Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.07.2024
Просмотров: 173
Скачиваний: 1
1 0 6 |
А <-"0 |
, |
- ла |
. (>о |
_ п -6-І» |
|
где |
А,_ счгО = к е |
, |
Аг с ^ = ь е , |
|
||
В нашем случае |
|
|
|
|
||
|
|
/~ s |
|
/ ~ |
N |
( 1 Л О ) |
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь формулами для вычисления тензоров напряжений ж (1.9), получим
( I . I I )
К1=1 1 = 1
где |
К - |
нечетные числа, |
т.е. К = |
1,3,5,... |
|
||
Если |
11.II) подставим в |
(1.10), |
то получим |
|
|||
|
К - 1 |
L - J . |
|
|
L |
J |
(I . I2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ Ц К |
A; ( ° V > K Ъ:"СЛ] |
= о. |
||||
|
К = 1 |
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
т7 |
|
|
|
|
Теперь разложим в ряд Фурье ^ |
в |
промежутке |
(°,зг ) |
||||
Г -згр i L -' -к
Подставляя |
(І.ІЗ) |
в (І.12) ж сравнивая, |
получим |
|||
b1 - 2 к а + £ 2 |
( а + К ) = 0 . |
|
||||
Пользуясь |
(1.5), (1.6) и |
(1.9), получим |
|
|||
CL , y V- |
|
В Convey = О, |
||||
|
~° |
їс=1 і. - |
1 |
|
|
|
|
|
v f p ' V ! , , |
|
|||
Из (I.15) |
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
Q 1t>lа- + а 2оок |
= о |
, |
|
||
|
|
(У> |
рООa |
|
|
|
Решая системы уравнений |
(I . I4) |
и |
( I . I 6 ) , |
получим |
||
Если подставим (I . I7) в (1.9), то получим
оо
00 f
(1.15)
(I . I6)
(I.18)
Теперь применяя обратные преобразования Лапласа, получим искомое решение задачи.
4ir„
(I.rf)
г д е
Пример I I . Пусть дан утольншн, на границах при х=о и у = о заданы
(Ь20)
(I . 2I)
Применяя преобразования Лапласа к (1.20) н ( I . 2 I ) , получим
( и У ) |
= о |
(1.22) |
|
||
|
|
(1.23) |
Решение можно представить |
|
|
К = 1 I - - 1 |
|
|
~ . , 2 2 * |
„ |
(1.24) |
К= 1
атензоры напряжения имеет вид
К= і 1 = 1
^ |
оо а |
(«л г • ^ |
С і -і |
н о Вели подставим (1.24) и (1.25) в (1.22) и (1.23), то получим
|
- |
|
а |
мы |
|
|
|
= 0 . |
|
|
(L26> |
|
|
E |
|
E |
a L |
В. (о^Сську |
|
|
|
||||
• |
It: |
= і |
1 = 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Разлогим |
|
у |
в ряд Фурье в промежутке ( оп зг |
) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Т = |
Е ? т ; S l M l e s • |
|
|
(1-27) |
|||
|
|
|
|
|
|
w:-i |
1 |
|
|
|
|
|
Сравнивая |
(1.27) с (1.26), получим |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
І=І |
|
|
11 |
|
|
^Р* |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
(1.28) |
|
|
|
|
£ a L |
B.t |
to) = о , |
|
|
|
|||
или систему |
(1.28) |
можно представить так |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a . -2<a + а г |
( а + к ) = ^ r — : |
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.29) |
|
|
|
|
Clt |
а -<- а2 к = о . |
|
|
|
||||
Ревия |
(1.29), пoлvчнм |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а Г = - Н / ; к Р |
3 а г |
р |
. a r = ^ V j r p V r p |
' |
а.ЗО) |
||||||
Если подставим |
(1.30) |
в (1.24), то подучим |
|
|
||||||||
|
|
U ~ Е — " Г ^ |
|
( а ё е - к : г е а Х ^ ^ « у с а |
|
|||||||
|
|
~ |
|
V |
^ = / 0 - а " „ - u v |
|
|
l I - 3 I ) |
||||
Применяя обратные преобразования Лапласа, |
получим искомое решение |
|||||||||||
задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IC-1 "ft
+
U» = S i ^ М Ч ^ х ) - ^ ^ > Ц ^ « |
( I ' 3 2 ) |
где К = 1,3,5, ...
Пржнер Ш . Пусть дана полуполоса, на границах заданн
(І.ЗЗ)
тА
Применяя преобразование Лапласа и разлагая в ряд Фурье в (о,А ), получим
иО,
(1.34)
(їїД У -1 = О ,
Для решения задачи решение (1.4) моано представить так
И=1 L=l
nx,
'у
атензорн напряжений имеют вид
оо2
М= 1 1-і
? |
= £ £ |
а Г |
Ь ^ |
) - т ^ г ^ |
М ^ |
^ а , |
(1.36) |
|
П = 1 1-1 |
|
|
|
|
|
|
В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
(' р |
\ |
= - i ? ^ |
|
|
(1.37) |
|
Подставляя (1.35) и (1.36), пользуясь |
(1.37) |
и полученный резуль |
|||||
тат |
сравнивая, |
получни |
|
|
|
|
|
|
1 : а Г к ^ г |
) А ^ - ^ в Г ^ Ь - ^ , , |
|
||||
|
|
а. Б. |
|
|
|
(I.J8) |
|
|
1= 1 |
= о |
|
|
|
||
или систему уравнений (1.38) в явном виде цояно переписать так