Файл: Богомолов С.И. Взаимосвязанные колебания в турбомашинах и газотурбинных двигателях.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.07.2024
Просмотров: 109
Скачиваний: 0
связанные с построением дискретной модели круглой пла стины, динамически подобной исходной системе при ми нимальном числе масс, проведены О. К. Сливой [41]. Предлагаем следующий вариант построения дискретной
модели |
диска. |
|
на к |
|
|
|
|
|
|
|
Диск |
разбивается |
кольцевых |
полос |
постоянной |
||||||
ширины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяются |
радиусы на |
|||||
|
|
|
|
ружного и внутреннего кон |
||||||
|
|
|
|
тура |
полученных |
кольцевых |
||||
|
|
|
|
пластин |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r ' i + l |
= |
r'i + |
8, |
r'i = |
r0 |
|
|
|
|
|
|
(t = 1, 2 , . . . , k). |
|||||
|
|
|
|
Вычисляется |
погонная |
|||||
|
|
|
|
масса |
кольцевой |
пластины |
||||
|
|
|
|
по формуле |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
г<+і |
|
|
|
Рис. 5. |
Дискретная модель |
|
|
|
р У |
rh{r)dr |
|
|||
|
|
|
п |
|
|
|
||||
|
диска. |
|
|
|
пь |
= |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Г де п — радиус |
центра |
тяжести |
погонной |
массы |
кольца |
|||||
|
|
|
£ |
h(r)r4r |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гі |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
h (л) |
rdr |
|
|
|
|
|
p — плотность |
материала |
диска; |
|
|
|
|
|
|||
h (/') — переменная вдоль радиуса толщина |
диска. |
|
||||||||
Масса т, сосредотачивается на радиусе |
|
Интегралы |
||||||||
вычисляются путем численного |
интегрирования. |
Умень |
||||||||
шением шага интегрирования можно добиться желаемой точности в вычислении масс дискретной модели.
Упругие свойства невесомых кольцевых пластин между массами, ограниченных радиусами rt и л , + і , определя ются матрицей, связывающей параметры деформирован ного состояния на внутреннем и наружном контурах
18
пластины. |
Д л я получения этой матрицы можно восполь |
||||
зоваться |
методом, |
предложенным |
в работе |
Эриха [48]. |
|
Д л я |
получения матрицы невесомого упругого участка |
||||
Эрих |
предлагает |
представить его |
кольцевой |
пластиной |
|
постоянной толщины. Это дает возможность воспользо ваться точным решением для получения матрицы участка, однако для построения дискретной модели диска с резким изменением толщины требуется большое коли чество масс.
Расчеты, выполненные авторами, показали, что на
точности |
дискретной модели в большей мере сказывается |
|
не число |
масс, а правильный учет упругих |
свойств не-' |
весомых |
участков. На основании этого для |
получения |
матрицы |
упругого участка между массами можно разбить |
|
этот участок на несколько подучастков постоянной жест кости и матрицу участка переменной жесткости между массами определить как произведение матриц подучастков постоянной жесткости [7].
Матрицу упругого участка можно вычислять путем интегрирования методом Рунге - Кутта основных диф ференциальных зависимостей изгиба круглой пластины с учетом сил, действующих в срединной плоскости диска. Это позволяет более точно учесть влияние центробежных
сил и |
неравномерного |
осесимметричного нагрева диска. |
|||
Матричное |
уравнение |
упругого |
невесомого |
элемента |
|
диска. |
Матричное уравнение изгиба |
невесомой |
кольцевой |
||
пластины связывает параметры деформированного состоя
ния в ее крайних |
сечениях |
и |
записывается в виде |
" |
рх~ |
|
P.K 1 |
My |
|
|
My |
и |
= |
Et |
U |
dU |
|
|
dU |
-dr ГІ+\
гдеРх, My — амплитудные значения обобщенной перерезы вающей силы и изгибающего момента;
лdU
и, |
— амплитудные значения |
линейного и |
углово |
|
|
го перемещений сечения |
пластины. |
|
|
Матрица Et |
получается путем интегрирования |
методом |
||
Рунге—Кутта |
системы четырех дифференциальных |
урав |
||
нений, описывающих изгиб пластины и разрешенных от носительно первых производных параметров Рх, Ми, U, d~.
