Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.07.2024
Просмотров: 158
Скачиваний: 1
^ v n > o / s - С - к о ч у , |
Х-^ЛЬО- |
§ 3. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ.
Тензоры напряженки в полярных координатах можно написать
так;
P J ( | « e ^ ^ a ^ t X ^ v ^ ^ ^ V ^ V t k . c ^ v k . ^ v |
(з.і) |
е Г - 2 Г а и ц * -з><о/<,і , C ^ r L X c * « v r
- * * г к Д % М .
§ 4 . П Р И М Е Р I .
Пусть дано плоское |
кольцо с внутренним и внешним радиу-. |
||
сами а и і |
.На границах заданы смещения: |
|
|
C U j ) ? = x = e |
1. 00 , * = a,6 , j=^,vf. |
( 4 i I ) |
|
Разложим заданные функции в ряд Фурье |
|
||
F j t |
a W = ^ t x V |
l 4 . f ( ^ W » * 4 + £ l o ^ w « ) . |
(4.2) |
Вычисляя значения (2.2) при $ = а. ж 4-і и подученный ре зультат сравнивая с (4.1) и (4.2), получим систему алгебраи
ческих уравнений для определения |
а " ' |
и |
С 1 . |
Если подставим найденные значения |
acJ" |
и |
t!f' в (2.2), то по |
лучим искомое решение задачи, удовлетворяющее системе урав нений (2.1) и граничным условиям (4.1).
З А М Е Ч А Н И Е .
Из решенных задач в этом параграфе следует, что легко реша ются следующие задачи:
1)первая, вторая и смешанная задачи для кольца,
2)первая и вторая внутренняя и внешняя задачи для диска,
3)упругая область, разделенная круговыми границами раздела,
4)первая, вторая и смешанная задачи для кругового сектора и другие.
§ 5. РАЗДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.
Уравнения динамики упругого тела в плоских декар товых координатах имеют вид:
|
?Ь.и^ІЬ.л^-&!* |
|
, |
{5Л) |
|
где сі * |
Vf |
• J>= Vf |
> S |
- плотность упругого |
тела. |
Решение систе-ды уравнений |
(5.1) |
будет: |
|
||
_.a i ( > ) |
м |
^ |
(6:2) |
A t (*)= |
СЄ |
А^ СЧ = С Є |
|
|
В. (.*-)= кье |
В. с-*л»= |
|
||
Всю |
-с(а-х) |
_ о о |
- |
- с * |
ь (,*) = к.в |
£,£ |
С*)=-и?Є |
, |
|
§ 6 . Т Е Н З О Р Н А П Р Я Ж Е Н И Й .
Тензоры напряжения в декартовы! координатах «изют вид:
р а У = ё ^ К ^ и ^ . |
с ^ Є Ч & - |
|
• 1 1 ^ ( ^ ^ |
- |
( 6 Л ) |
» |
J v » ; c |
^ L2C*)=^IC(.K:*6 )e |
§ 7 . |
П Р И М Е Р I . |
|
|
|
||
Пусть имеется бесконечная полоса, на границах которой при |
||||||
_0 |
и 3 C = O L |
заданы смешения: |
|
|
||
|
" j W = e |
|
r j ^ |
. с = 0 > а - |
|
(7-і) |
Разложим заданные функции в ряд Фурье |
|
|
||||
s \ t c V y )=? ? W a |
wi-t |
|
^ e ' j i c , ^ ^ . |
( 7 ' 2 ) |
||
4 |
|
|
|
|
|
|
Вычисляя значения (6.2) при -x = o |
и ai = a. |
и полученный ре |
||||
зультат сравнивая с (7.2), |
получим систему 8 |
алгебраических |
||||
уравнений с 8 неизвестными |
а^"1 |
и б^"'. Если подставим найден |
||||
ные значения в (6.2), |
те получим искомое решение задачи. |
|
||||
З А М Е Ч А Н И Е .
Легко решатся следующие задачи: I ) первая, вторая и смешанная задачи для полосы, 2) первая и вторая задачи для полуплоскости,
3)область, разделенная параллельными .линиями раздела,
4)задачи для прямоугольника и другие.
Г Л А В А 4.
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ ДИНАМИКИ УПРУГОГО ТЕЛА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
§ I . ОВДЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ ДИНАМИКИ УПРУГОГО ТЕЛА.
