Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.07.2024
Просмотров: 171
Скачиваний: 1
§ 6 . П Р И М Е Р 3 .
Пусть имеется цилиндр с радиусом о. в высотой U . На границах заданы смещения:
В нашем случае решение (2.39) можно представить в виде:
" Р=о к=. |
1 |
(6.3)
Р=0 К.-0 1=1 |
|
|
оо оо |
5 |
Сії |
Р=о |
t*l |
|
где
Решение (6.3) автоматически удовлетворяется граничным условиям (6.2). Разложим (6.1) в ряд Фурье такого вида
( 6 - 4 )
Сравнивая (6.3) при $ = а |
с (6.4), |
поду чин |
Х о д |
=«=І. |
і |
Решая (6.5), наїдем CL . Подставляя найденные значения в (6.3), подучим искомое реиение задачи.
З А М Е Ч А Н И Е .
Из вышеуказанных решенных задач в §§4 ,5 .6 следуют, что легко решаются следующие задачи:
1)первая, вторая и смешанная задачи для бесконечно! труби,
2)первая и вторая внутренняя и внешняя задачи для бесконечного цилиндра,
3)упругая область, разделенная цилиндрическими поверхностями
раздела,
4)первая, вторая и смешанная задачи для трубы ж цилиндра ко нечного размера,
5) первая, вторая и смешанная задачи для части пдлиндрс ж тру
бы и другие.
§ 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫ! КООРДИНАТ.
Система уравнений равновесия упругого тела в декарто вых координатах имеет вид:
И
(7.1)
ї ї * + ї ї * л . *IOLH* + , f l H i |
> |
Решением системы уравнений (7.1) будет
где
(7 31
Ы |
.г (a-*) |
(У) |
-г» |
<,Ч) - t ^ |
§8 . Т Е Н З О Р Н А П Р Я Ж Е Н И Й .
Внашей случае тензоры напряжении в декартовых коорди
натах имеют вид:
|
Р |
= £ £ Х Ж с«лчвл«,-г ї і і ), |
(ел) |
||||||
где |
o i } |
f = -х, у, г |
, |
|
|
|
|
|
|
|
В. |
- Ъ . ="В. - C L |
|
|
*4 *с. |
5 j + ci. |
|
||
|
Bj |
=Qj |
|
|
|
|
e,*^ |
|
|
|
B j |
= C X J |
б ' + ^ |
|
|
в » . |
|
||
|
B |
<X,m1 |
l^"* |
|
і |
„ ^ " ^ J |
' " . " • ] _ |
|
|
|
= » V * j ^ ~ |
|
|
1 - * * » |
|
||||
|
A |
Q |
|
с |
|
в |
|
|
|
+ ot4a£.J& |
|
) |
A $ |
|
= 2рКЄ |
|
, |
A4 |
=-2m (A*j-te |
|
||||||||
Cy,y) |
|
.1-4,11 |
|
R |
І . |
|
|
|
«i*2Vi |
-t(a~x1 |
, CM.W |
(8.2) |
||||||
= -2j«<ce |
|
|
, A v ' |
= [ а і Г ^ ї - 2 Г г / о і ] е |
, |
A, |
= - 2 r * e , |
|||||||||||
. (.4,41 |
|
, |
- t « |
|
|
ЦП |
|
, |
- tco - *) |
«,« |
c*,*i |
|
||||||
A t |
=-2>»" |
|
Є |
|
, A v |
=-2j.w |
|
e |
|
A, |
= A s |
=0 , |
|
|||||
,«,« |
|
г |
|
|
|
|
і |
-і - ll* - *) |
|
.4,*) |
, |
г |
|
. 1 * «,»| |
||||
= - 2 m l U*r)b |
|
, |
А. |
= Г * Т Є |
|
, |
Аг |
= j . K ( t r t x - ' i p ) t t ( a ^ |
||||||||||
»<•*.«) |
к 1 |
|
-г(.а-=Л |
|
. |
і*. |
|
(.«.«і |
|
|
|
_ 1 я с |
t ^ , 4 i |
|||||
Д г |
= |
г - е |
|
|
|
Ч » е |
, A v |
Я у к ( 2 г * * * 3 ) е 1 * A l |
t ' % .. |
|||||||||
, |
|
/ , |
|
-ч |
|
|
|
(»,s1 |
, _ t |
|
|
|
-tfa-x.-) |
< ч „ |
||||
s p m O c ^ x e ^ , A f ' ^ ^ e 1 ' " ' |
A ^ - f n , ^ ^ |
|
|||
І*,Ї> |
, |
