Файл: Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях.pdf

В ветви с чшостью тока не было, так как под дейст­ вием источника конденсатор зарядился до некоторого напря­ жения, которое оставалось на зажимах конденсатора до ком­ мутации .

Величина этого напряжения

§3. Вынужденный и свободный процессы

Вобщем случае анализ переходных процессов в линей­

ной цепи с сосредоточенными параметрами ^ Z , ; £ , M сво­ дится к решению обыкновенных линейных неоднородных диф­ ференциальных уравнений, выражающих законы Кирхгофа.

Эти уравнения представляют линейную комбинацию напряжений, токов, их гроизводных и интегралов.

Например, езли цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов Г L и С . подключить к источ­ нику з.д.с, которая является непрерывной функцией вре­ мени (рис. 1 . 4), то дифференциальное уравнение имеет вид:

Пислѳ дйфференцѵірова"ѵія это уравнение приводите. " неоднородному диффѳрѳнииальиэму уравнѳн..ю второго 'поряд­ ка :

Подставляя полученные выражения производных в урав­ нение( 1 . 6 ) , получаем

Уравнение (1.7) называется характеристическим урав­

нением по отношению к уравнению (1.6) .

Характеристическое уравнение есть квадратное уравне­

Общее решение уравнения (1.6) можно записать в виде:

ным вещественным корням или отрицательным вещественным частям комплексных корней характеристического уравнении.

Аналогично .-южно определить напряжение, заряд и другие величиныпри переходном процессе.

Метод расчата переходных процессов, основанный на опредедед^вьща^ннрй сосгавлншщай (как частное решение неоднородного уравнения) и свободной составляющей (как

il

общее решение однородного уравнения), называется классичѳским методом

§ 4. Примерный порядок расчета переходных процессов в простых цепях с одним

реактивным элементом

1 . Для цепи после коммутации по второму закону Кир гофа составить дифференциальное уравнение относительно величины, которая согласно законам коммутации не измен ся скачком.

2. Перейти от неоднородного уравнения к однородному

3. Составить характеристичискоѳ уравнение и опреде­ лить его корни.

4. Записать общее решение однородного уравнения - свободная составляющая - в общем виде.

5. Для определения вынужденной составляющей рассчи­ тать установившийся режим для цепи после коммутации.

6.Рассчитать установившийся режим до коммутации

ипри помощи законов коммутации определить начальные условия.

7.Записать ток-(или напряжение) переходного про­ цесса в общем виде, как сумму вынужденной и свободной

составляющих,и по начальным условиям определить постоян­ ную интегрирования.

8. Найденную постоянную интегрирования подставить в общее решение.

9„ Построить кривую зависимости переходной величины от времени.

§ 5, 0 характеристическом уравнении.

Важно уметь до расчета пѳреходиовб процесса по сх ма определить, какова будет степень характеристического уравнения. Такое умение позволяет оценить трудность предстоящего расчета и способствует выявлению Ошйоки,

14

если она допущена при составлении характеристического уравнения.

Степень характеристического уравнения определяется числом независимых начальных условий Й НѲ зависит от числа активных сопротивлений схемы и вида э.д.с, воз­ действующей на цепь. Число же независимых начальных усло­ вий определяется числом реактивных элементов схемы после ее максимального упрощения. При этом под максимальным упрощением схемы понимают замену последовательно сое­ диненных индуктизностей (индуктивностей, обтекаемых одним током), одной эквивалентной индуктивностью и замену парал­ лельно соединенных емкостей (емкостей, находящихся под одним напряжением) одной эквивалентной емкостью.

1

— C Z J — —

Рис. 1.5.

Число корней характеристического, уравнения равно степени уравнения.

Уравнение первой степени имеет всегда отрицатель­ ный вещественный (не мнимый и не комплексный) корень.

Уравнение второй степени можѳт иметь:

1)два вещественных не равных отрицательных корня;

2)два вещеетленных равных отрицательных корня;

3)два комплексно сопряженных корня с отрицательной вещественной частью;

15

Уравнение третьей степени может иметь:

1)три вещественных не равных отрицательных корня;

2)три вещественных отрицательных корня, из которых два равны друг другу;

плексно сопряженных с отрицательной вещественной частью

Корни характеристическогоуравнения входят Е выраженин для свободных составляющих {йеР* или й^е^+Д^Р.

и т.д.). Все свободные составляющие с течением времени ДОЛЕНЫ затухать, так как энергия, запасенная до коммута­

ны спадать (затухать) вовремени, то, следовательно, ве­

ЦепьçL}то есть реальная катушка, имеющая активное сопротивление и индуктивность, присоединяется к источни­ ку с постоянной э.д.с. £ (рис. 1.6).

Рис. 1,6.

Дифференциальное уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа относительно величины, которая не изм няѳтся, то есть относительно тока для времени имеет вид

(І.ІО)

dt

іь