Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

вается

равенство

j c x )

- ^(х)

,

«

выражающее

следующее предло­

жение (суждение): значение функции j c x )

равно

значению функции

а(х).

Определение 4 . Общая часть областей

определения наших функций

j(X )

и

<^сх)

называется

областью определения уравнения J(x)=<JCz).

Пусть

а -

некоторое

значение х

из

области

определения урав­

нения.

Тогда возможен один из двух случаев:

1°.

jco-1 = <^са) ,

т .е .

предложение •(суждение)- о

равенстве

значений

функций

} ( х )

и

<jcx)

при х=<г

истинно. Тогда а.

- корень уравнения (или ещё говорят

а

-

решение уравнения).

2°.

J са) Ф cjca) ,

значения функций

различны,

предложение

(суждение) ложно. Тогда говорят, что

а

не

удовлетворяет

уравне­

нию

J(x) = J(x) .

Как известно, при решении уравнения стремятся свести его к

виду

А (х)=о

("аш от икс"). Например,

х ^ -х - б -'о

,

в такой

записи

можно считать,

что

hcx)=J(x) = х^ -х-Ь , а

а(х)=о

для

всех

значений

х

(т .е .

ß x J

является

функцией,

значение

которой постоянно и равно нулю).

Определение

5 . Решить уравнение

- это

значит найти множество

определение

менее ясно и

точно (см.

учебник

по алгебре,

[28]

)'.

Определение

5 .1 . "Уравнение Jcx)

- <J(x)

выражает задачу

об

отыскании таких

значений

переменного

х ,

при которых .функции

j c x ) и

<j(x)

имеют

одинаковые

значения. Решить уравнение -

это значит найти все такие значения

х ,

т .е . все корни

(решения)

уравнения".

Рассмотрим

ещё

одно уравнение

F (л) = Gcx)

(читается "эф большое от икс равно жэ большое

от икс"),

где

ГСх)

= (x-i)-jcx),

G(x)

= (x-i)

jC x).

Тогда новое уравнение

Fex) =Gcx)

называется

следствием

ста­

рого уравнения jc x )

- ^(х).

Определение

6 . Уравнение

Fex) = Q(x)

является следствием

уравнения

j ( x ) = q c x ) ,

если множество корней первого уравнения

Fex) - G (х )

не меньше ( включает в себя) множество корней вто­

рого уравнения

je x )

= ^ex).

Заметим, что в уравнении

F(x) =G(x)

сокращать на (х-1)

нельзя,так как потеряем корень х - І .

Определение

7 . Если не только уравнение. Fex)-Gex)

является

следствием

уравнения

fex) - <f(x)

но и уравнение j(x )= усх)

оказалось

следствием

уравнения

F(x) - G(x) ,

. то

эти

два

уравнения называются равносильными.

Короче, равносильные уравнения имеют одни и те

же множества

корней.

Иногда говорят, что уравнения в рассматриваемом случае экви­

валентны.

Надо отметить, что понятие равносильности зависит от ограни­

чений на множества чисел, которые

составляют

область определения

данных уравнений.

Теперь можно сформулировать теорему,

на

основании которой

мы

.смело проводим тождественные преобразования уравнения

jex)=cj(x)

л виду Аех)=о,

- ,

где в первой задаче

I

,

Асх) = х ч- х ? - 5 х г’- х - 6 ■

ТЕОРЕМА

I .

Если функция

і ( х )

задана в области, определения

уравнения

утл:;

= cj(x) ,

то

уравнение

/С х)

+ 2(х) = а(х) -ПСі)

равносильно

уравнению jc x )

=<з(х) . '

(Заметим, что в первой задаче

г ( Х ) = - 0 ( х ) ) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем, что новое уравнениеßx)+t(x)=

= cj(x)+Kx)

является

следствием

уравнения ß x ) =ß X ) .

Пусть а

-

корень уравнения

jc x )= ß x ),

тогда

верно числовое

равенство ß a ) - ß a ) .

При х = а

по условию теоремы можно полу­

чить число

к о .) . Прибавим к обеим

частям числового

равенства

\

jca) - ßo.)

число z(<2).

Получим

равенство

jCa) + tea) - ß ü )

і-гса),

из которого

видно, что число а

является корнем уравнения

j(x)-n (x)-ßx)+ icx). Таким образом,

всякий корень уравнения

J(x)= ß x )

служит корнем уравнения

J (X) + КХ)

= ßX )tZ(X ).

Верно

и

обратное утверждение —уравнение

ß x )

- ß x )

есть

следствие

уравнения ß x )

tt( x ) = ß X ) + гсх)

;

уравнение

J(x)~

функции

-гсх)

и приведением подобных членов. Так как их) задана

в общей области определения функций J(x )

и

ß x ) ,

то

уравнение

ß x ) = ß x )

является следствием

уравнения

ß x ) + г(Х) = ^ (х) + г(х).

Доказательство завершено, и мы имеем логически стройное обосно­

вание

перехода от уравнения

3x \ ^ x Z- â x Z+ ^ x - S ^ ß x 4+ 5 х + З х * + 5 х + 1 '

к уравнению

X V- X - 5 л

X - 6 - о.

Надо заметить, что при доказательстве

мы ссылаемся на свойства

числовых равенств, которые формулируются так:

1. Если

даны три числа а,

6,-с

и дано,

что

а -

то

верно

равенство

а + с = 6 +с \

2.

Еслг даны числа а, 6, а

и дано,

что

то верно

ра­

венство

а -с = 6 - а .

Это аксиомы (или первые следствия из

них)

операции

сложения,

которая,

как мы считаем, выполняется в области определения уравне­

ния (на множестве действительных чисел).

Беремся к выкладкам на стр. 7 .

Нами обоснован

переход

от

строки (I) к строке (2 ). До строки

(6) приведены

обычные

тожде­

ственные преобразования функции А ( х ) = х >І- х ‘- З л .£' - л - б

к

ШДУ

h (х) = ( х хг 1)(х +ZKX-31

У'равне{теае+/)(х?£)(х-3)-о

равносильно совокупности трёх

уравнений

Между прочим,

последнее

утверждение является

теоремой, т .е . требует

доказательства

(см. [13]

, глава

9 ).

ТЕОРЕМА 2 .

Если левая.часть

уравнения h (x)-o разлагается на

множители, то

уравнение

Ахх)=о

равносильно

совокупности уравне­

части.

s -

Определение 8 . Совокупностью

уравнений называется множест­

во

S r

уравнений

I, (X)

(X)

JZ (X )-^ C X );

J s W ^ s C X i ,

выражающих следующее

предложение

(суждение): при данном

значении

неизвестного удовлетворяется хотя бы одно из данных уравнений.

Определение 9 . Решить совокупность уравнений -

значит решить

каждое уравнение и объединить все решения в одно множество,

выки-

"нув те корни, при которых теряет

смысл хотя бы одно

уравнение

из

данной

совокупности.

Вернёмся к совокупности уравнений,

порожденной

уравнением

А(х)-0. Уравнение

х е+1=о

не имеет решений во множестве

действительных

чисел.

Остальные уравнения линейные.

(Что

это

такое?).

Корни

х ,= -£ ;

х £ -3

одновременно являются по теореме

I и 2

корь

нями исходного

уравнения.

Здесь имеет смысл (чтобы не

было путаницы в дальнейшем) срав­

нить

совокупность уравнений с.системой уравнений