otvax |
<x,^ |
^ -т(а-ї.і t»,n |
(8.2) |
|
§ 9 . П Р И М Е Р I . |
|
|
|
|
Пуста имеется бесконечный слой, на границах которого при |
|||
х = о |
заданы смещения ж при тс = а |
напряжения: |
|
|
|
( u i W f № > > С Ї А ^ - Г І ^ , |
(9-і) |
||
іде |
и F.' - периодические функции, удовлетворяпцие |
условиям |
||
Дирихле. |
|
|
|
|
Разложение заданных функций (9.1) в |
ряд Фурье дает: |
|
||
Т. |
" - ї ї ?! « і ; * : |
, ^ S . ^ Z I I f f f . . |
0.2) |
|
Нормальное напряжение в декартовых координатах имеет вид:
|
Р, - |
L ^ - L |
, |
і » * . * , * - |
|
|
(9.3) • |
|||
Для навей задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при -х- - |
a. ; |
«С*. - і , |
c4s = |
= о . |
(9.4) |
||||
Проекции (9.3) |
на оси декартовых координат |
будут иметь вид: |
||||||||
? ч і |
= |
? |
? ^ |
|
• |
|
|
|
|
(9.5) |
В силу (9.4) формулы (9.5) |
будут иметь вид: |
|
|
|||||||
0 * ) ж а а |
а ( |
0 « |
„ а |
= |
Р - Д М ) |
• |
|
(9.6) |
||
Вычисляя значения выражений |
(7.2) |
|
при ^ = о |
и (8.1) |
при =с = а |
|||||
и полученный результат |
сравнивая |
с |
(9.6), |
получим систему ал- |
||||||
гебраических уравнений для определения |
а ^ |
,• • , <^ |
|
||||||||
Если найденные значения подставим в |
(7.2) |
или (8.1), то получим |
|||||||||
искомое решение задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
§ 1 0 . П Р И М Е Р |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть имеется бесконечный слой, на границах которого при |
||||||||||
ас = о |
и .эс = а |
заданы напряжения |
|
|
|
|
|
||||
|
^•Х-.о^^ |
|
. |
( ї ^ = |
а - - |
г |
> , * ) , |
{ 1 0 Л ) |
|||
где F-t |
и F |
- |
функции, |
абсолютно интегрируемые. |
|
||||||
Разложение заданных функций (10.I) в интеграл Фурье по у |
и і |
||||||||||
дает: |
СП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OQ шО |
|
|
|
|
||
ї \0 » . *Ц |
|
V " ' 1 |
' " |
t T ^ , J ) » \ \ S ^ І к - Л т . |
(Ю.2) |
||||||
|
-CO -00 ^ |
|
|
|
|
-о» - Оо |
|
|
|
|
|
Для нашей задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
при |
•х=а: |
|
|
^ в ^ " 1 |
» 1 |
0 , |
(10.3) |
|||
|
при |
эс = о • |
«і х = -і f |
d.^ = |
|
- о |
|||||
|
|
|
|||||||||
В силу |
(10.3) формулы (9.5) |
примут такой вид: |
|
||||||||
( Р Л . . - ( р « 0 „ . ' т |
і ^ ) . |
( ^ . . - M ^ - T i v v |
( 1 0 - 4 ) |
||||||||
Вычисляя значения |
(8.1) |
при *L = O и х = а |
|
и полученный резуль |
|||||||
тат сравнивая с |
(10.2), |
получим систему алгебраических уравнений |
|||||||||
для определения |
|
СХ- |
, ••• |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если подставим найденные значения в |
(8.1), |
то получим искомое |
|||||||||
решение задачи, |
причем в выражении (8.1) |
вместо £, £ |
заменя- |
||||||||
етея интегралами |
j\C |
)сік dm . |
|
|
|
|
|
||||