Векторное уравнение динамики упругого тела имеет вид:
Если положим |
|
|
|
то получим |
|
|
|
Л ^гсхсі oL-u Q - rot rot Q = S> Q . |
|
||
Положим |
|
|
|
d ? |
= - * T |
• |
(1.4) |
Тогда уравнение (1.3) |
примет |
вид: |
|
о£ смілої cii-TJ" Q - r o t x o t Q - t o OQ =o , |
(1-5) |
||
где |
|
|
|
Решением уравнения (1.4) будет
Уравнение (1.5) преобразуем к криволинейным ортогональным ко ординатам с целью, найти все системы координат, в которых это
уравнение допускает разделение переменных.
Пусть линейный элемент имеет вид: |
|
dee = ± U * d v . |
(i.v) |
Тогда уравнение (1.5), соответствующее этому линейному элементу, имеет вид:
^ \ i i r ^ ( t - ) R ^ \ ^ 4 ^ < w a - M (
i. , j , КГ = 1,2,5 |
, і. + j + К. . |
Вышеуказанным способом легко можно показать, что система урав нений (1.8) допускает разделение переменных только в трех слу чаях: I ) в декартовой, 2) цилиндрической и 3) сферической системах координат.
§ 2. РАЗДЕЛНШЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ.
Система уравнений динамики упругого тела в цилиндричес ких координатах имеет вид:
*^IJT*U її ?>» |
- лі |
j » v |
s»1(F |
-»SV.j-», |
h ^ - ^ - p |
^ , |
|
(o^V - " 6 - ^ ^—' "1 -til* |
Д Н п " и і Л |
Co,, \ і "*>M _ |
|
(2 I ) |
|||
s l j V ^ » ; |
w * l J ^ i S a « * ^ L s i l « u O - j ^ M - r : » ? |
' |
|||||
°4 $ - ^ h i / «5 |
+ : o l i |
1 ? u -І^І |
$ |
s'lif1 |
?т>*чГ p i t * ' |
||
Решением уравнений (2.1) |
будет: |
|
|
|
|
||
e |
Z Z Z C m ( ? , |
6 | t -S: ь-3 ) |
АГСО^Р ,АГС«--Й; |
|
( 2 -3 ) |
||
CP |
• • , |
„ CP,*"> |
ч , |
-Д^І r |
Bb - |
CO = PV S- |
b t i s w v s |
A < o = c a ( ? r ° , |
|
§ 3 . Т Е Н З О Р Н А П Р Я Ж Е Н И Й .
Тензори напряжений в цилиндрически координатах мож но написать так:
где » % ) S f f . ^ ,
" W - p 0 4 f * - f > V |
( 3 . 2 ) |
СР,Ю |
At,, |
г r і |
\ о . ^' к ) |
A |
§ 4 . П Р И М Е Р I .
Пусть имеется часть трубы конечного размер* о жну треннии и внешним радиусами а и ь и высотой Vi . Ha гранилах заданы:
(4.1)
В нашем случав решение (2.2) можно представить так:
Ц - t |
E E S |
а. А, Ь*рчби.**( |
|
|
' I |
h«o |
i=* |
|
|
CO вО |
С |
(4.3) |
||
ц , - ё |
T E |
E |
a; At W f f a i c * , |
|
А'Г = Р ^ - Г М ,AT-pVp/c-f^ . А1 Г^1Эр /в*3Р /^1,С^Ч'Г -^/с«Ч^1. A ? = % ,Л Тя ^р ' A71=PVu'V'A*'15pir'/^T/in-'V«'
C-P^P/I ,AT=PV< ,А7'=Р^/? , |
At l , , »Ai, , -o.A?Uvp.Ai, , »-ic-'f /e. |
||
А'Г=«% ,А" = *э-р. |
, у з , № ? 0 , » - = г |
• |
|
Ренение |
(4.3) автоматически удовлетворяется граничным условиям |
||
(4.2) . |
Разлагая (4.1) в ряд Фурье по синусу и косинусу и срав |
||
нивая с |
(4.3) при $ = а и ч = і |
, получим |
|
|
E a i A j U . W i G V ) , Ol= a , t . |
(4.4) |
|
Решая (4.4), найдем а- и подставляя найдентяе значення в (4.3) , получим искомое решение задачи.
