Файл: Богомолов С.И. Взаимосвязанные колебания в турбомашинах и газотурбинных двигателях.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.07.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 0
|
Р = |
рх |
(г) sin пд cos {pt + s), |
(22) |
||||||
|
du |
= |
dU |
(г) . |
|
„ |
. . |
, . |
|
|
|
F |
- ^ s i n |
n O cos (ßt |
+ e), |
|
|
||||
где п — число |
узловых |
диаметров |
колеблющегося диска; |
|||||||
р — собственная |
частота |
колебаний. |
|
|
||||||
Подставляя |
(21) |
и |
(22) |
в |
(17) — (20), |
получаем |
||||
£ . _ 1 Р.+(5=+$ |
|
|
|
|
+ |
+ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ѵ/Ѵ„ — /Ѵ„ |
+ ^ ( Л / 0 - Ѵ І Ѵ , ) К / + |
— |
г / |
|
— + |
|
L |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(23) |
rfM</ _ |
р |
|
1 - |
V |
„ |
р (1 - |
у ) |
(3 + у ) .. |
||
~dT ~ |
х |
|
Т~ m , |
J л |
|
7» |
и |
~~ |
||
|
_ |
Д С — |
С + ѵ + |
2na ) |
dt/ |
|
|
|||
или |
|
3 F = ^ . |
(24) |
где |
|
Х г = ( я , , M„, с/, |
^ |
а коэффициенты матрицы А, определяемые из (23), имеют значения
An |
— — — ; Ai2= |
|
R2 |
+ |
~ , |
|
|
|
|
. |
Р п Ч 1 - ѵ ) [ 2 |
+ |
/ г 2 ( І + ѵ ) ] , |
» 2 |
(NQ-VN,) |
||||
із |
|
^ |
|
|
|
|
г |
' |
Г " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А u |
Dil2 |
(1 — |
v) |
(3 |
+ |
v) |
^ N |
r — |
N 4 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
- [ - А |
- - } — ! • |
A |
D ( 1 " v ) ( 3 + v)- |
|||||
•ГІ21 — !» Л 2 |
2 — |
|
|
1 |
> " 2 3 |
— |
> |
||
22
Ая 1 = А3г = А33 = Ац = 0.
Линейность |
системы |
(24) |
позволяет |
записать решение |
||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Рх |
|
|
Еп |
El3 |
|
|
ГP x |
1 |
||
|
My |
|
|
Е%2 В23 E24 |
|
ми |
(25) |
|||
|
и |
|
|
E32 -^зз |
•^34 |
|
и |
|||
|
dU |
|
|
E42 |
•^43 |
|
|
dU |
|
|
-dr |
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где En — коэффициенты |
искомой матрицы |
Е/. |
||||||||
Первый |
столбец матрицы |
E t |
получаем, |
интегрируя |
||||||
систему (24) |
при |
начальных |
условиях |
|
|
|
||||
|
Рх, |
Ми, |
U, |
dr |
|
(1, |
о, 0, |
0), |
|
|
второй — при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рх, |
My, |
U, |
dU |
|
(0, |
1, |
0, |
0) |
|
|
^ ) = |
|
||||||||
ит. д.
Дл я удобства сопряжения матрицы дискретной модели диска с матрицей лопатки, а также для диска без цен трального отверстия, интегрирование необходимо выпол нять от наружного контура пластины к внутреннему (с отрицательным шагом), т. е. получить матричное соотно шение вида
Xt^E'tXt+i. |
(26) |
Д л я диска с центральным |
отверстием, а также для |
диска, жестко или упруго закрепленного по окружности
некоторого |
радиуса, можно |
использовать соотношение |
||||||
ка. |
Матрица |
массового |
элемента дискретной |
модели |
дис |
|||
Матрица массового элемента дискретной |
модели диска |
|||||||
связывает |
параметры |
деформированного |
состояния |
слева |
||||
и |
справа |
от массового элемента. Матрица |
получена |
|||||
из |
рассмотрения условий |
равновесия |
сил |
и |
моментов, |
|||
23
приложенных к массе, и равенства геометрических парамет ров слева и справа от массы (рис. 6). При переходе от £ + 1-го сечения к і-му матричное соотношение имеет вид
Г-Рх -1 |
1 |
0 |
,щр2 |
0-, |
|
|
My |
0 |
1 0 |
0 |
My |
||
U |
0 |
0 |
1 |
0 |
и |
|
M |
0 |
0 |
0 |
1 |
dU |
|
i-dr - J |
-dr |
|||||
|
|
|
|
|||
или |
Xi |
= |
G{Xi+\ |
(27) |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
miP2UL |
|
|
|
Р и с |
6. |
Усилия, |
действующие |
на эле |
|
||
|
|
мент дискретной модели |
диска. |
|
|
|||
Матричное |
уравнение |
колебаний |
|
дискретной |
модели |
|||
диска. |
Рекуррентные соотношения |
перехода |
через |
упру |
||||
гий участок (26) и массовый элемент |
(27) |
позволяют за |
||||||
писать |
уравнение |
дискретной модели |
диска |
в виде |
|
|||
|
Х Л о = ЕІ |
• |
GiE\ . . . |
EiG£+i . . . |
GkE\Xrk, |
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xr, |
=DXrA. |
|
|
|
(28) |
Это уравнение связывает параметры деформированного состояния на наружном и внутреннем контурах диска.