19
|
Д л я |
|
получения |
системы |
уравнений |
используются |
сле |
|||||||||||||
дующие |
соотношения |
[30]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1. |
Уравнения равновесия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
дг |
+ |
аѳ |
і |
дг["г |
|
гдг |
J + |
08 [г |
1 П д и |
J |
и' |
|
Ѵ> |
|||||
|
|
|
|
|
д(М-.г) |
|
öM.a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
- ^ |
P |
+ |
^ |
° |
- |
M |
0 - Q |
, . r |
= |
O, |
|
|
(10) |
||
|
|
|
|
|
- S r 2 — |
+ |
"de |
+ |
|
|
Qo- |
г = |
0, |
|
|
(11) |
||||
где |
|
|
Qr , Qe — поперечные |
усилия, |
действующие |
на |
еди |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ницу |
длины |
в цилиндрическом |
|
и |
мери |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
диональном |
сечениях |
диска; |
|
|
|
|||||||||
M r |
, |
M t , |
Mra — изгибающие |
и |
|
скручивающий |
моменты |
|||||||||||||
|
|
N |
|
, |
действующие |
в |
тех |
|
же |
|
сечениях; |
|
|
|||||||
|
|
r |
jV§ — усилия |
|
в срединной |
плоскости |
|
диска, вы |
||||||||||||
|
|
|
|
|
званные |
центробежными |
силами |
и |
осе- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
симметричным |
неравномерным |
нагревом, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
при |
этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
N г = °г • h, |
|
NQ = а0 |
• h; |
|
|
|
|
|||||||
"п °ъ— |
соответственно радиальное и окружное |
|
нормаль |
|||||||||||||||||
и(г, |
|
|
ные |
напряжения |
|
в |
диске; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в)—перемещение |
сечения |
диска |
вдоль |
оси |
ротора |
|||||||||||||||
|
|
|
|
(оси |
х). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Усилия |
N r, |
Nu |
являются |
решением |
статической |
зада |
|||||||||||||
чи о напряженном состоянии диска, находящегося в поле
центробежных |
сил |
и |
неравномерного |
нагрева, т. е. опре |
||||||
деляются |
независимо |
от изгибиых колебаний диска и для |
||||||||
получения |
матрицы |
упругого участка |
являются |
исходной |
||||||
информацией. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Соотношение |
между |
|
моментами |
и |
деформациями |
|||||
|
|
|
~, |
ід'1и |
. |
( 1 |
du . |
1 |
дЧс\) |
|
|
Mr |
= - |
D |
^ |
+ |
ѵ \ Т 7 Г |
+ - |
™ |
, |
(12) |
« „ » - o a - ^ l f i - l ) . |
,14) |
Система, разрешенная относительно первых производных параметров деформированного состояния в сечении диска, получена следующим образом.
20
Из уравнения (10) следует, что |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где Р = Qr |
у |
|
|
— обобщенная |
перерезыгающая |
сила. |
||||||||||||
Умножая |
(12) |
|
на |
ѵ и |
вычитая |
из него |
(13), |
получаем |
||||||||||
|
м ^ т г - о ( |
і |
- |
^ |
+ |
Щ . |
|
|
(іб) |
|||||||||
Подставляя |
(16) |
в |
(15), |
записываем |
|
|
|
|
|
|
||||||||
дМг |
і _ ѵ |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
I \ |
du |
|
\ дги\ |
|
2дМгЛ |
||
Учитываем, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
дг ~ |
iïr |
1 ^ |
r |
1I |
r |
Ml |
1 |
|
rlr |
r |
1 I ЛгЛП |
|
r%1 |
du |
' |
||
|
дг |
|
|
|
r |
dfi |
J |
|
dr |
r |
дгдО |
|
r |
|||||
тогда |
уравнения |
(9—11) |
после |
несложных |
преобразова |
|||||||||||||
ний позволяют |
записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
дР |
= |
|
_ |
\_ р |
_ |
2_ дМ^ |
^ |
2_ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
дг |
|
|
|
г |
|
|
г1 |
да |
|
г2 |
дѲа |
' |
|
|
|
|
|
|
|
д |
I |
|
ди\ |
, |
д |
I |
|
1 |
ди |
|
|
|
(18) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальное |
уравнение, |
разрешенное |
относи- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ди |
|
|
|
|
тельно |
первой |
производной |
параметра |
^ |
, |
можно |
полу |
|||||||||||
чить из соотношения |
(12): |
|
|
I 1 |
|
I 1 д!и\ |
|
|
. . . . |
|||||||||
|
д |
(ди'\ |
|
|
|
|
1 |
M |
|
|
д и |
|
|
|||||
|
д?(д?) |
|
= |
- |
|
D М г |
- ' |
' [ 7 Ь 7 + ^ Щ - |
|
|
№ |
|||||||
Очевидно также, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теперь |
положим, |
|
что |
прогиб |
пластины |
определяется вы |
||||||||||||
ражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (г, 0, і) = |
(У (г) sin пѲ cos (р/ + |
е). |
|
|
(21) |
||||||||||||
Соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Мг |
|
= |
My (г) sin |
/іѲ cos (pt + |
e), |
|
|
|
|
||||||
21
