
||||||
ружить ошибку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы ответить на первый вопрос, |
раскрываем хороший учебник |
||||||||
алгебры (например, С.И. Новосёлова, |
см. |
[33] в списке |
на |
стр. 146) , |
|||||
и читаем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение |
I . Числовой функцией называется правило |
(закон), |
|||||||
которое каждому |
числу х |
заданного числового множества X |
ставит |
||||||
в соответствие одно и только одно некоторое число |
у |
из |
другого |
||||||
числового множества У |
|
* |
|
|
|
y=Jcx) |
|||
То, что |
это |
правило'установлено, записывают |
так: |
||||||
(читается: |
"игрек равно |
эф от икс"). |
|
|
|
|
|
||
Например, левая часть нашего уравнения есть функция: по любо |
|||||||||
му действительному числуJE |
можем вычислить |
|
|
|
у - 5 х ч +Цх} - £ х г' + Чх ' 5
или fest) - З х ѵ+ ЦХ?- £. х '+ Ѵх -5.
Правая часть того же уравнения есть другая функция у - <j(x)
(правая часть равенства читается: "жэ от икс"), точнее,
|
|
|
y '-i’j |
+ 3 х ^ + 5 л + і |
|
||
|
|
|
или <цх) = Bx^f 5 х * + 3 х г +5Х+1. |
||||
Определение |
2 . Числовое множество X |
называется областью опре |
|||||
деления функции, а множество У |
называется |
областью значений |
|||||
функции. |
|
|
|
|
г |
|
|
Замечания. I) Правило, о котором идёт речь в определении I, |
|||||||
задаётся |
вместе |
с числовым множеством X |
(см* по поводу этих |
||||
определений статью А.'Н. Колмогорова "Что такое функция?", журнал |
|||||||
"Квант" Л I за |
1970 |
го д ). |
|
|
|
|
|
2) |
Область |
определения иногда называется |
областью допустимых |
||||
значений - ( о .д .з .) , |
однако лучше |
привыкать сразу к |
общепринятому |
||||
среди математиков термину. Мы сужаем понятие уравнения следующим |
|||||||
определением (см. стр. ПО данного пособия ). |
|
||||||
Определение |
3 . Пусть j( x ) и |
асх) функции, рассматриваемые |
|||||
совместно в общей части областей'определения^предполагается она |
|||||||
непустой, т .е . |
имеется хотя бы одно число х |
, которое можно под-! |
|||||
ставить, |
чтобы вычислить jC x) и |
а сх)) |
. |
Тогда уравнением назы- |
8