Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.07.2024
Просмотров: 159
Скачиваний: 1
З А М Е Ч А Н И Е .
Из ревенных задач следуют, что легко решаются следующие за
дача: |
I ) |
первая, вторая ж свешанная задачи для бесконечно! |
||
тр^бн, |
2) |
первая и вторая внутренняя и внешняя задачи для |
||
цилиндра, |
3) упругая |
область, |
разделенная цилиндрическими |
|
границами раздела, 4) |
первая, |
вторая и смешанная задачи для |
||
цилиндра и трубы конечного размера, 5) первая, вторая и сме шанная задачи для части трубы и цилиндра конечного размера, и другие.
§ 5. РАЗДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.
Уравнения динамики упругого тела в декартовых координа тах имеют вид:
VUi VUt ,Г»Ч ,pX П,и \ |
~?и |
г |
г ч |
|
|
Решением это! система уравнений (5.1) будет |
|
|
(5.2)
A, |
=ce |
„ A„ |
=-ce |
A |
p 4 ^ - ^ |
^ |
" I е . |
, A 5 |
= - K e |
/fe , A t |
- p e /6 , |
(5
С,, =Є |
, a = f w s t , ° = ^ч"P "JTi |
1 |
|
|
§ 6 . Т Е Н З О Р |
|
Н А П Р Я Ж Е Н И Й . |
|
|||||||
|
|
Тензоры напряжений в декартовых координатах можно напи |
||||||||||
сать |
в |
таком виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-р |
Г Р ^ ^ У Г А Ч ^ ' |
Р( Р .^ |
|
|
,СР,^ Ч |
|
||||||
р - |
|
І Р ^ ф Л ^ |
^ |
J |
б " - + С А |
|
|
б 0 , |
|
|||
V |
е |
Z X X X |
СЧ°і Є |
П |
^ |
v |
d |
i |
е л |
|
||
Рі г |
_ -i*jt ~ » |
£, |
( f , ) |
. № l r t |
C p K ) |
( p |
ч |
аСР'^ \ |
(6 |
|||
-e |
2L 2- Z |
Ь |
oo(a 6 Л б;+с |
є+ |
|
|||||||
|
|
Z Z Z T I . |
счСаі |
|
б.-с, 6,-сА |
бЛ |
|
|||||
|
|
к.= о р=о |
|
J |
|
|
° |
|
a |
|
d |
/, |
^ |
|
- L j t S ^ |
С |
l>,vO |
CP,*) |
ГСР,^ |
|
( |
P | |
0 |0',Оч |
||
|
|
. і w ^ |
с |
CP,v.1 |
, |
CP.*"* |
п(р ,і Л |
|
|
0,-0 |
I^I^ |
\ |
93
где
J |
|
J |
<i |
J |
- „ ( F K ) |
A ^ V O |
|
- I ^ V 1 ) |
„(P, |
3 |
J |
|
<! |
J |
b!, W |
= Г VP г» ( о * |
, c Ч С*ч), |
( ? , « ) |
/ L ( P . O |
( P , O Л |
|
§ 7 . П Р И М Е Р |
І . |
|
|
|
||||
|
Пусть дан бесконечный |
слой, |
на границе которого при |
||||||
•эс=о |
и х = а |
заданы напряжения: |
|
|
|
||||
Разложвние заданных функций |
(7.1) |
дает: |
|
|
|||||
|
F, С ^ ^ Е Е Г ^ о б ^ 1 |
|
(7.2) |
||||||
Для нашей задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
При |
х = о : |
, ° t 4 |
= о(., =о |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
(7.3) |
|
при |
|
•' »t^=+i , |
|
= < i * = 0 |
• |
|
||
В силу граничных условий и выражений |
(7.3), |
формулы (9.5) |
гла |
||||||
вы 2 примет такой вид: |
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисляя значения |
(6.1) |
при |
ос = о |
и |
-х = а- |
и полученный ре |
|||
зультат |
сравнивая |
с (7.2), получим ситему алгебраических |
урав |
||||||
нений для определения |
а£*'*\... , с і 0 > > . Если подставим найден |
||||||||
ные значения в |
(6.1), то получим искомое решение задачи. |
|
|||||||
|
|
|
З А М Е Ч А Н И Е . |
|
|
||||
Из решенных задач |
следует, что легко решаются следующие зада |
||||||||
чи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)первая, вторая и смешанная задачи для бесконечного слоя,
2)первая и вторая задачи для полупространства,
3)упругая область, разделенная параллельными плоскостями,
4)задачи для параллелепипеда и другие.
