Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

неизвестного верны сразу все

S уравнений.

Решить систему уравне­

ний— значит найти все корни,

принадлежащие

общей (непустой,

по

предположению) части областей определения каждого уравнения.

Следует обратить внимание на объединительный знак, который

ставится слева от всех уравнений в случае системы уравнений.

И, наконец, отметим, что

наша тройка уравнений, рассматривае­

речива).

'

Подведём

итог.

Мы довольно быстро

нашли решение, но его обосно­

вание заняло

много

места. Однако наше

обоснование ещё не полно:■

■Как говорит Адамар (см. ([31] стр. 19, 20; стр.

244,

245), а такжё

данное

пособие,

стр. 56);„Мы должны допустить,

что некоторое

обстоятельство имеет место:

1°)

если оно является частью условия;

2°)

если оно является частью определения одного

из элементов,

о- которых идёт

речь;

3°)

если оно вытекает из аксиомы;

4°)

если оно

вытекает из одного из предыдущих доказательств.

В рассуждениях ни одно положение не должно считаться верным

иначе,

как в силу одной из этих четырёх причин".

1

13

§ 3 . Решения остальных задач

Решение

второй задачи

Условие

задачи: доказать

тождество

й ,

L-SinoL - â o /d .

£І<] U

'

oos*°c

Определение I .

Тождеством

называется такое уравнение j(U) =

=

что множество корней этого уравнения совпадает с его

областью определения (см.

определение 5 в решении

первой

задачи).

Определение 2 . Доказать тождество—значит путём допустимых

(тождественных) преобразований привести исходное

уравнение к прос­

тейшему и очевидному уравнению (равенству).

Замечание. Прежде, чем доказывать тождество,■надо проверить

условие. Например,

условие данной задачи в учебнике [32]

записано

так:

ч

£ tqlc

=

■COS ai

вой и

правой части: tooi

не

существует

при

ы.

= 90°+І80°- п.

,где

л- - любое целое число;

правая часть не

вычисляется,

если

зна­

менатель равен нулю, т .е .

при

ы.

= 0о+І80о-/п

, где т.

- любое

целое

число.

-

Проверка.. Пусть ы.

=

45°.

Слева

2 ^ 4 5 °

= 2 . Справа.

І-Зіл Ч5°-cos

s £

.

'

&sg

S i n 4 s °

‘/ ч

To есть при ai = 45° равенство справедливо.

Пусть

ы. = 30, о ., 2 t ^

30и а 2 - ( ± ) 1

=*/*■

J-Sin430°-COS430°

t - L

- Z

= 6

1 '6

*

Но этот факт, конечно; не значит, что

так будет для любых углов

е* ф 90° +

І 80° п

(такова область определения уравнения).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допусти«, что в условии дано верное равенство,

имеющее смысл при

ф

90° +

І80° я.

Умножим-обе части этого

равенства на

cos“di

(ФО),

&

ч

-

ч

ч

£ to ы. ■cos оС = 1

Jin at

-co s ос ;

J in k 'd .

у

-

у

и

£ • ggf2^

'GOSct = I

Jin d

—COSd- '

Решение третьей

задачи

Условие: решить неравенство

X

^

X

Х & +7х+{£

X е +3х +2. ''

Введём обозначения: левая

часть

есть функцияjc x ) =x è - jx+j^ '

такие, что знамёнатель не обращается в нуль.

_____ ,

Если

х е + ? х - И £ = 0 ,

то х ,~

+ y ^ ~ t £ ■>

1

/

1 ■

1

X - — + — =- 3.

х„.=---------- = -ч

' 2

£

2

2

2

(эти значения можнс было найти по формулам Вьета устно).

Итак,

х &+7х +{£ = (х+5)(х+ч) ,

и

j c x )

не

существует

при

X = - з ,

X -—У.

cj(x)

Обозначим

правую часть через

и найдёмеё

область

опреде­

ления х ? + З х + £ = о

или_

сх±Шх±£) = о ,

,

значит,

а(х)

не

существует

при

х = - і

,

х = -£

Областью определения данного неравенства (см. определение

в

решении этой задачи)- являются все

действительные числа х , исклю­

чая четыре числа:

Х Ф - І

\

х

Ф-& ;

х Ф - 3 ; х ф - 1).

Для оставшихся чисел х

надо найти

подмножества (часть множества

действительных чисел х

) ,

в

которых выполняется предложенное

не­

равенство.

X

X

(1)

х*+7х+!&

х& +3X+Z

(2)

X

>

X

х ^ + ух +Ш

1

X * +Зх+2.

(3)

X

х

- с т*

Х& +ЗХ+Л

x z + ух + !&

(4)

г

f

1

*

) >0;

^

1 X Z+5X+&

Х& + 7Х +/2)

(5)

f (Х&+7х+1£)- (х^+Зх+Я) \

1 (Х&+ЗХ+,S) (х& +7x+t£) ! >О;

( 6)

________ хсчх+Ю )

0

(х*+Зх-ЩЛ(х*+Ух+Ю

(7)

Ч х ( х + % )

0 -

(X+1HX+Z)(X+ЗНХ+Ч)

Последнее неравенство удобнее решать методом интервалов (см.

[14] или [14.1] на стр

145)

Это

означает, что на числовой оси,

где

мы откладываем

значения

х ,

отмечаются части этой оси,где поло

жительны(т.е. значения х

при которых положительны)отдельно

числи

тель и отдельно знаменатель

Отмечаются также и те участки числовой

оси, где числитель и знаменатель

отрицательны

А затем

выбираются

те части оси, где знаки числителя и знаменателя

совпадают. Смотрите

РК* И И :

ЗНАК

HMCAHTEJß

......

..............

_______ -3

-г (~~) - 1 ______У

(-Н

^

W . Л М Л Ш А A - / . Â . с + ;.

*

ЗНАК

ЗНАМЕНАТЕЛЯ

4)

X > о.

Замечание. Проще исследовать знак

произведения

х ( х + \)[x -H )(x+2,)(xf3)(x+ 4)-

Обоснование. Начало данного обоснования совпадает с началом

обоснования решения уравнения в первой задаче. Здесь

J CX) '

х &+ 7 х + f& ’

1 СХ) х & +3х+і&

не пуста, т .е .

есть

такие

числа х

,

, при которых обе функции мож­

но вычислить и сравнить полученные

значения.

*

Определение I . Неравенством (функциональным неравенством) для

fix )

и fix)

называемся соотношение

fix )* fix ) , выражающее суж­

дение: значение функции

j ( x )

меньше значения функции

f i x ) .

Определение 2 . Общая часть областей

определения функций j(x )

и f ix )

называется

областью определения неравенства.

В нашей задач*

-

это

все

действительные

числа, кроме

чисел - I ,

—2 , г-3, —4.

Если некоторое

число

а

взято

из

области

определения

неравен­

ства,

то либо

1°)

f i a ) -с

Q(a) ,

т .е .

суждение истинно;

тогда