Здесь, очевидно, следует сделать замечание. Интегрирование системы (24) с добавлением членов
распределенной инерционной нагрузки диска позволяет получить матрицу без построения дискретной модели диска. Однако использование дискретной модели дает возможность значительно сократить время расчета соб-
24
ственных |
колебаний системы, |
частотное |
уравнение |
кото |
||||||
рой |
решается |
методом |
проб. Д л я этого необходимо, |
чтобы |
||||||
алгоритм |
программы |
предусматривал |
вычисление |
матриц |
||||||
Et один раз и в |
дальнейших |
расчетах |
с |
пробной |
часто |
|||||
той |
использовал |
их как готовую информацию. Получение |
||||||||
матрицы |
D с распределенной |
инерционной |
нагрузкой не |
|||||||
позволяет |
этого |
сделать. |
|
|
|
|
|
|||
Определение |
усилий, |
действующих |
в |
срединной |
плоско |
|||||
сти |
неравномерно |
нагретого вращающегося диска. Исполь |
||||||||
зуем |
уравнение |
равновесия |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dTr |
[rhcr) — ha0 + |
рШг2 |
= |
0 |
|
(29) |
|
и уравнение |
совместности деформаций |
|
|
|
||||||
|
|
і ( г - і - |
+ |
^ |
) - Ч - ѵ ( - |
- ^ = о , |
|
(зо) |
||||
где |
аг, |
оо — нормальные |
напряжения |
соответственно |
в |
|||||||
|
|
радиальном |
и окружном |
направлениях; |
|
|||||||
h = h(r) — переменная |
вдоль |
радиуса |
толщина |
диска; |
||||||||
|
|
Ü — угловая |
скорость вращения |
диска; |
|
|
|
|||||
Т = |
Т |
(г) — температура |
диска на окружности |
радиуса |
г; |
|||||||
Е = |
Е (Т) — модуль |
упругости, |
зависящий |
от |
темпера |
|||||||
|
|
туры; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = |
а (Т) — коэффициент |
линейного |
расширения; |
|
|
|||||||
|
р, |
м — плотность |
материала и |
коэффициент |
Пуас |
|||||||
|
|
сона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения (29), |
(30) |
с |
соответствующими |
граничными |
||||||||
условиями определяют напряженное состояние, возни
кающее |
в диске вследствие |
вращения и |
неравномерного |
||||
осесимметричного |
нагрева. |
|
|
|
|
||
Рассмотрены следующие варианты граничных условий. |
|||||||
На |
наружном |
контуре |
облопаченного |
диска |
|||
|
|
|
_ |
РгА-Пл |
|
|
|
где РгА |
— центробежная сила |
в корневом |
сечении ло |
||||
пл |
патки; |
|
|
|
|
|
|
— число |
лопаток; |
|
|
|
|
||
г А — н а р у ж н ы й |
радиус |
диска; |
|
|
|||
/і А |
— толщина |
диска |
на радиусе г А . |
|
|
||
На |
наружном |
контуре |
необлопаченного |
диска |
|||
|
|
|
о , А = |
0. |
|
|
|
25
На внутреннем контуре диска с центральным отвер стием
для диска без центрального отверстия
Интегрирование |
(29), |
(30) |
осуществляется методом |
Рунге — Кутта . Д л я |
того |
чтобы |
при интегрировании ис |
ключить операцию дифференцирования переменной вдоль
радиуса |
толщины |
диска |
Іі=Іі(г), |
|
введем |
|
новые |
пере |
||||||
менные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ^ г Ь г , |
а 3 = |
J |
— |
~ о г |
+ |
а Г . |
|
|
(31) |
||
Относительно новых |
переменных |
уравнения |
(29) и |
(30) |
||||||||||
запишутся |
следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
йТ = |
|
+ Eka2 — (aE/iT |
+ |
?Q2hr2), |
|
||||||
|
|
|
dr |
Ehr^-^ |
|
|
|
|
} |
— a |
I |
' |
|
|
или |
в матричном |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
§ |
= |
'Z |
+ |
F. |
|
|
|
|
(32) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eh |
|
|
'—{aEhT |
+p9.2hr2' |
||||
|
, |
3 |
— |
|
|
1 — - ; F = |
|
1 — V „ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
Ehr2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
al |
|
|
В |
новой |
системе |
переменных |
граничное |
|
условие |
на |
|||||||
наружном |
контуре |
облопаченного диска |
записывается |
|||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р, |
• п„ |
|
|
|
|
(33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2* |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
соответственно для |
необлопаченного |
диска |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0| . д |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
На внутреннем контуре диска с центральным отвер |
||||||||||||||
стием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01.0 |
= |
0, |
|
|
|
|
|
(34) |
26