§ 8. РАЗДЕЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ.
Уравнения динамики упругого тела в сферических коор динатах имеют вид:
Решением системы уравнений (8.1) будет:
и « « r u t * * |
j = V f l |
J |
J" |
Ь ^ - Л ^ Ь / с ) , ^)-г\^гш), |
^(wfa, |
(8-3) |
§ 9 . Т Е Н З О Р Н А П Р Я Ж Е Н И Й .
Тензоры напряжений в сферических координатах можно пред ставить в виде:
Р.. - ё " 1 S t і I |
- * r |
е р і . |
, |
ним» ]:l 1 і |
J" |
1 |
|
в . . Ц і Н ' г * г ' ь р > Г л - к Г ^ Г Ч ' * ^ -
где
§ 10. |
П Р И М Е Р |
|
І. |
|
Пусть имеется сферическая оболочка |
с ввутрентш и внешним |
|||
радиусами а и 6 |
.На границах заданы смещения: |
|
||
( U j V . ^ & ' ^ U ^ t e ^ ) |
, |
І - г < в ' * ' ~ " а - 1 - |
( 1 0 л ) |
|
Разложим заданные функции (ЮЛ) в ряд такого вида
|
|
|
|
|
(10.2) |
|
|
гизо |
|
|
|
|
+ U , |
? |
- у р |
Г .««Ч (• |
|
Вычисляя |
(8.2) |
при ъ = а |
j г--{ |
и полученный результат срав |
|
нивая с |
(10.1) |
и (10.2), |
получим систему 12 алгебраических урав- |
||
(10.3)
Решая систему уравнений (10.3) и подставляя найденные значения
в(8.2), получим искомое решение задачи.
ВЫ В О Д .
Из решенных задач следует, что легко решаются следующие задачи:
1)первая, вторая и смешанная задачи для шаровой оболочки,
2)первая ц вторая внутренняя и внешняя задачи для полого шара,
3)упругая область, разделенная сферическими границами раздела
идругие.
Г Л А В А У.
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА.
§ I . ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПЛОСКИХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ.
Система динамических уравнений теории упругости в плоских декартовых координатах имеет вид
(I.I)
-6^ca |
-»уг |
' І * ' » У ' "fit |
где и-Сь^ї^/р |
, P = V ^ |
|
Применяя преобразование Лапласа к ( I . I ) с учетом начальных ус ловий
|
|
|
|
= 0 |
L = |
Систему уравнение ( I . I ) |
можно написать |
так |
|||
^ |
' |
-Т)тсг |
-by2 |
-V*.-*y |
X |
UL« |
+ |
C o t * 0 ^ |
= |
* f її |
|
Решением системы уравнений (1.3) |
будет |
|
|||
Ux = 2_, L Ca L А ^ ^ у Л , Д. u^U^a),
ГДЄ |
О ] |
. |
a.-*. o i |
-а-зс |
. ( . о |
в 6-х. |
. 0 0 |
n -6-х. |
|
c^)= i e |
, Д,_<?о = - а е |
^ j W ^ e |
, Б к м = - к е |
||||
Рассмотрим нример. I.Пусть дан угольник, на границах при -ас = о и w = о заданы смешения и напряжения
( u s ' U ° .
Ч Т ) ^ . /' 4 ==00 |
0 |
|
( 1 - 5 )
(1.6)
Прій«няя преобразование Лапласа к (1.5) и (1.6), получим
(1.7)
(1.8)
/ - г і ї л ;
где ~0о н U o - постоянные скорости.
Для решения этой задачи решение (1.4) конно представить так
U 4 = Z Z ( a В. с^СомсУ + & A. U)bi»ic*} |
(1.9) |
